1、1北师大版高中数学选修2-2第一章推理与证明 1归纳与类比 2一、教学目标：1、知识与技能：（1）结合已学过的数学实例，了解类比推理的含义；（2）能利用类比进行简单的推理；（3）体会并认识类比推理在数学发现和生活中的作用。2、方法与过程：递进的了解、体会类比推理的思维过程；体验类比法在探究活动中：类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。3、情感态度与价值观：体会类比法在数学发现中的基本作用：即通过类比，发现新问题、新结论；通过类比，发现解决问题的新方法。培养分析问题的能力、学会解决问题的方法；增强探索问题的信心、收获论证成功的喜悦；体验数学发
2、现的乐趣、领略数学方法的魅力！同时培养学生学数学、用数学，完善数学的正确数学意识。二、教学重点：了解类比推理的含义，能利用类比进行简单的推理。教学难点：培养学生“发现猜想证明”的推理能力。三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 3复习2.归纳推理的一般步骤:(1)通过观察个别情况发现某些相同性质;(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想).1.什么是归纳推理?部分 整体特殊一般4从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子.他的思路是这样的：茅草是齿形的；茅草能割破手.我需
3、要一种能割断木头的工具；它也可以是齿形的.这个推理过程是归纳推理吗？5试根据等式的性质猜想不等式的性质。等式的性质：(1)a=ba+c=b+c;(2)a=b ac=bc;(3)a=ba2=b2;等等。猜想不等式的性质：(1)aba+cb+c;(2)ab acbc;(3)aba2b2;等等。问：这样猜想出的结论是否一定正确？6火星地球相似点:绕太阳运转、绕轴自转、有大气层、有季节变换、大部分时间的温度适合地球上的某些已知生物的生存等。地球上有生命火星上可能有生命猜想火星上是否有生命？相似点:7 由两类对象具有某些类似特征，和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推
4、理（简称类比）类比推理的定义:简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理 发明行星三大运动定律的开普勒曾说类比推理是自然奧妙的参与者和自己最好的老师 数学家波利亚曾指出“类比是一个伟大的引路人,求解立体几何往往有赖于平面几何的类比问题.”8类比推理的特点;1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比出新的结果.2.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性.3.类比的结果是猜测性的不一定可靠,但它却有发现的功能.类比推理的一般步骤:观察、比较联想、类推猜想新结论类比推理的一般步骤：找出两类对象之间可以确切表述的相似性（或一致性）；用一类对象的性
5、质去推测另一类对象的性质，从而得出一个猜想；检验猜想。9例1、试将平面上的圆与空间的球进行类比.圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合.圆弦直径周长面积球截面圆大圆表面积体积10圆的概念和性质 球的概念和性质 与圆心距离相等的两弦相等 与圆心距离不相等的两弦不相等,距圆心较近的弦较长 以点(x0,y0)为圆心,r为半径的圆的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=r2 圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦 球心与不过球心的截面(圆面)的圆心的连线垂直于截面 与球心距离相等的两截面面积相等 与球心距离不相等的两截面面积不相等,距球心较近的面
6、积较大 以点(x0,y0,z0)为球心,r为半径的球的方程为(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2 利用圆的性质类比得出球的性质 球的体积 34V=R3球的表面积 2S=4R圆的周长 S=2R圆的面积 2S=R11例2 类比实数的加法和乘法,列出它们相似的运算性质.类比角度实数的加法实数的乘法运算结果若a,bR,则a+bR运算律(交换律和结合律)a+b=b+a(a+b)+c=a+(b+c)逆运算加法的逆运算是减法,使得方程a+x=0有唯一解x=-a单位元a+0=a若a,bR,则abRab=ba(ab)c=a(bc)乘法的逆运算是除法,使得ax=1有唯一解x=1/aa1=a12通过
7、例1，例2你能得到类比推理的一般模式吗？类比推理的一般模式:所以B类事物可能具有性质d.A类事物具有性质a,b,c,d,B类事物具有性质a,b,c,(a,b,c与a,b,c相似或相同）13 类比推理举例 构成几何体的元素数目：四面体 三角形 14例3 类比平面内直角三角形的勾股定理,试 给出空间中四面体性质的猜想15直角三角形3个面两两垂直的四面体C903个边的长度a，b，c2条直角边a，b和1条斜边cPDFPDEEDF904个面的面积S1，S2，S3和S3个“直角面”S1，S2，S3和1个“斜面”S例3 类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想1617合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理。通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理。合情推理的应用 数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论。证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向 1819