1、2015-2016学年广东省潮州市饶平县肇庆市凤洲中学高三（上）第一次月考数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，本题共60分）1已知全集U=1，2，3，4，5，6，7，A=2，4，6，B=1，3，5，7，则A（UB）等于（）A2，4，6B1，3，5C2，4，5D2，52如果函数f（x）=x2+2（a1）x+2在（，4上是减函数，那么实数a取值范围是（）Aa3Ba3Ca5Da53要得到的图象，需要将函数y=sin2x的图象（）A向左平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向右平移个单位4圆C1：x2+y2+2x+8y8=0与圆C2：x2+y24x+4y2=0的位置关系是（）A相
2、离B外切C内切D相交5下列各组函数是同一函数的是（）与； f（x）=x与；f（x）=x0与； f（x）=x22x1与g（t）=t22t1ABCD6已知tan（+）=，tan（）=，则tan（+）的值等于（）ABCD7已知，满足：|=3，|=2，则|+|=4，则|=（）ABC3D8若定义运算ab=，则函数f（x）=log2x的值域是（）A0，+）B（0，1C1，+）DR9直线3x4y4=0被圆（x3）2+y2=9截得的弦长为（）AB4CD210如图，三棱柱A1B1C1ABC中，侧棱AA1底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是（）ACC1与B1E是异面
3、直线BAC平面ABB1A1CA1C1平面AB1EDAE，B1C1为异面直线，且AEB1C111函数（）A在（1，1）上单调递增B在（1，0）上单调递增，在（0，1）上单调递减C在（1，1）上单调递减D在（1，0）上单调递减，在（0，1）上单调递增12若关于x的方程x33x+m=0在0，2上有根，则实数m的取值范围是（）A2，0B0，2C2，2D（，2）（2，）二.填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13给出平面区域如图所示，若使目标函数Z=ax+y （a0），取得最大值的最优解有无数个，则a值为 14不等式x+1的解集是15已知数列an的前n项和Sn=n29n，则其通项an=；若它的第
4、k项满足5ak8，则k=16椭圆x2+4y2=4长轴上一个顶点为A，以A为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，该三角形的面积是三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17如图，在ABC中，（1）求sinA；（2）记BC的中点为D，求中线AD的长18有一个容量为100的样本，数据的分组及各组的频数如下：12.5，15.5），6；15.5，18.5），16；18.5，21.5），18；21.5，24.5），22；24.5，27.5），20；27.5，30.5），10；30.5，33.5），8（1）列出样本的频率分布表；（2）画出频率分布直方图；（3）估计数据
5、小于30.5的概率19已知圆C同时满足下列三个条件：与y轴相切；在直线y=x上截得弦长为2；圆心在直线x3y=0上求圆C的方程20在正方体ABCDA1B1C1D1中，M为DD1的中点，O为AC的中点，AB=2（I）求证：BD1平面ACM；（）求证：B1O平面ACM；（）求三棱锥OAB1M的体积21设函数f（x）=logax（a为常数且a0，a1），已知数列f（x1），f（x2），f（xn），是公差为2的等差数列，且（）求数列xn的通项公式；（）当时，求证：22已知函数f（x）的导数f（x）满足0f（x）1，常数为方程f（x）=x的实数根（）若函数f（x）的定义域为M，对任意a，bM，存在x0a
6、，b，使等式f（b）f（a）=（ba）f（x0）成立，求证：方程f（x）=x存在唯一的实数根；（） 求证：当x时，总有f（x）x成立；（）对任意x1、x2，若满足|x1|2，|x2|2，求证：|f（x1）f（x2）|42015-2016学年广东省潮州市饶平县肇庆市凤洲中学高三（上）第一次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，本题共60分）1已知全集U=1，2，3，4，5，6，7，A=2，4，6，B=1，3，5，7，则A（UB）等于（）A2，4，6B1，3，5C2，4，5D2，5【考点】交、并、补集的混合运算【专题】集合【分析】根据全集U及B求出B的补集，找出
7、A与B补集的交集即可【解答】解：全集U=1，2，3，4，5，6，7，B=1，3，5，7，UB=2，4，6，A=2，4，6，A（UB）=2，4，6故选：A【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键2如果函数f（x）=x2+2（a1）x+2在（，4上是减函数，那么实数a取值范围是（）Aa3Ba3Ca5Da5【考点】二次函数的性质【专题】计算题【分析】先用配方法将二次函数变形，求出其对称轴，再由“在（，4上是减函数”，知对称轴必须在区间的右侧，求解即可得到结果【解答】解：f（x）=x2+2（a1）x+2=（x+a1）2+2（a1）2其对称轴为：x=1a函数f（x）=x2
8、+2（a1）x+2在（，4上是减函数1a4a3故选A【点评】本题主要考查二次函数的单调性，解题时要先明确二次函数的对称轴和开口方向，这是研究二次函数单调性和最值的关键3要得到的图象，需要将函数y=sin2x的图象（）A向左平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向右平移个单位【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【专题】计算题【分析】由左加右减上加下减的原则可确定函数y=sin2x到的路线，进行平移变换，推出结果【解答】解：将函数y=sin2x向右平移个单位，即可得到的图象，就是的图象；故选D【点评】本题主要考查三角函数的平移三角函数的平移原则为左加右减上加下减注意x的系数4圆C1：x
9、2+y2+2x+8y8=0与圆C2：x2+y24x+4y2=0的位置关系是（）A相离B外切C内切D相交【考点】圆与圆的位置关系及其判定【专题】计算题【分析】把两圆的方程化为标准形式，求出圆心坐标和半径，求出两圆的圆心距，根据两圆的圆心距大于两圆的半径之差小于半径之和，判断两圆相交【解答】解：圆C1：x2+y2+2x+8y8=0 即 （x+1）2+（y+4）2=25，表示以A（1，4）为圆心，以5为半径的圆C2：x2+y24x+4y2=0 即 （x2）2+（y+2）2=10，表示以A（2，2）为圆心，以为半径的圆 两圆的圆心距d=，大于两圆的半径之差小于半径之和，故两圆相交，故选 D【点评】本题
10、考查两圆的位置关系，利用两圆的圆心距大于两圆的半径之差小于半径之和，故两圆相交5下列各组函数是同一函数的是（）与； f（x）=x与；f（x）=x0与； f（x）=x22x1与g（t）=t22t1ABCD【考点】判断两个函数是否为同一函数【专题】函数的性质及应用【分析】确定函数的三要素是：定义域、对应法则和值域，据此可判断出答案【解答】解：f（x）=与y=的对应法则和值域不同，故不是同一函数=|x|与f（x）=x的对应法则和值域不同，故不是同一函数f（x）=x0与都可化为y=1且定义域是x|x0，故是同一函数f（x）=x22x1与g（t）=t22t1的定义域都是R，对应法则也相同，而与用什么字母
11、表示无关，故是同一函数由上可知是同一函数的是故选C【点评】本题考查了函数的定义，明确三要素是判断两个函数是否是同一函数的依据6已知tan（+）=，tan（）=，则tan（+）的值等于（）ABCD【考点】两角和与差的正切函数【专题】三角函数的求值【分析】由于+=（+）（），利用两角差的正切即可求得答案【解答】解：tan（+）=，tan（）=，tan（+）=tan（+）（）= = =故选：B【点评】本题考查两角和与差的正切函数，考查观察能力与运算求解能力，属于中档题7已知，满足：|=3，|=2，则|+|=4，则|=（）ABC3D【考点】向量的模【专题】平面向量及应用【分析】由题意可得=，而|=，代
12、值计算可得【解答】解：|=3，|=2，且|+|=4，|+|2=13+2=16， =，|=故选：D【点评】本题考查向量的模长公式，属基础题8若定义运算ab=，则函数f（x）=log2x的值域是（）A0，+）B（0，1C1，+）DR【考点】对数的运算性质【专题】计算题；新定义【分析】先由定义确定函数f（x）的解析式，再根据函数的定义域和单调性求函数的值域【解答】解：令，即log2xlog2x2log2x00x1令，即log2xlog2x2log2x0x1又当0x1时，函数单调递减，此时f（x）（0，+）当x1时，函数f（x）=log2x单调递增，此时f（x）0，+）函数f（x）的值域为0，+）故选
13、A【点评】本题考查解对数不等式以及对数函数的值域，求对数函数的值域要注意函数的单调性属简单题9直线3x4y4=0被圆（x3）2+y2=9截得的弦长为（）AB4CD2【考点】直线与圆相交的性质【专题】计算题【分析】先根据圆的方程求得圆的圆心坐标和半径，进而利用点到直线的距离求得圆心到直线的距离，进而利用勾股定理求得被截的弦的一半，则弦长可求【解答】解：根据圆的方程可得圆心为（3，0），半径为3则圆心到直线的距离为=1弦长为2=4故选C【点评】本题主要考查了直线与圆相交的性质解题的关键是利用数形结合的思想，通过半径和弦构成的三角形和圆心到弦的垂线段，利用勾股定理求得答案10如图，三棱柱A1B1C1
14、ABC中，侧棱AA1底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是（）ACC1与B1E是异面直线BAC平面ABB1A1CA1C1平面AB1EDAE，B1C1为异面直线，且AEB1C1【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【专题】空间位置关系与距离【分析】由题意，此几何体是一个直三棱柱，且其底面是正三角形，E是中点，由这些条件对四个选项逐一判断得出正确选项【解答】解：因为三棱柱A1B1C1ABC中，侧棱AA1底面ABC，底面三角形ABC是正三角形，E是BC中点，对于A，CC1与B1E都在平面CC1BB1中不平行，故相交；所以A错误；所以对于B，AC与平面AB
15、B1A1斜交，夹角为60；故B错误；对于C，因为A1C1所在的平面与平面AB1E相交，且A1C1与交线有公共点，故C错误；对于D，因为AE，B1C1为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线，且AEB1C1，BCB1C1，所以AEB1C1；故D正确，故选：D【点评】本题考查了三棱锥的性质；关键是利用正三棱柱的性质得到线线关系、线面关系，利用相关的定理解答11函数（）A在（1，1）上单调递增B在（1，0）上单调递增，在（0，1）上单调递减C在（1，1）上单调递减D在（1，0）上单调递减，在（0，1）上单调递增【考点】函数单调性的判断与证明【专题】计算题【分析】首先看函数的定义域，解不
16、等式1x20，得x（1，1），然后再观察函数，发现f（x）=f（x），说明函数是定义在（1，1）上的奇函数，因此不难得出函数单调性的结论【解答】解：的定义域为：x|1x20=（1，1）定义域是一个关于原点对称的区间又因为所以函数是定义在（1，1）上的奇函数不难得出当x0时，函数为增函数所以函数是区间（1，1）上的增函数故选A【点评】本题着重考查了函数单调性的判断与证明，属于基础题在解题时，一方面要看到函数的定义域，另一方面要注意结合函数的奇偶性来判断函数的单调性12若关于x的方程x33x+m=0在0，2上有根，则实数m的取值范围是（）A2，0B0，2C2，2D（，2）（2，）【考点】函数零点的
17、判定定理【专题】函数的性质及应用【分析】由题意可得m=x33x，x0，2，利用导数判断函数在0，1上增，在1，2上减，由此求得函数m在0，2上的值域，从而求得m的范围【解答】解：由题意可知方程x33x+m=0在0，2上有解，则函数m=x33x，x0，2求出此函数的值域，即可得到实数m的取值范围令y=x33x，x0，2，则 y=3x23，令y0，解得x1，故此函数在0，1上增，在1，2上减，又当x=1，y=2； 当x=2，y=2； 当x=0，y=0函数y=x33x，x0，2的值域是2，2，故m2，2，m2，2，故选：B【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质
18、、函数的单调性等性质的合理运用二.填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13给出平面区域如图所示，若使目标函数Z=ax+y （a0），取得最大值的最优解有无数个，则a值为 【考点】简单线性规划【专题】计算题；数形结合【分析】由题设条件，目标函数Z=ax+y （a0），取得最大值的最优解有无数个知取得最优解必在边界上而不是在顶点上，目标函数中两个系数皆为正，故最大值应在左上方边界AC上取到，即ax+y=0应与直线AC平行；进而计算可得答案【解答】解：由题意，最优解应在线段AC上取到，故ax+y=0应与直线AC平行kAC=，a=，a=，故应填【点评】本题考查线性规划最优解的判定，属于该知识的
19、逆用题型，知最优解的特征，判断出最优解的位置求参数14不等式x+1的解集是（，1）（，+）【考点】其他不等式的解法【专题】不等式的解法及应用【分析】分两种情况，当x1时，原不等式化为x211，解得x，当x1时，原不等式化为x211，解得x1，问题得以解决【解答】解：当x1时，原不等式化为x211，解得x，当x1时，原不等式化为x211，解得x1，综上所述，不等式的解集为（，1）（，+）故答案为：（，1）（，+）【点评】本题考查了分式不等式的解法，关键是分类讨论的思想，属于基础题15已知数列an的前n项和Sn=n29n，则其通项an=2n10；若它的第k项满足5ak8，则k=8【考点】等差数列的
20、性质【专题】分类讨论【分析】利用an与sn的关系an=snsn1（n2）求解，不要忘记讨论n=1时的情况；将an的表达式代入不等式，求解即可【解答】解：Sn=n29n，当n=1时，a1=s1=8；当n2时，an=snsn1=n29n（n1）29（n1）=2n10，a1也适合an=2n10，an=2n10；令52k108，解得7.5k9，kN+，k=8，故答案为2n10；8【点评】由an与sn的关系求通项公式是一类重要题型，要注意分类讨论的必要性16椭圆x2+4y2=4长轴上一个顶点为A，以A为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，该三角形的面积是【考点】椭圆的简单性质；椭圆的应用【专题】计
21、算题【分析】根据A是直角顶点推断直角边斜率是1和1设A是（2，0）则可得一直角边方程与椭圆方程联立消去y求得交点的横坐标，进而根据直线方程求得横坐标，进而可求得一直角边的长，最后根据面积公式可得三角形的面积【解答】解：A是直角顶点所以直角边斜率是1和1设A是（2，0）所以一条是y=x+2代入椭圆5x2+16x+12=0（5x+6）（x+2）=0x=，x=2（排除）x=，y=x+2=所以和椭圆交点是C（，）则AC2=（2+）2+（0）2=所以面积=AC2=故答案为【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质本题是研究椭圆和解三角形问题的综合题对学生对问题的综合分析的能力要求很高三、解答题：本大题共6小题
22、，共80分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17如图，在ABC中，（1）求sinA；（2）记BC的中点为D，求中线AD的长【考点】余弦定理；正弦定理【专题】计算题【分析】（1）根据同角三角函数基本关系，利用cosC求得sinC，进而利用两角和公式求得sinA（2）先根据正弦定理求得BC，则CD可求，进而在ADC中，利用余弦定理根据AC和cosC的值求得AD【解答】解：（1）由，C是三解形内角，得=（2）在ABC中，由正弦定理，又在ADC中，由余弦定理得， =【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用，涉及了同角三角函数基本关系，两角和公式，综合性很强18有一个容量为100的样本，数据的
23、分组及各组的频数如下：12.5，15.5），6；15.5，18.5），16；18.5，21.5），18；21.5，24.5），22；24.5，27.5），20；27.5，30.5），10；30.5，33.5），8（1）列出样本的频率分布表；（2）画出频率分布直方图；（3）估计数据小于30.5的概率【考点】频率分布表；频率分布直方图；用样本的频率分布估计总体分布【专题】计算题；作图题【分析】（1）由题中的所给数据，列成表格，即可得到频率分布表中的数据；（2）由频率分布表中的数据，在横轴为数据，纵轴为，即可得到频率分布直方图；（3）为了估计数据小于30.5的概率，只须求出频率分步直方图中数据小于3
24、0.5的频率即可【解答】解：（1）样本的频率分布表如下：（2）频率分布直方图如下图（3）数据大于等于30.5的频率是0.08，小于30.5的频率是0.92数据小于30.5的概率约为0.92【点评】解决总体分布估计问题的一般程序如下：（1）先确定分组的组数（最大数据与最小数据之差除组距得组数）；（2）分别计算各组的频数及频率（频率=）；（3）画出频率分布直方图，并作出相应的估计19已知圆C同时满足下列三个条件：与y轴相切；在直线y=x上截得弦长为2；圆心在直线x3y=0上求圆C的方程【考点】圆的标准方程【专题】计算题【分析】设所求的圆C与y轴相切，又与直线y=x交于AB，由题设知圆心C（3a，a
25、），R=3|a|，再由点到直线的距离公式和勾股定理能够求出a的值，从而得到圆C的方程【解答】解设所求的圆C与y轴相切，又与直线y=x交于AB，圆心C在直线x3y=0上，圆心C（3a，a），又圆与y轴相切，R=3|a|又圆心C到直线yx=0的距离在RtCBD中，9a22a2=7a2=1，a=1，3a=3圆心的坐标C分别为（3，1）和（3，1），故所求圆的方程为（x3）2+（y1）2=9或（x+3）2+（y+1）2=9【点评】本题考查圆的方程，解题时要注意点到直线的距离公式和勾股定理的合理运用结合图形进行求解会收到良好的效果20在正方体ABCDA1B1C1D1中，M为DD1的中点，O为AC的中点，
26、AB=2（I）求证：BD1平面ACM；（）求证：B1O平面ACM；（）求三棱锥OAB1M的体积【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定【专题】空间位置关系与距离【分析】（I）利用线面平行的判定定理证明BD1平面ACM；（）利用线面垂直的判定定理证明B1O平面ACM；（）利用锥体的体积公式求体积【解答】解：（I）证明：连结BD，设BD与AC的交点为O，AC，BD为正方形的对角线，故O为BD中点；连结MO，O，M分别为DB，DD1的中点，OMBD1，OM平面ACM，BD1平面ACMBD1平面ACM （II）ACBD，DD1平面ABCD，且AC平面ABCD，ACDD1；且BDDD1=D，A
27、C平面BDD1B1OB1平面BDD1B1，B1OAC，连结B1M，在B1MO中，B1OOM又OMAC=O，B1O平面AMC； 法二：，ODM=B1BO=90，MDOOBB1，MOD=OB1B，MOD+B1OB=90，B1OOM（）可证AO平面OB1M，则【点评】本题主要考查直线和平面平行或垂直的判定，以及锥体的条件公式，要求熟练掌握相应的判定定理21设函数f（x）=logax（a为常数且a0，a1），已知数列f（x1），f（x2），f（xn），是公差为2的等差数列，且（）求数列xn的通项公式；（）当时，求证：【考点】数列与函数的综合；数列与不等式的综合【专题】综合题【分析】（1）由f（x1），
28、f（x2），f（xn），是公差为2的等差数列，且，知f（xn）=loga（a2）+2（n1）=2n由此能求出数列xn的通项公式（2）由（1）和a=得，x1+x2+xn=（）2+（）4+（）2n=由此能够证明当时，【解答】解：（1）f（x1），f（x2），f（xn），是公差为2的等差数列，且，f（xn）=loga（a2）+2（n1）=2nf（xn）=loga（xn）=2n，xn=a2n（2）由（1）和a=得，x1+x2+xn=（）2+（）4+（）2n=，故当时，【点评】本题考查数列与函数的综合，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想对数学思维的要求比较高，有一定的探索性综合性强，难度
29、大，是高考的重点解题时要认真审题，仔细解答22已知函数f（x）的导数f（x）满足0f（x）1，常数为方程f（x）=x的实数根（）若函数f（x）的定义域为M，对任意a，bM，存在x0a，b，使等式f（b）f（a）=（ba）f（x0）成立，求证：方程f（x）=x存在唯一的实数根；（） 求证：当x时，总有f（x）x成立；（）对任意x1、x2，若满足|x1|2，|x2|2，求证：|f（x1）f（x2）|4【考点】函数与方程的综合运用；导数的几何意义【专题】计算题；证明题【分析】（I）假设f（x）=x有不同于的实数根，利用反证法，我们可以证明假设不成立，进而得到方程f（x）=x存在唯一的实数根a；（II
30、）我们构造函数g（x）=xf（x），我们可以利用导数法判断出函数g（x）的单调性，进而得到当xa时，总有f（x）x成立；（）不妨设x1x2，由已知中0f（x）1，可以判断出f（x）在定义域上为增函数，结合（II）中的结论，我们可得x1f（x1）x2f（x2），进而得到当|x1a|2，|x2a|2时，有|f（x1）f（x2）|4【解答】解：（I）设f（x）=x有不同于的实数根，即f（）=，不妨设，于是在与间必存在c，c，使得=f（）f（）=（）f（c）f（c）=1，这与已知矛盾，方程f（x）=x存在唯一实数根（II）令g（x）=xf（x）g（x）=1f（x）0g（x）在定义域上为增函数又g（）=f（）=0当x时，g（x）g（）=0当x时，f（x）x、（III）不妨设x1x2，0f（x）1f（x）在定义域上为增函数由（2）知xf（x） 在定义域上为增函数、x1f（x1）x2f（x2）0f（x2）f（x1）x2x1即|f（x2）f（x1）|x2x1|x2x1|x2|+|x1|4|f（x1）f（x2）|4【点评】本题考查的知识点是函数与方程的综合运用，导数的几何意义，其中利用导数法判断函数f（x）的单调性及g（x）=xf（x）的单调性是解答本题的关键
