1、1.2.1 综合法 数学是一门严谨的科学，数学结论的正确性必须通过逻辑推理的方式加以证明。在证明数学命题时，我们可以从已知条件出发，依据学过的数学定义、公理、定理以及运算法则等等，通过推理，证明命题的结论。例1求证：是函数的一个周期。)42sin()(xxf证明：因为4)(2sin)(xxf)422sin(x)()42sin(xfx所以，由周期函数的定义可知：是函数的一个周期。)42sin()(xxf本题的证明形式是怎样的？因果条件给出方程的两根是，那么这两根是什么？用a、b、c怎样表示？由初中的求根公式我们可以表示方程的根。1x2x)0(02acbxax例2 已知和是方程的两个根。求证：1x
2、2x)0(02acbxaxacxxabxx2121,分析：aacbbx2421aacbbx242 2abaacbbaacbbxx24242221acaacaacbbxx222221444)4(由求根公式得：证明：所以本题的证明形式又是怎样的？因果证明形式：本题条件已知公式已知定义本题结论计算、化简以上两题的证明形式有什么共同特点？因果由原因推导结果通过上述证明，可以发现：它们都是从命题的条件出发，以定义、定理、公理及运算法则等，通过严格的推理，一步一步地接近要证明的结论，直到推导出所要的结论。概括总结我们把这种证明方法叫做综合法，或者叫做顺推证法。若用框图表示过程，应为：1QP 21QQ 32
3、QQ QQn 条 件 结 论 定义、定理、公理公式及运算法则演绎推理因其证明的过程都是由因导果的形式，所以综合法又称由因导果法。QP因果 例3 已知：为互不相等的实数，且，求证：zyx,xzzyyx1111222zyx由条件得：zyyx11yzzyyzyx11证明：yxzyyzzyx,又由是不等实数，得zyxzzxxzyxxy,同理有：1222zyxzxzyxyxzyzyx所以：因果 综合法：条 件 结 论 定义、定理、公理公式及运算法则逻辑推理又叫顺推法，或由因导果法。综合法的特点：从“已知”看“可知”，逐步推问“未知”，由因导果，逐步推理，寻找必要条件。1.2.2 分析法 在证明数学命题的
4、时候，也可以从命题的结论入手，寻求保证结论成立的条件，直到归结为命题给定的条件或定义、公理、定理等。例题讲解例1 已知：是不相等的正数，求证：ba,2233abbaba证明：要证需证需证需证需证且由于是不相等的正数，所以能保证上式成立，则命题得证。2233abbaba)()(baabbababa220)2)(22bababa0)(2 baba0 ba0)(2 baba,本题的证明形式有何特点？从哪里出发？果因例2 求证：10578证明：10578要证2210578)()(即证即证5021556215即证5056 由于显然成立，所以命题成立。5056 分析：由于含根号，所以考虑将根号去掉。果因例
5、3 求证：函数在区间上是递增的。),3(16122)(2xxxf证明：要证在上递增，),3(16122)(2xxxf即证 对于任意，且时，有),3(,21xx21xx 0)()(21xfxf即证 对于任意的，有213xx)(12)(2)()(21222121xxxxxfxf)(12)(2212121xxxxxx0)6)(22121xxxx果因由条件知，且，则有，且，3,321xx21xx 021 xx621 xx它们保证了0)()(21xfxf所以在上是递增的。),3(16122)(2xxxf不难看出，这几例都是从结论出发寻找其成立的充分条件而进行证明的，即 执果索因果因从结论出发，一步一步地
6、探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、定理、公理等。这样的思维方法，我们称之为分析法。又叫逆推法，或者执果索因法。概括总结特点：执果索因，即由求证走向已知。果因例4 已知：BE、CF分别是ABC边AC、AB上的高，G是EF中点，H是BC中点，求证：HGEF分析：由题意，G是EF中点，要证HGEF，只要说明EHF是等腰三角形即可，即证明EH=HF。证明：要证 HGEF，即证 EH=HF，由CFAB，HB=HC，知FH是Rt BCF斜边中线，则 2FH=BC,同理 2HE=BC，故EHF是等腰三角形，所以 HGEF。分析法：又叫逆推法，或者执果索因法。分析法的特点：执果索因，即由求证走向已知。果因