1、吉林省白城市通榆县第一中学2019-2020学年高二数学下学期第四次月考试题 理（含解析）一选择题1. 若为实数,且 ,则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意可得 ,故选D.考点：本题主要考查复数的乘除运算,及复数相等的概念.2. 在同一坐标系中，将曲线变为曲线的伸缩变换是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据三角函数图象伸缩变换原则可知需坐标扩大到原来的倍，纵坐标缩短为原来的，从而可得结果.【详解】将变为需将：的横坐标扩大到原来的倍，纵坐标缩短为原来的 本题正确选项：【点睛】本题考查曲线的伸缩变换，涉及到三角函数伸缩变换原则，属于基础题.3. 极坐标方
2、程（-1）（）=0（0）表示的图形是A. 两个圆B. 两条直线C. 一个圆和一条射线D. 一条直线和一条射线【答案】C【解析】4. 在极坐标系中，点到曲线的距离等于（ ）A. 1B. C. D. 2【答案】B【解析】【分析】将极坐标转化为直角坐标，极坐标方程转化为直角坐标方程，再利用点到直线的距离公式计算可得；【详解】解：在极坐标系中，点化为直角坐标为，即为，曲线即，化为直角坐标方程为，则到直线的距离等于.故选:B.【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的转化，属于基础题.5. 将参数方程（为参数）化为普通方程（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求自变量x的取值范围，由
3、的取值范围，可知的范围.，再将-可消去即可解.【详解】解：，.又，则有，由，-可得，将参数方程（为参数）化为普通方程是，故选：C【点睛】考查直线的参数方程消参化普通方程，要注意自变量x的取值范围.经过点，倾斜角为的直线的参数方程可表示为（为参数）.题目难度较易.6. 已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为（）A. -4B. -1C. 1D. 4【答案】C【解析】【分析】先求出在点处的切线斜率，然后利用两直线垂直的条件可求出的值.【详解】由题意，则曲线在点处切线斜率为4，由于切线与直线垂直，则，解得.故选C.【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了两直线垂直的性质，考查了计算能力，属于基础
4、题.7. 已知函数，则函数的单调递增区间是（ ）A. 和B. 和C. 和D. 【答案】C【解析】【分析】先求出函数的定义域，再求导，根据导数大于0解得x的范围，继而得到函数的单调递增区间【详解】函数f(x)x25x2ln x的定义域是(0，)，令f(x)2x50，解得0x或x2，故函数f(x)的单调递增区间是，(2，)故选C【点睛】本题考查了导数和函数的单调性的关系，易错点是注意定义域，属于基础题8. 若(为自然对数的底数)，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由于函数为分段函数，故将积分区间分为两部分，进而分别求出相应的积分，即可得到结论【详解】解:由，所以.故选:C.
5、【点睛】本题重点考查定积分，解题的关键是将积分区间分为两部分，再分别求出相应的积分，属于基础题9. 若a0，b0，且函数f（x）=4x3ax22bx+2在x=1处有极值，则ab的最大值等于（ ）A. 2B. 3C. 6D. 9【答案】D【解析】试题分析：求出导函数，利用函数在极值点处的导数值为0得到a，b满足的条件；利用基本不等式求出ab的最值；注意利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等解：f（x）=12x22ax2b又因为在x=1处有极值a+b=6a0，b0当且仅当a=b=3时取等号所以ab的最大值等于9故选D点评：本题考查函数在极值点处的导数值为0、考查利用基本不等式求最值需注意：
6、一正、二定、三相等10. 若函数恰有3个零点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求导函数，求出函数的极值，利用函数恰有三个零点，即可求实数的取值范围.【详解】函数的导数为，令，则或，上单调递减，上单调递增，所以0或是函数y的极值点，函数的极值为：，函数恰有三个零点，则实数的取值范围是：.故选B.【点睛】该题考查的是有关结合函数零点个数，来确定参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意应用导数研究函数图象的走向，利用数形结合思想，转化为函数图象间交点个数的问题，难度不大.11. 有5名同学进行投篮比赛，决出第1名至第5名的不同名次，教练在公布成绩前透露，五
7、名同学中的甲乙名次相邻，丙不是第一名，丁不是最后一名，根据教练的说法，这5名同学的名次排列最多有（ ）种不同的情况.A. 28B. 32C. 54D. 64【答案】A【解析】【分析】根据题意，用间接法分析：先计算五人中甲乙名次相邻的情况，再分析其中“甲乙名次相邻且丙是第一名”“甲乙名次相邻且丁是最后一名”和“甲乙名次相邻且丙是第一名排法同时丁是最后一名”的排法数目，据此分析可得答案.【详解】根据题意，用间接法分析：五名同学中的甲乙名次相邻，有种情况，其中甲乙名次相邻且丙是第一名排法有种，甲乙名次相邻且丁是最后一名排法有种，甲乙名次相邻且丙是第一名排法同时丁是最后一名排法有种；则有种.故选：A【
8、点睛】本题考查排列组合的应用，如果限制条件比较多，可以选用间接法分析，避免分类讨论.12. 若函数的定义域是，则不等式的的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】构造函数，问题转化为，求导判断单调性即可.【详解】构造函数，则不等式可转化为，则，则函数在上单调递减，则的解集为，则不等式的解集为.故选：A.【点睛】本题主要考查不等式的解法，适当构造函数，利用导数求解是解题的关键.二填空题13. 的展开式中第三项的系数为_【答案】6【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式，当时得到项，再抽出其系数.【详解】，当时，所以第三项的系数为，故填.【点睛】本题考查二项展开式的简单运用，
9、考查基本运算能力，注意第3项不是，而是.14. 由数字2,0,1,7组成没有重复数字的四位偶数的个数为_【答案】10【解析】零结尾的有个，结尾的先排首位，故有个，故有个.15. 若，则_【答案】【解析】分析】分别令和，再将两个等式相加可求得的值.【详解】令，则；令，则.上述两式相加得.故答案为：.【点睛】本题考查偶数项系数和的计算，一般令和，通过对等式相加减求得，考查计算能力，属于中等题.16. 直线(为参数)与圆有两个交点，若点的坐标为，则_.【答案】4【解析】【分析】将化为一般形式，代入圆，得到一个一元二次方程，求出解，求得的值.【详解】解：由直线参数方程，化为：，代入圆，解得或.所以，故
10、答案为：4.【点睛】本题考查直线的参数方程，直线与圆相交的性质，属于基础题.三解答题17. 求下列函数的导数：（）；（）.【答案】（）；（）.【解析】【分析】（1）由导数的计算公式，进而计算，即可求解，得到答案；（2）由导数乘法法则，进行计算、变形，即可求解，得到答案【详解】（）由导数的计算公式，可得.（）由导数的乘法法则，可得.【点睛】本题主要考查了导数的计算，其中解答中熟练掌握导数的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题18. 已知函数.（1）求的值；（2）求函数的单调区间和极值.【答案】（1）.（2）的单调增区间，单调减区间为，极小值为，极大值为【解析】【分析】（1）
11、求出函数的导数，将代入导函数求出即可；（2）求导数，解不等式，即可得单调区间，由极值定义可求得极值.【详解】（1），所以；（2），令，解得或，令，解得：，为函数的单调增区间，为函数的单调减区间；极小值为：，极大值为：.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性极值问题，准确求导，弄清导数与函数性质间的关系是解题关键.19. 已知名学生和名教师站在一排照相，求：（1）中间二个位置排教师，有多少种排法？（2）两名教师不能相邻的排法有多少种？（3）两名教师不站在两端，且必须相邻，有多少种排法？【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）先排教师有种方法，再排学生有种方法，再根据分步计数原理即可
12、得到答案；（2）先排4名学生有种方法，再把老师插入4个学生形成的5个空位中，有种方法，根据分步计数原理即可得到答案；（3）先将2名老师看成一个整体，有种方法，再从4名学生种选2名排两端，有种方法，最后将剩下的2名学生和老师这个整体全排列，有种方法，由乘法原理即可得到答案.【详解】（1）；（2）；（3）.【点睛】本题主要考查排列组合的实际应用，本题解题的关键是对于有限制的元素要优先排，特殊位置要优先排不相邻问题用插空法，解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手.20. 已知函数在点处的切线方程是（1）求实数 值；（2）求函数在 上的最大值和最小值（其中是自然对数的
13、底数）.【答案】（1），；（2）最大值为，最小值为.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，通过切线方程列出方程即可求实数a，b的值；（2）求出函数的导数，判断函数的单调性，然后求解函数的极值，然后求函数f（x）在上的最大值和最小值【详解】（1）因为， 则， 函数在点处的切线方程为：， 由题意得，即，. （2）由（1）得，函数的定义域为， ，在上单调递减，在上单调递增 故在上单调递减，在上单调递增， 在上的最小值为 又，且在上的最大值为. 综上，在上的最大值为，最小值为【点睛】本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力,准确计算是关键，是中档题.21. 设常
14、数，函数.（1）令时，求的最小值，并比较的最小值与零的大小；（2）求证：在上是增函数；（3）求证：当时，恒有.【答案】（1）最小值为，最小值大于零.（2）证明见解析.（3）证明见解析【解析】【分析】（1）对函数进行求导，确定函数的解析式，再对函数求导，列表判断出该函数的单调性以及极值，最后确定函数的最小值，再判断的最小值与零的大小即可；（2）利用（1）中的结论，可以判断出函数的正负性，进而能证明出的单调性；（3）利用（2）中的结论进行证明即可.【详解】（1）因为，所以.所以，所以，令，得.列表如下：20减极小值增所以在处取得极小值，即的最小值为，因为，所以，又，所以即的最小值大于零.（2）由（
15、1）知，的最小值为正数，所以对一切，恒有.从而当时，恒有，故在上是增函数.（3）由（2）知在上是增函数，所以当时，.又，所以，即，所以，故当时，恒有.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的最值单调性，考查了利用函数的单调性证明不等式恒成立问题，考查了数学运算能力.22. 选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线的极坐标方程为.以极点为原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数）.（1）求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；（2）求直线被曲线所截得的弦长.【答案】（1）曲线的直角坐标方程为.直线的普通方程为.（2）【解析】【分析】（1）根据极坐标方程与直角坐标方程的互化，可直接得出圆的直角坐标方程；根据直线的参数方程消去参数，可直接得出直线的普通方程；（2）用点到直线距离公式求出圆心到直线的距离，根据几何法求出弦长即可.【详解】（1）因为曲线的极坐标方程可化为.且，所以曲线的直角坐标方程为.直线：（为参数）的普通方程为.（2）圆心到直线：的距离为，又因为半径为1，所以弦长为.【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线的参数方程与普通方程的互化，熟记公式即可求解，属于常考题型.
