1、 直线方程和两直线的位置关系高考试题考点一 直线的斜率和倾斜角1.(2009年全国卷,文16)若直线m被两平行线l1:x-y+1=0与l2:x-y+3=0所截得的线段的长为2,则m的倾斜角可以是1530456075其中正确答案的序号是.(写出所有正确答案的序号)解析:两直线x-y+1=0与x-y+3=0之间的距离为=.又动直线被l1与l2所截的线段长为2,故动直线与两直线的夹角应为30,因此只有适合.答案:2.(2010年湖南卷,文14)若不同两点P、Q的坐标分别为(a,b)、(3-b,3-a),则线段PQ的垂直平分线l的斜率为;圆(x-2)2+(y-3)2=1关于直线l对称的圆的方程为.解析
2、:当直线PQ的斜率不存在时,a=3-b,此时两点重合,不满足题意,因此直线PQ的斜率k=1,线段PQ的垂直平分线l的斜率为-1,线段PQ的中点坐标为,直线l的方程为y-=-,即x+y-3=0.设圆心(2,3)关于直线x+y-3=0的对称点为(m,n),则解得故所求圆的方程为x2+(y-1)2=1.答案:-1x2+(y-1)2=1考点二 直线方程的求法1.(2013年广东卷,文7)垂直于直线y=x+1且与圆x2+y2=1相切于第一象限的直线方程是()(A)x+y-=0(B)x+y+1=0(C)x+y-1=0(D)x+y+=0解析:所求直线与圆x2+y2=1相切,即圆心(0,0)到直线距离为1,选
3、项A、D符合要求,又因该直线与圆相切于第一象限,其在y轴上截距应大于0,排除选项D.故选A.答案:A2.(2010年安徽卷,文4)过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是()(A)x-2y-1=0(B)x-2y+1=0(C)2x+y-2=0(D)x+2y-1=0解析:法一直线x-2y-2=0的斜率k=,故所求直线斜率为,所以所求直线方程为y-0=(x-1),即x-2y-1=0.法二设所求直线方程为x-2y+c=0,把点(1,0)的坐标代入可得c=-1.法三由题意可知,选项C、D不合适,又直线过点(1,0),可知选项A正确.故选A.答案:A3.(2009年安徽卷,文7)直线l过点(
4、-1,2)且与直线2x-3y+4=0垂直,则l的方程是()(A)3x+2y-1=0(B)3x+2y+7=0(C)2x-3y+5=0(D)2x-3y+8=0解析:由题意知,直线l的斜率为-,因此直线l的方程为y-2=-(x+1),即3x+2y-1=0.故选A.答案:A考点三 两条直线的位置关系的判定及应用1.(2013年辽宁卷,文9)已知点O(0,0),A(0,b),B(a,a3).若OAB为直角三角形,则必有()(A)b=a3(B)b=a3+(C)(b-a3) =0(D)|b-a3|+=0解析:由题知a0,b0,若AOB为直角,则=ba3,又b=0或a=0,不合题意.若BAO为直角,则=(0,
5、-b)(a,a3-b)=0,即b2-ba3=0,则b-a3=0与题意不符.若ABO=0,则=(-a,-a3)(-a,b-a3)=a2-a3(b-a3)=0,得b-a3-=0.故选C.答案:C2.(2012年浙江卷,文4)设aR,则“a=1”是“直线l1:ax+2y-1=0与直线l2:x+2y+4=0平行”的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件解析:若l1l2,则2a-2=0,a=1,故a=1是l1l2的充要条件.答案:C3.(2009年上海卷,文15)已知直线l1:(k-3)x+(4-k)y+1=0与l2:2(k-3)x-2y+3=0平行,则
6、k的值是()(A)1或3(B)1或5(C)3或5(D)1或2解析:l1l2,-2(k-3)-2(k-3)(4-k)=0,(k-3)(k-5)=0,k=3或5.答案:C4.(2011年浙江卷,文12)若直线x-2y+5=0与直线2x+my-6=0互相垂直,则实数m=.解析:直线x-2y+5=0与直线2x+my-6=0互相垂直.=-1.m=1.答案:15.(2013年四川卷,文15)在平面直角坐标系内,到点A(1,2),B(1,5),C(3,6),D(7,-1)的距离之和最小的点的坐标是.解析:设平面上任一点M,因为|MA|+|MC|AC|,当且仅当M在线段AC上时取等号,同理|MB|+|MD|B
7、D|,当且仅当M在线段BD上时取等号,连接AC,BD交于一点M,则|MA|+|MC|+|MB|+|MD|最小,点M为所求.由A、C的坐标可得直线AC的方程为y-2=2(x-1),即2x-y=0.由B、D的坐标可得直线BD的方程为y-5=-(x-1),即x+y-6=0.解得即M(2,4).答案:(2,4)6.(2011年安徽卷,文17)设直线l1:y=k1x+1,l2:y=k2x-1,其中实数k1,k2满足k1k2+2=0.(1)证明l1与l2相交;(2)证明l1与l2的交点在椭圆2x2+y2=1上.证明:(1)假设l1与l2不相交,则l1与l2平行,有k1=k2,代入k1k2+2=0,得+2=
8、0,这与k1为实数的事实相矛盾,从而k1k2,即l1与l2相交.(2)法一由方程组解得交点P的坐标为,而2x2+y2 =2+=1.此即表明交点P(x,y)在椭圆2x2+y2=1上.法二交点P的坐标(x,y)满足故知x0.从而代入k1k2+2=0,得+2=0.整理后,得22+y2=1,所以交点P在椭圆2x2+y2=1上.考点四 距离问题1.(2013年四川卷,文5)抛物线y2=8x的焦点到直线x-y=0的距离是()(A)2 (B)2 (C) (D)1解析:抛物线y2=8x的焦点F(2,0),到直线x-y=0的距离d=1.故选D.答案:D2.(2010年上海卷,文7)圆C:x2+y2-2x-4y+
9、4=0的圆心到直线l:3x+4y+4=0的距离d=.解析:圆C的圆心坐标为(1,2),由点到直线的距离公式可得d=3.答案:33.(2012年浙江卷,文17)定义:曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离.已知曲线C1:y=x2+a到直线l:y=x的距离等于曲线C2:x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离,则实数a=.解析:曲线C2是圆心为(0,-4),半径r=的圆,圆心到直线l:y=x的距离d1=2,所以曲线C2到直线l的距离为d1-r=.设曲线C1上的点(x0,y0)到直线l:y=x的距离最短为d,则过(x0,y0)的切线平行于直线y=x.已知函数y=x2+a,则y
10、=2x0=1,即x0=,y0=+a,点(x0,y0)到直线l:y=x的距离d=,由题意知=,所以a=-或a=.当a=-时,直线l与曲线C1相交,不合题意,故舍去.答案:考点五 直线与圆锥曲线的综合1.(2013年北京卷,文19)直线y=kx+m(m0)与椭圆W: +y2=1相交于A,C两点,O是坐标原点.(1)当点B的坐标为(0,1),且四边形OABC为菱形时,求AC的长;(2)当点B在W上且不是W的顶点时,证明:四边形OABC不可能为菱形.(1)解:因为四边形OABC为菱形,所以AC与OB相互垂直平分.所以可设A（t,）,代入椭圆方程得+=1,即t=.所以|AC|=2.(2)证明:假设四边形
11、OABC为菱形.因为点B不是W的顶点,且ACOB,所以k0.由消去y并整理得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0.设A(x1,y1),C(x2,y2),则=-,=k+m=.所以AC的中点为M.因为M为AC和OB的交点,且m0,k0,所以直线OB的斜率为-.因为k-1,所以AC与OB不垂直.所以四边形OABC不是菱形,与假设矛盾.所以当点B在W上不是W的顶点时,四边形OABC不可能是菱形.2.(2013年山东卷,文22)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C的中心在原点O,焦点在x轴上,短轴长为2,离心率为.(1)求椭圆C的方程;(2)A,B为椭圆C上满足AOB的面积为的任意两点,E为线段
12、AB的中点,射线OE交椭圆C于点P,设=t,求实数t的值.解:(1)设椭圆C的方程为+=1(ab0),由题意知解得a=,b=1,因此椭圆C的方程为+y2=1.(2)当A,B两点关于x轴对称时,设直线AB的方程为x=m,由题意得-m0或0m0,所以t=2或t=.当A,B两点关于x轴不对称时,设直线AB的方程为y=kx+h,将其代入椭圆的方程+y2=1,得(1+2k2)x2+4khx+2h2-2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2).由判别式0可得1+2k2h2,此时x1+x2=-,x1x2=,y1+y2=k(x1+x2)+2h=,所以|AB|=2.因为
13、点O到直线AB的距离d=,所以SAOB=|AB|d=2=|h|.又SAOB=,所以|h|=.令n=1+2k2,代入整理得3n2-16h2n+16h4=0,解得n=4h2或n=h2,即1+2k2=4h2或1+2k2=h2.又=t=t(+)=t(x1+x2,y1+y2)=,因为P为椭圆C上一点,所以t2=1,即=1.将代入得t2=4或t2=,又t0,所以t=2或t=,经检验符合题意,综合得t=2或t=.3.(2013年湖北卷,文22)如图,已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O,长轴均为MN且在x轴上,短轴长分别为2m,2n(mn),过原点且不与x轴重合的直线l与C1,C2的四个交点按纵坐标从大到小
14、依次为A,B,C,D.记=,BDM和ABN的面积分别为S1和S2.(1)当直线l与y轴重合时,若S1=S2,求的值;(2)当变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1=S2?并说明理由.解:依题意可设椭圆C1和C2的方程分别为C1: +=1,C2: +=1,其中amn0,=1.(1)如图1,若直线l与y轴重合,即直线l的方程为x=0,则S1=|BD|OM|=a|BD|,S2=|AB|ON|=a|AB|,所以=.在C1和C2的方程中分别令x=0,可得yA=m,yB=n,yD=-m,于是=.若=,则=,化简得2-2-1=0.由1,可解得=+1.故当直线l与y轴重合时,若S1=S2,则=+1.
15、(2)如图2,若存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1=S2.根据对称性,不妨设直线l:y=kx(k0),点M(-a,0),N(a,0)到直线l的距离分别为d1,d2,则d1=,d2=,所以d1=d2.又S1=|BD|d1,S2=|AB|d2,所以=,即|BD|=|AB|.由对称性可知|AB|=|CD|,所以|BC|=|BD|-|AB|=(-1)|AB|,|AD|=|BD|+|AB|=(+1)|AB|,于是=.将l的方程分别与C1,C2的方程联立,可求得xA=,xB=.根据对称性可知xC=-xB,xD=-xA,于是=.从而由和式可得=.令t=,则由mn,1,可得0t0,于是式关于k有解,当且仅当
16、0,等价于(t2-1) 1,0t1,可解得t1,即1,解得1+,所以当11+时,存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1=S2.模拟试题考点一 直线的倾斜角与斜率的关系及求法1.(2013广东省中山市高三期末)直线x+(a2+1)y+1=0的倾斜角的取值范围是()(A) (B) (C) (D) 解析:易知直线的斜率k=-,a20,a2+11,-1-0,且|Ax1+By1+C|Ax2+By2+C|,则()(A)直线l与P1P2不相交(B)直线l与线段P1P2的延长线相交(C)直线l与线段P2P1的延长线相交(D)直线l与线段P1P2相交解析:由(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)0,知点P1
17、、P2在直线l的同侧,又|Ax1+By1+C|Ax2+By2+C|,所以,即点P1到直线l的距离大于点P2到l的距离,故直线l与线段P1P2的延长线相交.答案:B考点四 距离的求法1.(2011安徽省高三联考)点P到点A(1,0)和直线x=-1的距离相等,且点P到直线y=x的距离为,这样的点P的个数是()(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:点P到点A和定直线距离相等,易知P点轨迹为抛物线,方程为y2=4x.设P(t2,2t),则=,解之得t1=1,t2=1t3=1-,P点有三个,故选C.答案:C2.(2013安徽黄山高三三校联考)已知抛物线方程为y2=4x,直线l的方程为x-y+4=0
18、,在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1,到直线l的距离为d2,则d1+d2的最小值为()(A) +2(B) +1(C) -2(D) -1解析:设P点坐标为,则d1=,d2=,=(-1)2-440恒成立.d1+d2=+=y2-+2,d1+d2的最小值为2=2-=-1.答案:D综合检测1.(2012福建模拟)若点(m,n)在直线4x+3y-10=0上,则m2+n2的最小值是()(A)2 (B)2 (C)4 (D)2解析:设原点到点(m,n)的距离为d,则d2=m2+n2,又因为(m,n)在直线4x+3y-10=0上,所以原点到直线4x+3y-10=0的距离为d的最小值,此时d=2,所以m2+n2
19、的最小值为4,故选C.答案:C2.(2013皖南八校联考)设点A(1,0),B(2,1),如果直线ax+by=1与线段AB有一个公共点,那么a2+b2()(A)最小值为(B)最小值为(C)最大值为(D)最大值为解析:线段AB的斜率k=1,线段AB方程为y=x-1(1x2).直线ax+by=1与线段AB有一个公共点,方程组有唯一解,a+b0,解得x=,又1x2,12.当a+b0时有画出可行域,如图所示,可知(a2+b2)min=.同理可得a+b0时,(a2+b2)min=.答案:A3.(2013潍坊一模)已知M是曲线y=ln x+x2+(1-a)x上的任一点,若曲线在M点处的切线的倾斜角均是不小
20、于的锐角,则实数a的取值范围是.解析:由y=ln x+x2+(1-a)x得y=+x+(1-a)= ,由于切线的倾斜角0时, +x2,a2.答案:(-,24.(2012杭州二模)已知动点P在直线x+2y-1=0上,动点Q在直线x+2y+3=0上,线段PQ中点M(x0,y0)满足不等式则的取值范围是.解析:设P(x1,y1)、Q(x2,y2),则x1+2y1-1=0,x2+2y2+3=0.两式相加得(x1+x2)+2(y1+y2)+2=0.x1+x2=2x0,y1+y2=2y0,x0+2y0+1=0,点M在直线x+2y+1=0上.如图所示,作出不等式组所表示的区域,可见,点M的轨迹是线段AB.解方程组得A点的坐标为(5,-3).是M到原点的距离,结合图形可得的最小值是原点到直线x+2y+1=0的距离d=,的最大值是|OM|=,的取值范围是.答案:
