1、天津市滨海新区2020-2021学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）满分150分，考试时间100分钟.一选择题：本卷共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案填入答题纸中的答题栏内.1. 已知集合A=1，3，5，B=2，3，5，6，则AB=（ ）A. B. 3，5C. 1，2，6D. 1，2，3，5，6【答案】B【解析】【分析】根据交集的定义直接出结果即可.【详解】因为A=1，3，5，B=2，3，5，6，所以，故选：B.【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关集合的问题，解题的关键是熟练掌握交集的定义.2. 命题“，”的否定是（ ）A.
2、，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】【分析】根据全称量词的否定是存在量词可得答案.【详解】因为全称量词的否定是存在量词，所以命题“，”的否定是“，”.故选：D3. 设函数，则函数的零点所在区间是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据零点存在性定理分析可得结果.【详解】因为函数的图象连续不断，且，,，所以函数的零点所在区间是.故选：C4. 在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，那么的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据三角函数的定义计算可得结果.【详解】因为，所以，所以.故选：A5. 把函数的图象向右
3、平移个单位长度，得到的图象所对应的函数的解析式是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意利用三角函数的图象变换原则，即可得出结论【详解】由题意，将函数的图象向右平移个单位长度，可得.故选B6. 设，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用正弦函数的图象性质分析.【详解】当,可以得到,反过来若，有或，.所以为充分不必要条件，故选：A.【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断问题，属于简单题.7. 下列计算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据根式的性质可知
4、A不正确；根据指数幂的运算性质计算可知B不正确；根据对数的性质可知C不正确；根据对数的运算法则计算可知D正确.【详解】因为为奇数，所以，故A不正确；，故B不正确；，故C不正确；，故D正确.故选：D8. 下列命题为真命题的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】B【解析】【分析】利用反例或不等式的性质逐项检验后可得正确的选项.【详解】对于AC，取，则，但，故AC错.对于D，取，则，但，故D错误.对于B，因，故，故.故选：B.9. 函数的图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据解析式的特征，利用函数的性质和特殊值排除选项可求.【详解】因为为奇函
5、数，所以排除A,C选项，取可知，所以排除B选项，故选D.【点睛】本题主要考查函数图象的识别，主要求解策略是利用函数的性质和特殊值来进行排除，侧重考查直观想象的核心素养.10. 已知函数是定义在区间上的偶函数，且在区间上单调递增，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析】根据偶函数定义域关于原点对称可得，根据以及函数的单调性可解得结果.【详解】因为函数是定义在区间上的偶函数，所以，解得，可化，因为在区间上单调递增，所以，解得.故选：B【点睛】关键点点睛：根据以及函数的单调性解不等式是解题关键.11. 某种食品的保鲜时间y(单位：小时)与储存温度x(单位：)近似满足函数
6、关系(k，b为常数)，若该食品在的保鲜时间是288小时，在的保鲜时间是144小时，则该食品在的保鲜时间近似是（ ）A. 32小时B. 36小时C. 48小时D. 60小时【答案】B【解析】【分析】由条件可得到，然后算出即可.【详解】由条件可得，所以，所以当时故选：B12. 已知，给出下列判断：若函数的图象的两相邻对称轴间的距离为，则；若函数的图象关于点对称，则的最小值为5；若函数在上单调递增，则的取值范围为；若函数在上恰有7个零点，则的取值范围为.其中判断正确的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】先将化简，对于，由条件知，周期为，然后求出；对于，由条件可得，然
7、后求出，即可求解；对于，由条件，得，然后求出的范围；对于，由条件，得，然后求出的范围；，再判断命题是否成立即可【详解】解：，周期由条件知，周期为，故错误；函数的图象关于点对称，则，的最小值为5，故正确；由条件，由函数在上单调递增得，又，故正确由得,解得且在，上恰有7个零点，可得，故正确；故选：C【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质，考查了转化思想和推理能力，属中档题关键点点睛：利用整体思想，结合正弦函数的图像和性质是根据周期，对称，单调性，零点个数求求解参数的关键.二填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.13. 的值等于_.【答案】【解析】【分析】根据诱导公式和特殊角的函数值可解得结
8、果.【详解】.故答案为：14. 幂函数的图象过点，则_.【答案】【解析】【分析】将点的坐标代入解析式可解得结果.【详解】因为幂函数的图象过点，所以，解得.故答案为：15. 已知，则_.【答案】-3.【解析】【分析】由两角差的正切公式展开，解关于的方程【详解】因为，所以【点睛】本题考查两角差正切公式的简单应用，注意公式的特点：分子是减号，分母是加号16. 设，则的大小关系为_.(用“”连接)【答案】【解析】【分析】根据指数函数和对数函数的知识判断出的范围即可.【详解】因为，所以故答案为：17. 若，则的最小值为_，此时_.【答案】 (1). 4 (2). 【解析】【分析】根据基本不等式可求得结果
9、.【详解】因为，所以，当且仅当，即时，等号成立.故答案为：4；【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.18. 已知集合，其中，则集合=_；若，都有xA或xB，则的取值范围是_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】化简集合，根据补集的概念可求出，将题意转化
10、为可求得结果.【详解】由得或，所以，所以，因为”若，都有xA或xB”，所以，即，所以.故答案为：；【点睛】关键点点睛：将“若，都有xA或xB”转化为是解题关键.19. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用.如图，一个半径为4的筒车按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周大约用时15，其轴心O(即圆心)距水面2.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d(单位：)(在水面下d为负数)，若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t(单位：)之间的关系为.（1）当盛水筒P第一次到达筒车的最高点时，t= _；（2）盛水筒P到水面的距离d关于旋转时间t的函数解析式为
11、_.【答案】 (1). 5 (2). 【解析】【分析】（1）求出盛水筒P第一次到达筒车的最高点时的旋转角度，根据题意求出点绕点逆时针旋转的角速度，用旋转角度除以角速度即可得时间；（2）根据图形可得的最大、最小值，由此可得和，根据周期可得，根据当时，可求得，从而可得函数解析式；【详解】（1）因为轴心O(即圆心)距水面2，圆的半径为，所以当盛水筒P第一次到达筒车的最高点时，点绕点逆时针旋转了，因为点绕点逆时针旋转一周大约用时15，所以点绕点逆时针旋转速度为每秒，所以当盛水筒P第一次到达筒车的最高点时，t=秒.（2）由图可知的最大值为，最小值为，所以，所以，因为筒车旋转一周大约用时15，所以函数的周
12、期，所以，当时，即，即，因为，所以，所以.故答案为：5； 【点睛】关键点点睛：根据题意求出是解题关键.20. 已知函数若方程有四个不同的解，且，则实数的最小值是_；的最小值是_.【答案】 (1). 2 (2). 【解析】【分析】画出的图像,数形结合分析参数的的最小值,再根据对称性与函数的解析式判断中的定量关系化简再求最值即可.【详解】画出图像有：因为方程有四个不同的解,故的图像与有四个不同的交点,又由图, 故的取值范围是,故的最小值是2.又由图可知,故,故.故.又当时, .当时, ,故.又在时为增函数,故当时取最小值.故答案为：(1). 2 (2)9.【点睛】本题主要考查了数形结合求解函数零点
13、个数以及范围的问题,解题的关键是需要根据题意分析交点间的关系,并结合函数的性质求解.属于难题.三解答题：本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.21. 已知，.（1）求，的值；（2）求的值.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】(1)由及的范围求得，再利用二倍角的正弦公式即可求得；(2)利用两角差的余弦公式直接代值求解即可.【详解】解：（1），（2）22. 已知函数，且.（1）求实数的值；（2）求不等式的解集；（3）根据定义证明函数在上单调递增.【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）由可算出答案；（2）解出即可；（3）利用定义证明即可.【
14、详解】（1），即；（2）由（1）知，解得，不等式的解集为；（3）设，则，.函数在上单调递增.23. 已知函数，（1）求函数的最小正周期；（2）当时，（i）求函数的单调递减区间；（ii）求函数的最大值、最小值，并分别求出使该函数取得最大值、最小值时的自变量的值.【答案】（1）最小正周期为；（2）（i）；（ii）当时，取最大值为；当时，取最小值为.【解析】【分析】（1）利用和差公式展开合并，再利用辅助角公式计算可得，可得最小正周期为；（2）（i）通过换元法令，求出的范围，然后再根据的单调递减区间求解即可；（ii）根据函数单调性求得最大值，然后计算端点值，比较大小之后可得函数的最小值.【详解】解：（
15、1）.，的最小正周期为.（2）（i），的单调递减区间是，且由，得，所以函数的单调递减区间为.（ii）由（i）知，在上单调递减，在上单调递增.且，所以，当时，取最大值为；当时，取最小值为.【点睛】思路点睛：（1）关于三角函数解析式化简问题，首先利用和差公式或者诱导公式展开合并化为同角，然后再利用降幂公式进行降次，最后需要运用辅助角公式进行合一化简运算；（2）三角函数的单调区间以及最值求解，需要利用整体法计算，可通过换元利用的单调区间以及最值求解.24. 已知函数，其中且.（1）若，（i）求函数的定义域；（ii）时，求函数的最小值；（2）若当时，恒有，试确定的取值范围.【答案】（1）（i）；（ii
16、）；（2）.【解析】【分析】（1）(i)把代入，可得答案；(ii)时，求得，利用动轴定区间讨论求得函数最小值；（2）由得，令，其对称轴为，讨论在上单调性，可得在上单调递减，得答案.【详解】（1）(i)时，解得，当时，函数的定义域是；(ii)时，令，即求函数在的最小值.对称轴，当，即时，函数在上单调递增，当时函数取最小值，最小值为；当，即时，函数在上单调递减，当时函数取最小值，最小值为；当，即时，当时函数取最小值，最小值为；综上，时，函数的最小值为.（2）由得，即，即，由可得：，即，也即，令，其对称轴为，在上单调递增，在上单调递减，又，则，解得，所以的取值范围为.【点睛】本题考查了函数解析式的求法，函数的最值，函数恒成立的问题，综合性较强，所谓“动轴定区间法”，轴动区间定：比较对称轴与区间端点的位置关系，根据函数的单调性数形结合判断y的范围，需要分类讨论.
