1、2.3双_曲_线23.1双曲线及其标准方程双曲线的定义提出问题问题1：平面内，动点P到两定点F1(5,0)，F2(5,0)的距离之和为12，动点P的轨迹是什么？提示：椭圆问题2：平面内，动点P到两定点F1(5,0)，F2(5,0)的距离之差的绝对值为6，动点P的轨迹还是椭圆吗？是什么？提示：不是，是双曲线导入新知双曲线的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距化解疑难平面内到两定点F1，F2的距离的差的绝对值为常数，即|MF1|MF2|2a，关键词“平面内”当2a|F1F2|时，
2、轨迹是双曲线；当2a|F1F2|时，轨迹是分别以F1，F2为端点的两条射线；当2a|F1F2|时，轨迹不存在双曲线的标准方程提出问题问题1：“知识点一”的问题2中，动点P的轨迹方程是什么？提示：1.问题2：平面内，动点P到两定点F1(0,5)，F2(0，5)的距离之差的绝对值为定值6，动点P的轨迹方程是什么？提示：1.导入新知双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)焦点坐标F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)a，b，c的关系c2a2b2化解疑难1标准方程的代数特征：方程右边是1，左边是关于x，y的平方差，并且分母大小关系不确定2a
3、，b，c三个量的关系：标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b2c2a2，与椭圆中b2a2c2相区别，且椭圆中ab0，而双曲线中，a，b大小不确定对双曲线标准方程的认识例1已知方程1对应的图形是双曲线，那么k的取值范围是()A(5，)B(2,2)(5，)C(2,2) D(，2)(2，)解方程对应的图形是双曲线，(k5)(|k|2)0.即或解得k5或2k2.答案 B类题通法将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为1，则当mn0时，方程表示双曲线若则方程表示焦点在x轴上的双曲线；若则方程表示焦点在y轴上的双曲线活学活用若k1，则关于x，y的方程(
4、1k)x2y2k21所表示的曲线是()A焦点在x轴上的椭圆B焦点在y轴上的椭圆C焦点在y轴上的双曲线D焦点在x轴上的双曲线解析：选C原方程化为1，k1，k210，k10.方程所表示的曲线为焦点在y轴上的双曲线求双曲线的标准方程例2求适合下列条件的双曲线的标准方程(1)a4，经过点A；(2)经过点(3,0)，(6，3)解(1)当焦点在x轴上时，设所求双曲线的标准方程为1(b0)，把A点的坐标代入，得b20，不符合题意；当焦点在y轴上时，设所求双曲线的标准方程为1(b0)，把A点的坐标代入，得b29，所求双曲线的标准方程为1.(2)设双曲线的方程为mx2ny21(mn0)，双曲线经过点(3,0)，
5、(6，3)，解得所求双曲线的标准方程为1.类题通法1双曲线标准方程的两种求法(1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a，b，c，再写出双曲线的标准方程(2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程1或1(a，b均为正数)，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可2求双曲线标准方程的两个关注点(1)定位：“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在“标准方程”的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；(2)定量：“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解活学活用根据下列条件，求双曲线的标准方程(1)与椭圆1有共同的焦点，且过点(，4)；(2)c，经过点(5,2)，焦点在x轴上解：(
6、1)椭圆1的焦点坐标为F1(0，3)，F2(0,3)，故可设双曲线的方程为1.由题意，知解得故双曲线的方程为1.(2)焦点在x轴上，c，设所求双曲线方程为1(其中06)双曲线经过点(5,2)，1，5或30(舍去)所求双曲线方程是y21.双曲线定义及标准方程的应用例3设P为双曲线x21上的一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|PF2|32，则PF1F2的面积为()A6B12C12 D24解如图所示，|PF1|PF2|2a2，且|PF1|PF2|32，|PF1|6，|PF2|4.又|F1F2|2c2，|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，S|PF1|PF2|6412.答案 B类题通法
7、在解决双曲线中与焦点有关的问题时，要注意定义中的条件|PF1|PF2|2a的应用；与三角形有关的问题要考虑正弦定理、余弦定理、勾股定理等另外在运算中要注意一些变形技巧和整体代换思想的应用活学活用若把本题中的“|PF1|PF2|32”改为“0”，求PF1F2的面积解：由题意0，得PF1PF2，PF1F2为直角三角形，|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|F1F2|2.又|PF1|PF2|2a2，|F1F2|24c24(a2b2)4(112)52，42|PF1|PF2|52，|PF1|PF2|24，SPF1F2|PF1|PF2|12.典例已知定点A(3
8、,0)和定圆C：(x3)2y216，动圆和圆C相外切，并且过定点A，求动圆圆心M的轨迹方程解设M(x，y)，设动圆与圆C的切点为B，|BC|4.则|MC|MB|BC|，|MA|MB|，所以|MC|MA|BC|，即|MC|MA|BC|4|AC|.所以由双曲线的定义知，M点轨迹是以A，C为焦点的双曲线的左支，设其方程为1(x0，b0)，因为双曲线过点P(2,1)，所以1，又a2b23，解得a22，b21，所以所求双曲线方程是y21.法二：设所求双曲线方程为1(14)，将点P(2,1)的坐标代入可得1，解得2(2舍去)，所以所求双曲线方程为y21.3若方程1表示双曲线，则k的取值范围是_解析：由题意
9、知，(1k)(1k)0，即1k1.答案：(1,1)4在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线1上一点M的横坐标为3，则点M到此双曲线的右焦点的距离为_解析：由题易知，双曲线的右焦点为(4,0)，点M的坐标为(3，)或(3，)，则点M到此双曲线的右焦点的距离为4.答案：45求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)a3，c4，焦点在x轴上；(2)经过点(3，4)，.解：(1)由题设知，a3，c4，由c2a2b2得，b2c2a242327.因为双曲线的焦点在x轴上，所以所求双曲线的标准方程为1.(2)设双曲线的方程为mx2ny21(mn0)，因为双曲线经过点(3，4)，所以解得故所求双曲线的标准方程为1
10、.课时达标检测一、选择题1已知双曲线的a5，c7，则该双曲线的标准方程为()A.1B.1C.1或1D.0或0解析：选C由于焦点所在轴不确定，有两种情况又a5，c7，b2725224.2已知m，nR，则“mn0”是“方程1表示双曲线”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选C若方程1表示双曲线，则必有mn0；当mn0时，方程1表示双曲线所以“mn0”是“方程1表示双曲线”的充要条件3已知定点A，B且|AB|4，动点P满足|PA|PB|3，则|PA|的最小值为()A.B.C. D5解析：选C如图所示，点P是以A，B为焦点的双曲线的右支上的点，当点P在点M处时，
11、|PA|最小，最小值为ac2.4双曲线1的两个焦点分别是F1，F2，双曲线上一点P到焦点F1的距离是12，则点P到焦点F2的距离是()A17 B7C7或17 D2或22解析：选D依题意及双曲线定义知，|PF1|PF2|10，即12|PF2|10，|PF2|2或22，故选D.5焦点分别为(2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为()Ax21 B.y21Cy21 D.1解析：选A由双曲线定义知，2a532，a1.又c2，b2c2a2413，因此所求双曲线的标准方程为x21.二、填空题6设m是常数，若点F(0,5)是双曲线1的一个焦点，则m_.解析：由点F(0,5)可知该双曲线1的
12、焦点落在y轴上，所以m0，且m952，解得m16.答案：167经过点P(3,2)和Q(6，7)，且焦点在y轴上的双曲线的标准方程是_解析：设双曲线的方程为mx2ny21(mn0)，则解得故双曲线的标准方程为1.答案：18已知双曲线的两个焦点F1(，0)，F2(，0)，P是双曲线上一点，且0，|PF1|PF2|2，则双曲线的标准方程为_解析：由题意可设双曲线方程为1(a0，b0)由0，得PF1PF2.根据勾股定理得|PF1|2|PF2|2(2c)2，即|PF1|2|PF2|220.根据双曲线定义有|PF1|PF2|2a.两边平方并代入|PF1|PF2|2得20224a2，解得a24，从而b254
13、1，所以双曲线方程为y21.答案：y21三、解答题9已知与双曲线1共焦点的双曲线过点P，求该双曲线的标准方程解：已知双曲线1.据c2a2b2，得c216925，c5.设所求双曲线的标准方程为1(a0，b0)依题意，c5，b2c2a225a2，故双曲线方程可写为1.点P在双曲线上，1.化简，得4a4129a21250，解得a21或a2.又当a2时，b225a2250，不合题意，舍去，故a21，b224.所求双曲线的标准方程为x21.10已知ABC的两个顶点A，B分别为椭圆x25y25的左焦点和右焦点，且三个内角A，B，C满足关系式sin Bsin Asin C.(1)求线段AB的长度；(2)求顶点C的轨迹方程解：(1)将椭圆方程化为标准形式为y21.a25，b21，c2a2b24，则A(2,0)，B(2,0)，|AB|4.(2)sin Bsin Asin C，由正弦定理得|CA|CB|AB|2|AB|4，即动点C到两定点A，B的距离之差为定值动点C的轨迹是双曲线的右支，并且c2，a1，所求的点C的轨迹方程为x21(x1)