1、珠海市2020届第二学期普通高中学生学业质量监测数 学（文科）第I卷（选择题)一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1已知集合，则( )ABCD2已知复数在复平面上对应的点为，则( )A是实数 B是纯虚数C是实数 D是纯虚数3不等式的解集为( )A BC D或第4题图4某同学用如下方式估算圆周率，他向图中的正方形中随机撒豆子100次，其中落入正方形的内切圆内有68次，则他估算的圆周率约为( )A3.15B2.72 C1.47D3.845函数的零点个数为( )A1B2C3 D46设，则( )ABCD7已知点和圆，过作的切线有两条，则
2、的取值范围是( )A B C D第8题图8如图，正方体，点为对角线上的点，当点由点向点运动过程中，下列说法正确的是( )A的面积始终不变B始终是等腰三角形C在面内的投影的面积先变小再变大D点到面的距离一直变大9函数的图象可能是( )ABCD10已知是双曲线的一个焦点，点在上，过点作的垂线与轴交于点，若为等腰直角三角形，则的面积为( )AB CD11天干地支纪年法，源于中国中国自古便有十天干与十二地支十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，
3、地支由“子”起，比如说第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅” 依此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子” 依此类推1911年中国爆发推翻清朝专制帝制、建立共和政体的全国性革命,这一年是辛亥年，史称“辛亥革命”1949新中国成立，请推算新中国成立的年份为( )A己丑年B己酉年C丙寅年D甲寅年12设函数.若只存在唯一非负整数，使得，则实数取值范围为( )ABCD第II卷（非选择题)二、填空题（本大题共小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13函数在处的切线方程为_14在三棱锥中，平面平面，是边长为2的正三角
4、形，是以为斜边的直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为_15已知正项等比数列的前n项和为，则_16等腰直角三角形，分别为边，上的动点，设，其中，且满足，分别是，的中点，则的最小值为_ 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题17(本题12分)随机调查某城市80名有子女在读小学的成年人，以研究晚上八点至十点时间段辅导子女作业与性别的关系，得到下面的数据表：是否辅导性别辅导不辅导合计男2560女合计4080（1）请将表中数据补充完整；（2）用样本的频率估计总体的概率，估计这个城市有子女在读小学的
5、成人女性晚上八点至十点辅导子女作业的概率；（3）根据以上数据，能否有99%以上的把握认为“晚上八点至十点时间段是否辅导子女作业与性别有关？”参考公式：，其中参考数据：0.150.100.050.0250.0100.0052.0722.7063.8415.0246.6357.879第18题图18(本题12分)如图所示，在中，点在线段上，（1）求的值；（2）判断是否为等腰三角形第19题图19(本题12分)如图所示，梯形中，平面平面，且四边形为矩形，(1)求证：平面；(2)求点到平面的距离20(本题12分)已知抛物线C的顶点为坐标原点O，对称轴为轴，其准线为(1)求抛物线C的方程；(2)设直线，对任
6、意的抛物线C上都存在四个点到直线l的距离为，求的取值范围21(本题12分)设函数（1）求函数的单调区间和极值；（2）若存在满足，证明成立（二）选考题请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22(本题10分)在平面直角坐标内，直线过点，且倾斜角以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的极坐标方程为(1)求圆的直角坐标方程；(2)设直线与圆交于两点，求的值23(本题10分)已知函数（1）解不等式；（2）当，时，证明：.数学（文科）参考答案第I卷（选择题)一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的
7、一项）1已知集合，则（ ）ABCD【答案】D由，所以2已知复数在复平面上对应的点为，则( )A是实数 B是纯虚数C是实数 D是纯虚数【答案】由题意可知z1i, 所以zi是实数，故选C.3不等式的解集为（ ）ABCD或【答案】D不等式得解集或4某同学用如下方式估算圆周率，他向图中的正方形中随机撒豆子100次，其中落入正方形的内切圆内有68次，则他估算的圆周率约为（ ）A3.15B2.72C1.47D3.84【答案】B根据几何概型得2.725函数的零点个数为（ ）A1B2C3D4【答案】A由的零点转化为方程的根，由与的图象只有一个交点，可得只有一个零点6设，则（ ）ABCD【答案】A由得7已知点和
8、圆，过作的切线有两条，则的取值范围是( )A B C D【答案】D由得，则得，要使过作的切线有两条，则点在圆外，从而得，所以.8如图，正方体，点为对角线上的点，当点由点向点运动过程中，下列说法正确的是（ ）A的面积始终不变B始终是等腰三角形C在面内的投影的面积先变小再变大D点到面的距离一直变大【答案】B的面积始终不变先变小再变大，不对；由于，始终是等腰三角形所以正确；在面内投影的面积不变，所以不对；点到面的距离先变大再变小，所以不对。9函数的图象可能是（）ABCD【答案】C函数为偶函数且，排除、，而，所以选10已知是双曲线的一个焦点，点在上，为坐标原点，过点作的垂线与轴交于点，若为等腰直角三角
9、形，则的面积为（ ）ABCD【答案】A取点为左焦点，在第一象限，如图可设，代入双曲线得解得：，得 11天干地支纪年法，源于中国中国自古便有十天干与十二地支十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如说第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅” 依此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子” 依此类推1911年中国爆发推翻清朝专制帝制、建立共和政体的全
10、国性革命,这一年是辛亥年，史称“辛亥革命”1949新中国成立，请推算新中国成立的年份为（ ）A己丑年B己酉年C丙寅年D甲寅年【答案】根据题意可得，天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，从1911年到1949年经过38年，且1911年为“辛亥”年，以1911年的天干和地支分别为首项，则，则1949年的天干为己，则1949年的地支为丑，所以1949年为己丑年.12设函数.若只存在唯一非负整数，使得，则实数取值范围为( )ABCD【答案】A令，则，令，解得或，时有，时有，时有，可以描绘出的草图为过点的直线如图可知：当不成立当时，所以，得所第II卷（非选择题)二、填空题（本大题共
11、小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13函数在处的切线方程为_【答案】（方程其它形式均可得分）求导得，得，切点为所以14在三棱锥中，平面平面，是边长为2的正三角形，是以为斜边的直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为_【答案】由题意可知的中心就是圆心，可知算得，所以可得外接球的表面积为15已知正项等比数列的前n项和为，则_【答案】为等比数列，此时，16等腰直角三角形，分别为边，上的动点，设，其中，且满足，分别是，的中点，则的最小值为_【答案】本题如图建坐标系，得，又，可知点在单位圆上，所以最小的最小值为三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生
12、都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题17(本题12分)随机调查某城市80名有子女在读小学的成年人，以研究晚上八点至十点时间段辅导孩子作业与性别的关系，得到下面的数据表：是否辅导性别辅导不辅导合计男2560女合计4080（1）请将表中数据补充完整；（2）用样本的频率估计总体的概率，估计在这个城市所有成人女性晚上八点至十点辅导孩子作业的概率；（3）根据以上数据，能否有99%以上的把握认为“晚上八点至十点时间段是否辅导孩子作业与性别有关？”参考公式：，其中.参考数据：0.150.100.050.0250.0100.0052.0722.7063.8415.0246.6357.
13、879解（1）辅导不辅导合计男253560女15520合计404080-4分(答任意对个得2分)（2）在样本中有20位女士，其中有15位辅导孩子作业，其频率为所以估计成人女士晚上八点至十点辅导孩子作业的概率为；-7分（3）-11分可知有99%的把握认为“晚上八点至十点时间是否段辅导孩子作业与性别有关” -12分第18题图18(本题12分)如图所示，在中，点在线段上，.（1）求的值；（2）判断是否为等腰三角形解：（1）因为，所以-2分在中，由正弦定理得：，即： 解得-5分（2）在中因为，所以所以-7分-11分得，-11分所以梯形是为等腰梯形-12分第19题图19如图所示，梯形中，平面平面，且四边
14、形为矩形，(1)求证：平面；(2)求点到平面的距离解：（1）又平面平面，且平面平面，面面-2分又平面平面，-3分在，在中，-5分又，面面-6分(2)由(1)可知为，且， 作于，则由已知平面平面，且平面平面，-8分在中，-10分设点到平面的距离为，则，解得：所以点到平面的距离为-12分20已知抛物线C的顶点为坐标原点O，对称轴为轴，其准线为.(1)求抛物线C的方程；(2)设直线，对任意的，抛物线C上都存在四个点到直线l的距离为，求的取值范围解：(1)由题意可设：，则得，所以-2分(2)设与直线平行的直线，要满足题设条件“对任意的抛物线C上都有四个点到直线l的距离为”，则有当与抛物线相切时，点到距
15、离大于4恒成立，得：-5分得点到距离所以不等式恒成立， 代入得整理得：-9分得，求得-10分得 -11分所以-12分21设函数.（1）求函数的单调区间和极值；（2）若存在满足，证明成立.解：解：（1）由得当时，从而得在上单调递增没有极值；-1分当时，得； 得； 得；在上单调递增，在上单调递减，此时有极小值-4分（2）由得：，从而得由(1)知当时，从而得在上单调递增，所以此时不成立-5分可知此时，由于的极小值点为，可设设-7分，仅当时取得“”所以在为单调递增函数且-9分当，时有，即又由，所以-11分又由(1)知在上单调递减，且，所以从而得证成立。-12分（二）选考题请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22在平面直角坐标内，直线过点，且倾斜角以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的极坐标方程为(1)求圆的直角坐标方程；(2)设直线与圆交于两点，求的值解：（1）由得，2分从而有即：4分（2）由题意设直线的参数方程为即：5分代入圆的方程得7分整理得：，由且9分可知10分23已知函数.（1）解不等式；（2）当，时，证明：.解：（1）由得当时，得即：；2分当时，得即：；4分（2）由5分由绝对值不等式得7分又因为同号，所以8分由基本不等式得：9分所以10分