1、2.2.2直线的两点式方程 知识要点要点一直线的两点式方程1定义：如图所示，直线 l 经过点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1x2，y1y2)，则方程_，叫做直线 l 的两点式方程，简称两点式2说明：与坐标轴_的直线没有两点式方程yy1y2y1 xx1x2x1垂直方法技巧直线的两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，但如果将方程变形为：(x2x1)(yy1)(y2y1)(xx1)，它是两点式的变形，可以表示任何直线，包括与坐标轴垂直的直线要点二直线的截距式方程1定义：如图所示，直线 l 与两坐标轴的交点分别是 P1(a,0)，P2(0，b)(其中 a0，b0)，则方程_，叫做直线 l
2、 的截距式方程，简称截距式2说明：一条直线与 x 轴的交点(a,0)的横坐标 a 叫做直线在 x轴上的截距与坐标轴垂直和过原点的直线均没有截距xayb1方法技巧由截距式方程可以直接得到直线在 x 轴与 y 轴上的截距由截距式方程可知，截距式方程只能表示在 x 轴、y 轴上的截距都存在且不为 0 的直线，因此，截距式不能表示过原点的直线、与 x 轴垂直的直线、与 y 轴垂直的直线过原点的直线可以表示为 ykx；与 x 轴垂直的直线可以表示为 xx0；与 y 轴垂直的直线可以表示为 yy0.基础自测1判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)给定两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)就可以用两
3、点式写出直线方程()(2)方程 yy1y2y1 xx1x2x1 和方程(yy1)(x2x1)(xx1)(yy1)的适用范围相同()(3)截距相等的直线都可以用方程xaya1表示()(4)不经过原点的直线都可以用xayb1表示()2过点A(3,2)，B(4,3)的直线方程是()Axy10 Bxy10Cxy10 Dxy10解析：由直线的两点式方程，得 y232 x343，化简：得xy10.故选D.答案：D3如图，直线l的截距式方程是xayb1，则()Aa0，b0 Ba0，b0Ca0，b0 Da0，b0解析：M(a,0)，N(0，b)，由题图知M在x轴正半轴上，N在y轴负半轴上，所以a0，b0.故选
4、B.答案：B4过两点(1,1)和(3,9)的直线在x轴上的截距为_解析：直线方程为y919 x313，化为截距式为 x32y31，则在x轴上的截距为32.答案：32题型一由两点式求直线方程1(1)若直线 l 经过点 A(2，1)，B(2,7)，则直线 l 的方程为_解析：(1)由于点A与点B的横坐标相等，所以直线l没有两点式方程，所求的直线方程为x2.答案：(1)x2(2)若点P(3，m)在过点A(2，1)，B(3,4)的直线上，则m_.解析：(2)由直线方程的两点式得y141 x232，即y15 x25.直线AB的方程为y1x2，点P(3，m)在直线AB上，则m132，得m2.答案：(2)2
5、2在ABC中，已知点A(5，2)，B(7,3)，且边AC的中点M在y轴上，边BC的中点N在x轴上(1)求点C的坐标；(2)求直线MN的方程解析：(1)设点C(x，y)，由题意得5x2 0，3y2 0得x5，y3.故所求点C的坐标是(5，3)(2)点M的坐标是(0，52)，点N的坐标是(1,0)，直线MN的方程是 y0520 x101，即5x2y50.方法技巧当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不垂直于坐标轴若满足，则考虑用两点式求方程.方法技巧由两点式求直线方程的步骤1设出直线所经过点的坐标2根据题中的条件，找到有关方程，解出点的坐标3由直
6、线的两点式方程写出直线的方程题型二由截距式求直线方程例 1求过点(4，3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线 l 的方程解析：方法一 设直线在x轴、y轴上的截距分别为a，b.当a0，b0时，设l的方程为xayb1.点(4，3)在直线上，4a3b 1，若ab，则ab1，直线方程为xy1.若ab，则a7，b7，此时直线的方程为xy7.当ab0时，直线过原点，且过点(4，3)，直线的方程为3x4y0.综上知，所求直线方程为xy10或xy70或3x4y0.方法二设直线 l 的方程为 y3k(x4)，令 x0，得 y4k3；令 y0，得 x4k3k.又直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等，|4k3|4k
7、3k，解得 k1 或 k1 或 k34.所求的直线方程为 xy70 或 xy10 或 3x4y0.方法技巧截距式方程应用的注意事项1如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可2选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直3要注意截距式直线方程的逆向应用变式训练 1求过点 A(5,2)且在 x 轴上的截距是在 y 轴上截距的 2 倍的直线 l 的方程解析：由题意知，当直线l在坐标轴上的截距均为零时，直线l的方程为y25x；当直线l在坐标轴上的截距不为零时，设l的方程为 x2aya1，将点(5,2)代入方程得 52a2a1，解得
8、a92，所以直线l的方程为x2y90.综上知，所求直线l的方程为y25x，或x2y90.题型三直线方程的灵活运用例 2已知 A(3,2)，B(5，4)，C(0，2)，在ABC 中，(1)求 BC 边的方程；(2)求 BC 边上的中线所在直线的方程解析：(1)BC边过两点B(5，4)，C(0，2)，由两点式，得 y424x505，即2x5y100，故BC边的方程是2x5y100(0 x5)(2)设BC的中点M(a，b)，则a502 52，b4223，所以M(52，3)，又BC边的中线过点A(3,2)，所以 y232x3523，即10 x11y80，所以BC边上的中线所在直线的方程为10 x11y
9、80.变式探究 1本例中条件不变，试求 AB 边上的高线所在直线方程解析：设AB边上的高线所在直线斜率为k，kAB2435 34，k43，又高线过点C(0，2)，由点斜式方程得高线所在直线方程为y2 43(x0)，即4x3y60.变式探究 2本例中条件不变，试求与 AB 平行的中位线所在直线方程解析：由探究1知kAB34，即中位线所在直线斜率为34，由例题知BC的中点为(52，3)，所以由点斜式方程可得，中位线所在直线方程为y334(x52)，即6x8y90.方法技巧直线方程的选择技巧1已知一点的坐标，求过该点的直线方程，一般选取点斜式方程，再由其他条件确定直线的斜率2若已知直线的斜率，一般选
10、用直线的斜截式，再由其他条件确定直线的一个点或者截距3若已知两点坐标，一般选用直线的两点式方程，若两点是与坐标轴的交点，就用截距式方程4不论选用怎样的直线方程，都要注意各自方程的限制条件，对特殊情况下的直线要单独讨论解决变式训练 2已知直线 l 经过点(1,6)和点(8，8)(1)求直线 l 的两点式方程，并化为截距式方程；(2)求直线 l 与两坐标轴围成的图形面积解析：(1)由已知得直线l的两点式方程为 y686x181，所以y614x17，即y62 x1，所以y62x2，即2xy8.所以x4y81.(2)由(1)知直线l在两坐标轴上的截距分别为4和8，所以围成的面积为124816.易错辨析忽视截距为零引发的错误例 3求过点 M(3,2)，且在 x、y 轴上的截距相等的直线方程解析：当在 x、y 轴上的截距均为零时，所求直线的方程为：y23x.当在 x、y 轴上的截距均不为零时，可设直线的方程为xaya1，把点 M(3,2)代入得：a5，故所求的直线方程为 xy5.综上知所求直线的方程为 y23x 或 xy5.【易错提醒】易错原因纠错心得忽视了截距为零的情况，直接由xaya1 得直线方程产生了漏解.“截距相等”包含两层意思，一是截距不为零时相等，二是截距为零时相等，而后者常被忽视，造成漏解，因此对于此类题目，也要分类讨论.谢谢 观 看
