1、北师大版高中数学选修2-2第二章 2学习目标：1、通过回顾，进一步体会由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程.2、理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，会求函数f(x)在某一点x0处的导数。3、能解释具体函数在一点的导数的实际意义。学习重点：导数的概念及导数的实际意义。学习难点：结合具体问题，理解导数概念的内涵 提示：sts3ts3t142t，当t0时，st14，故质点在3秒时的瞬时速度为14米/秒问题2：试求质点在第3秒时的瞬时速度一质点按规律s2t22t做直线运动(位移单位：米，时间单位：秒)问题1：试求质点在前3秒内的平均速度提示：8米/秒提出问题：问题3：对于函数yf(x)，当x从x0变
2、到x1时，求函数值y关于x的平均变化率提示：yxfx0 xfx0 x.问题4：当x趋于0时，平均变化率趋于一个常数吗？这个常数是什么？提示：是导数的概念1定义：设函数yf(x)，当自变量x从x0变到x1时，函数值从f(x0)变到f(x1)，函数值y关于x的平均变化率为yx，当x1趋于x0，即x趋于0时，如果平均变化率趋于一个，那么这个值就是函数yf(x)在x0点的瞬时变化率在数学中，称瞬时变化率为函数yf(x)在x0点的导数固定的值fx1fx0 x1x0fx0 xfx0 x新知学习：2记法：函数 yf(x)在 x0 点的导数，通常用符号f(x0)表示，记作 f(x0)limx1x0limx0.
3、fx1fx0 x1x0fx0 xfx0 x0000(2)();()fxxxfxx与 的值有关，不同的 其导数值一般也不相同与的具体取值无关。0000(4)lim.xfxxfxxxx 00瞬时变化率与导数是同一概念的两个名称。导数f(x)=是函数y=f在点x处的瞬时变化率，它反映的是函数y=f在点x 处变化的快慢程度注意：（1）函数应在点x0 的附近有定义，否则导数不存在 00(3)limxyxxx 0导数是研究在x 处,及其附近函数值的改变量 y与自变量的改变量 x之比的极限，它是一个局部性的概念，若存在，函数y=f在 处就有导数，否则就没有导数。由导数的定义，求函数 yf(x)在点 x0 处
4、的导数的方法：求函数值的改变量 yf(x0 x)f(x0)；求平均变化率yxfx0 xfx0 x；给平均变化率取极限，得函数在 x0 处的导数，即 f(x0)li mx0yx.导数思想最早由法国数学家 Ferma 在研究极值问题中提出.费马对数学的贡献包括：与笛卡尔共同创立了解析几何；创造了作曲线切线的方法，被微积分发明人之一牛顿奉为微积分的思想先驱；通过提出有价值的猜想，指明了关于整数的理论数论的发展方向。他还研究了掷骰子赌博的输赢规律，从而成为古典概率论的奠基人之一。103mxxfy3)()(xfy)2(f 例：一条水管中流过的水量y（单位：）是时。求函数在x=2处的导数，并解释它的实际意
5、义。间x（单位：s）的函数解：当x从2变到2x时，函数值从32变到3（2+x），函数值y关于x的平均变化率为3323)2(3)2()2(xxxxxfxf（3/ms当x趋于2，即x趋于0时，平均变化率趋于3，0(2)(2)(2)lim3.xfxffx 即11所以3)2(f（/s）.3m)2(f 导数3m 表示当x=2s时水流的瞬时变化率，即水流的瞬时速度。也就是如果水管的中的水以x=2s时的瞬时速度流动的话，每经过1s，水管中流过的水量为3(4)f 思考：的值，它的实际意义是什么？12)(xfy)(xfy 4)1(f5.3)3(f说一说1：一名食品加工厂的工人上班后开始连续工作，生产的食品量y（
6、单位：kg）是其工作时间x（单位：h）的函数。假设函数在x=1和x=3处的导数分别为和，试解释它们的实际意义。134)1(f5.3)3(f解：表示该工人工作1h的时候，其生产速度（即工作效率）为4kg/h，也就是说，如果保持这一生产速度，那么他每时可以生产4kg的食品。表示该工人上班后工作3h的时候，其生产速度为3.5kg/h，也就是说，如果保持这一生产速度，那么他每时可以生产出3.5kg/h的食品。14()yf t，假设函数)(tfy 5.1)10(f6.0)100(f说一说2:服药后，人体血液中药物的质量浓度y（单位：g/mL）是时间t（单位：min）的函数在t=10和t=100处的和导数
7、分别为，试解释它们的实际意义。155.1)10(f6.0)100(f解：表示服药后10min时，血液中药物的质量浓度上升的速度为1.5 g/（mLmin）。也就是说，如果保持这一速度，每经过1min，血液中药物的质量浓度将上升1.5 g/（mLmin）。表示服药后100min时，血液中药物的质量浓度下降的速度为0.6 g/（mLmin）。也就是说，如果保持这一速度，每经过1min，血液中药物的质量浓度将下降0.6 g/（mLmin）。16练一练:、想一想：已知函数f(x)ax22x在x1处的导数为6，求a的值解：f(1)limx0f1xf1xlimx0a1x221xa2xlimx0ax22a2
8、xxlimx0 a(x)(2a2)2a2，又f(1)6，2a26，a2.18小结：1、导数的概念及内涵；2、利用导数的定义求函数在一点处的导数的方法步骤：0000000000()()()()()()limlimxxyf xxf xf xxf xyxxf xxf xyxx0（1）求函数的变化率（2）求函数的平均变化率（3）求极限f(x)=3、思想方法：“以已知探求未知”、逼近、类比、从特殊到一般。作业：1.教材习题2-2 A组第2，3题(必做题)2.见学案（选做题）课后思考从函数的图象上看，平均变化率：表示曲线y=f(x)的一条割线的斜率。00()()f xxf xx 那么导数即瞬时变化率表示什
9、么呢？请课后思考.0000()()()limxf xxf xf xx y=f(x)f(x0+)-f(x0)x0 x0+xyf(x0+)f(x0)oxxxx201求函数y2x2+1在x1处的导数。课堂练习:函数yx2在x1处的导数为()A2x B2xC2 D1解析：yx2在x1处的导数为：f(1)limx01x21x2.答案：C练一练:课后练习:1.某质点沿直线运动,运动规律是s=5t2+6,求:(1)2t2+t这段时间内的平均速度,这里t取值为1;(2)t=2时刻的瞬时速度.520,)(520)625(6)2(5)1(:222ttsttts故平均速度为：解.25,1tst时当.20)520(l
10、imlim:2)2(00ttsttt时刻的瞬时速度为3求函数f(x)x1x在x1处的导数解：y(1x)11x111 x x1x，yxx x1xx111x，limx0yxlimx0 111x 2，从而f(1)2.导数的概念 在高台跳水运动中,平均速度不一定能反映运动员在某一时刻的运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态。我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.25又如何求瞬时速度呢?26 平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?105.69.4)(2ttth求：从2s到(2+t)s这段时间内平均速度tthththv9.41.13)2()2(27t0时
11、,在2,2+t 这段时间内1.139.4tv1.139.4tv051.13v当t=0.01时,149.13v当t=0.01时,0951.13v当t=0.001时,1049.13v当t=0.001时,09951.13v当t=0.0001时,10049.13v当t=0.0001时,099951.13vt=0.00001,100049.13vt=0.00001,0999951.13vt=0.000001,1000049.13vt=0.000001,平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?105.69.4)(2ttth28当 t 趋近于0时,即无论 t
12、 从小于2的一边,还是从大于2的一边趋近于2时,平均速度都趋近与一个确定的值 13.1.1.13)2()2(lim0ththt从物理的角度看,时间间隔|t|无限变小时,平均速度就无限趋近于 t=2时的瞬时速度.因此,运动员在 t=2 时的瞬时速度是 13.1.v表示“当t=2,t趋近于0时,平均速度趋近于确定值13.1”.v从2s到(2+t)s这段时间内平均速度tthv9.41.1329探 究:1.运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示?2.函数f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率怎样表示?5.68.9)5.68.99.4(lim)5.68.9()(9.4lim)()(lim0000200
13、00ttttttttthtthttt30定义:函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是xfxxfxxfxxlim)()(lim0000称为函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数,记作.)()(lim)(0000 xxfxxfxfx)(0 xf 或,即0|xxy;)().1(000其导数值一般也不相同的值有关，不同的与xxxf 的具体取值无关。与 xxf)(0一概念的两个名称。瞬时变化率与导数是同).2(31定义:函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是xfxxfxxfxxlim)()(lim0000称为函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数,记作.)()(lim)(0000 xxfxxfxfx)(0 xf 或,即0|xxy32由导数的定义可知,求函数 y=f(x)的导数的一般方法:1.求函数的改变量2.求平均变化率3.求值);()(00 xfxxff.lim)(00 xfxfx;)()(00 xxfxxfxf一差、二化、三极限