1、北京市朝阳区2016-2017学年度高三年级第一学期统一考试 数学试卷（文史类） 2017.1（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知全集，集合，则A. B. C. D. 2.复数 A. 2i B. 22i C. 1+i D. 1i 3已知非零实数，满足，则下列不等式中一定成立的是A. B. C. D. 4. 已知平面向量，则与的夹角为 A. B C. D. 5.已知，且，则“函数在上是减函数”是“函数在上
2、是增函数”的（ ）A. 充分而不必要条件 B必要而不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件6. 已知双曲线 ，的左、右焦点分别是，M是双曲线上的一点，且|，|=1，则该双曲线的离心率是12俯视图正视图侧视图1A B C D或7某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角三角形，则该四棱锥的体积为A. B. C. D.8某校高三（1）班32名学生参加跳远和掷实心球两项测试。跳远和掷实心球两项测试成绩合格的人数分别为26人和23人，这两项成绩均不合格的有3人，则这两项成绩均合格的人数是A. B. C. D.第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共3
3、0分.把答案填在答题卡上. 9已知等差数列前n项和为.若，则=_， .开始是否输出结束10圆C：的圆心到直线的距离是 11执行如图所示的程序框图，则输出的结果为_.12在中，已知，则 . 13设D为不等式组表示的平面区域，对于区域D内除原点外的任一点，则的最大值是_，的取值范围是_.14. 甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖。有人走访了四位歌手，甲说：“乙或丙获奖”；乙说：“甲、丙都未获奖”；丙说： “丁获奖”；丁说：“丙说的不对”。若四位歌手中只有一个人说的是真话，则获奖的歌手是 .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. （本小题满
4、分13分） 已知函数.（）求的最小正周期；（）求在区间上的最大值和最小值.16. （本小题满分13分）已知等比数列的各项均为正数，且，（）求数列的通项公式；（）若数列满足，且是等差数列，求数列的前项和.17. （本小题满分13分）甲、乙两位学生参加数学文化知识竞赛培训。在培训期间，他们参加的5次测试成绩记录如下：甲： 82 82 79 95 87乙： 95 75 80 90 85（）用茎叶图表示这两组数据；（）从甲、乙两人的这5次成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙的成绩高的概率；（）现要从甲、乙两位同学中选派一人参加正式比赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位同学参加合适？并说明理由18.
5、（本小题满分14分）FADCBE如图，四边形是边长为的正方形，平面平面，, （）求证：平面；（）求证：平面；（）求三棱锥的体积19. （本小题满分13分） 在平面直角坐标系中，动点与两定点,连线的斜率乘积为，记点的轨迹为曲线.（）求曲线的方程；（）若曲线上的两点满足,，求证：的面积为定值.20. （本小题满分14分） 设函数.（）当时，求曲线在点处的切线方程；（）若函数有两个零点，试求的取值范围;(III)设函数当时，证明.详细答案部分1.【考点】集合的运算【解析】由，由得，则，故选C.【答案】C 2.【考点】复数综合运算【解析】，故选D.【答案】D 3.【考点】不等式的性质【解析】令，A不成
6、立；，B不成立，令，C不成立；，则，D成立，故选D.【答案】D 4.【考点】数量积的定义【解析】， 与的夹角为，故选B.【答案】B 5.【考点】充分条件与必要条件函数的单调性与最值【解析】函数在上是减函数，则，函数在上是增函数，则，解得，所以时满足，“函数在上是减函数”是“函数在上是增函数 ”的充分条件，时，不一定有，故“函数在上是减函数”不是“函数在上是增函数”的必要条件，故答案为A。【答案】A 6.【考点】双曲线【解析】|，|=1，若为直角三角形，故，若若为钝角三角形，则有，故答案为D.【答案】D 7.【考点】空间几何体的表面积与体积空间几何体的三视图与直观图【解析】还原三视图后放到长方体
7、里如图所示， ，为四棱锥的高体积为，故答案为C.【答案】C 8.【考点】集合的运算【解析】设跳远和掷实心球测试都合格的为人，则，解得，所以选B.【答案】B 9.【考点】等差数列【解析】设等差数列的公差为，则，即，故答案为4，110.【答案】4，110 10.【考点】直线与圆的位置关系【解析】圆C化成标准方程为，圆心为，到直线的距离，故答案为：3.【答案】3 11.【考点】算法和程序框图【解析】执行程序，判断，是，进入循环；，判断，是，进入循环；，判断，是，进入循环；，判断，否，输出故答案为：30【答案】30 12.【考点】解斜三角形【解析】由正弦定理，所以，解得，则，所以.故答案为105.【答
8、案】105 13.【考点】线性规划【解析】画出可行域如图所示令，当直线过点是有最大值，联立，得，代入；第二空：解法一、由图可知，令，则，当时，有最小值，代入得，故的取值范围为.解法二、如图当点在与平行的直线：上运动时，为（负）定值，故对每一个，这道当落在与的交点时，与原点的距离最小，从而取得最小值；当变化时，与的交点在上运动，此时，故=，为常数，综上知道，的最小值在线段上取到，最小值为，而最大值在线段上取到，最大值为0，故取值范围为.解法三：注意到所求为一次齐次式，可以考虑分子分母同除以，当时，得到；当时，得到，这里为原点与点的直线的斜率，容易得到，从而上述的取值范围为；当是，得到这里为原点与
9、点的直线的斜率，容易得到，从而上述的取值范围为；综上所述，知道取值范围为.解法四：设，令，由在可行域内，故.【答案】， 14.【考点】合情推理与演绎推理【解析】若甲获奖，则甲说了假话，乙说了假话，丙说了假话，丁说了真话，满足题意，故答案为:甲.【答案】甲 15.【考点】三角函数综合【解析】（）因为所以的最小正周期为.（）因为当时，取得最大值；当取得最小值.【答案】见解析 16.【考点】数列综合应用【解析】（）解：设等比数列的公比为，依题意 因为两式相除得：，解得，(舍去)所以所以数列的通项公式为（）解：由已知可得，因为为等差数列，所以数列是首项为，公差为的等差数列所以.则.因此数列的前项和：.
10、【答案】见解析 17.【考点】概率综合【解析】（）作出茎叶图如下；（）记甲被抽到的成绩为，乙被抽到成绩为，用数对表示基本事件：基本事件总数设“甲的成绩比乙高”为事件A,事件A包含的基本事件：事件A包含的基本事件数所以，（）派甲参赛比较合适，理由如下：，因为，所以，甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适【答案】见解析 18.【考点】立体几何综合【解析】（）因为平面平面，平面平面，且，所以平面.因为平面，所以又因为四边形为正方形，所以因为，所以平面（）设，因为四边形为正方形，所以为中点设为的中点，连结，则，且由已知，且，则且所以四边形为平行四边形.所以，即因为平面，平面，所以平面（）由（）可知平面，因为
11、，所以平面，所以又因为四边形为正方形，所以，所以平面由（）可知，平面，所以，点到平面的距离等于点到平面的距离，所以 因为所以故三棱锥的体积为【答案】见解析 19.【考点】圆锥曲线综合【解析】（）设，则，整理得.（）依题直线的斜率乘积为.当直线的斜率不存在时，直线的斜率为，设直线的方程是，由得，.取，则.所以的面积为.当直线的斜率存在时，设方程为.由得，.因为，在椭圆上，所以，解得.设,则，；所以.设点到直线的距离为，则.所以的面积为.因为,，直线,的斜率乘积为，所以.所以由，得.由，得.【答案】见解析 20.【考点】导数的综合运用【解析】（）当时，函数，因为，所以.又则所求的切线方程为.化简得
12、：.（）因为当时，函数只有一个零点；当，函数当时，；函数当时，.所以在上单调递减，在上单调递增.又，因为，所以，所以，所以取，显然且所以，.由零点存在性定理及函数的单调性知，函数有两个零点.当时，由，得，或.若，则.故当时，所以函数在在单调递增，所以函数在至多有一个零点.又当时，所以函数在上没有零点.所以函数不存在两个零点.若，则.当时，所以函数在上单调递增，所以函数在至多有一个零点.当时，；当时，；所以函数在上单增，上单调递减，所以函数在上的最大值为，所以函数在上没有零点.所以不存在两个零点.综上，的取值范围是（）证明:当时，.设，其定义域为，则证明即可.因为，所以，.又因为，所以函数在上单调递增.所以有唯一的实根，且.当时，；当时，.所以函数的最小值为.所以.所以.【答案】见解析