1、第7章三角函数(全卷满分150分,考试用时120分钟)一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.(2021江苏江阴淮安高一月考)使函数f(x)=2sinx+3为偶函数的的一个值为()A.23B.3C.3D.562.(2021江苏江阴南菁高级中学高一期中)终边落在第一象限和第三象限的角平分线上的角的集合是()A.|=45+k360,kZB.|=-135+k180,kZC.|=-135+k360,kZD.|=135+k180,kZ3.(2021江苏南通高一期末)已知函数f(x)满足f(x)=f(x+2),且当x-,时,f(x)=2
2、sinx2,0x,ax,-x0,0,|0,|2的最小正周期为,将该函数的图象向左平移6个单位长度后,得到的图象对应的函数为偶函数,则下列说法正确的是()A.f(0)=12B.函数y=f(x)的图象关于直线x=6对称C.函数y=f(x)的图象关于点512,0对称D.函数y=f(x)的图象关于直线x=12对称12.(2021江苏常州金坛第一中学高一期中)已知函数f(x)=|log3x|,0x9,2sinx4+4,9x17,若f(a)=f(b)=f(c)=f(d),且abcd,则()A.ab=1B.c+d=26C.abcd的取值范围是(153,165)D.a+b+c+d的取值范围是28,3169三、
3、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2021江苏海头高级中学高一期中)某饭店顶层旋转餐厅的半径为20米,该餐厅每分钟旋转112弧度,则餐厅边缘一点1小时所转过的弧长是米.14.(2021江苏苏州第一中学校高一月考)田忌赛马是中国古代对策论与运筹思想的著名范例,故事中齐将田忌与齐王赛马,孙膑献策以下等马对齐王上等马,以上等马对齐王中等马,以中等马对齐王下等马,结果田忌一负两胜获胜.该故事中以局部的牺牲换取全局的胜利成为军事上一条重要的用兵规律.在比大小游戏中(大者为胜),已知我方的三个数为a=cos ,b=sin +cos ,c=cos -sin ,对方的三个数以及排序如表:第一
4、局第二局第三局对方2tan sin 当00,0,|0,0,|2,求摩天轮转动一周的解析式H(t);(2)游客甲坐上摩天轮多长时间后,距离地面的高度第一次恰好达到52米?20.(12分)(2021河北邯郸高一期末)函数f(x)=Acos(x+)其中A0,0,|0,|0)cm,则12(40+20)x=450,解得x=15.故选B.6.A因为(0,),所以-(-,0),所以56-6,56,因为cos56-=-350,所以56-2,56,所以sin56-=1-cos256-=45,所以tan+6=tan+6-=-tan56-=-sin56-cos56-=43.故选A.7.A因为g(x)为定义在R上的奇
5、函数,所以排除C,D.因为f(0)=-4,f(x)=g(x+2),所以g(2)=-4.对于A,g(2)=-4sin2=-4,符合题意;对于B,g(2)=4sin =0,不符合题意.故选A.8.C函数f(x)=cos(2x+)(-)的图象向右平移12个单位长度后,可得函数y=cos2x-12+=cos2x-6+的图象.因为所得的图象与g(x)=sin 2x的图象重合,所以cos2x-6+=sin 2x=cos2x-2,所以-6+=-2+2k(kZ),所以=-3+2k(kZ).因为-,所以=-3,所以f(x)=cos2x-3.令2k2x-32k+(kZ),解得k+6xk+23(kZ),即f(x)的
6、单调递减区间为k+6,k+23(kZ).故选C.9.CD由诱导公式四知,当R时,sin(+)=-sin ,所以A错误.当n=2k(kZ)时,cos(n-)=cos(-)=cos ,此时cos =13;当n=2k+1(kZ)时,cos(n-)=cos(2k+1)-=cos(-)=-cos ,此时cos =-13,所以B错误.若k2(kZ),则tan2+=sin2+cos2+=cos-sin=-1tan,所以C正确.将等式sin +cos =1两边平方并化简,得sin cos =0,故sin =0或cos =0.若sin =0,则cos =1,此时sinn+cosn=1;若cos =0,则sin
7、=1,此时sinn+cosn=1.故sinn+cosn=1,所以D正确.故选CD.10.ACD由题图可知A=2,最小正周期T=43-12=,故A正确.=2T=2,由f12=2sin212+=2,|2,解得=3,故函数f(x)=2sin2x+3.当-23x-6时,-2x+30,所以y=f(x)在-23,-6上不单调,故B错误.当x=-512时,f-512=2sin-5122+3=-2,故直线x=-512是y=f(x)的一条对称轴,故C正确.函数y=f(x)的图象向右平移6个单位长度得到y=2sin2x-26+3=2sin 2x的图象,故D正确.故选ACD.11.ABC函数f(x)=sin(x+)
8、的最小正周期为2=,=2,f(x)=sin(2x+).将该函数的图象向左平移6个单位长度后,得到y=sin2x+3+的图象,得到的图象对应的函数为偶函数,3+=2+2k(kZ),=6+2k(kZ),又|2,=6,f(x)=sin2x+6.对于选项A,f(0)=sin6=12,故A正确;对于选项B,f6=sin3+6=1,故B正确;对于选项C,f512=sin56+6=0,故C正确;对于选项D,f12=sin6+6=sin3=32,故D错误.故选ABC.12.ACD由|log3x|2可得-2log3x2,解得19x9.作出函数f(x)的图象如图所示:由图象可得19a1b9c1115d17.由|l
9、og3a|=|log3b|,可得-log3a=log3b,即log3a+log3b=log3(ab)=0,ab=1,A选项正确.令x4+4=2+k(kZ),解得x=4k+1(kZ),当x(9,17)时,令94k+117,解得2k4,kZ,k=3,函数y=2sinx4+4(x9,17)的图象关于直线x=13对称,点(c,f(c)、(d,f(d)关于直线x=13对称,c+d=26,B选项错误.abcd=c(26-c)=-(c-13)2+169,c(9,11),abcd(153,165),C选项正确.a+b+c+d=a+1a+26,易知函数y=a+1a在19,1上为减函数,a+b+c+d=a+1a+
10、2628,3169,D选项正确.故选ACD.13.答案100解析依题意可得圆心角的弧度数=11260=5弧度,半径r=20米,根据弧长公式可得餐厅边缘一点1小时所转过的弧长l=r=205=100米.14.答案c,b,a解析当04时,cos -sin cos cos +sin ,sin tan 2,tan sin +cos ,sin cos .故我方必胜的排序为c,b,a.15.答案1 008,2 0172解析因为函数f(x)为定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,且f(-x)=-f(x).因为f(2-x)+f(x)=0,所以f(2-x)=-f(x),所以f(2-x)=f(-x),所以函数f(x
11、)的图象关于点(1,0)对称,且周期为2.易知函数y=sin x的周期为2,且关于点(k,0)(kZ)对称.由图象可知,函数f(x)=-log2x和y=sin x的图象在-1,1)上存在4个交点.即一个周期内与x轴有4个交点,要使得函数F(x)=f(x)-sin x的图象在区间-2,m上与x轴有2 021个交点,只需函数F(x)=f(x)-sin x在0,m上与x轴有2 017个交点.如果m是第2 017个交点,那么m=2 017-142=1 008;如果m是第2 018个交点,那么m=1 008+12=2 0172.故m1 008,2 0172.16.答案3tan32x-4;2k3+518,
12、2k3+2(kZ)解析由题意可得f(x)的最小正周期T=56-6=23=,所以=32,则f(x)=Atan3x2+.因为它的图象过点6,0,所以tan326+=0,即tan4+=0,所以4+=k(kZ),解得=k-4(kZ),又|2,所以=-4,于是f(x)=Atan3x2-4.因为它的图象过点(0,-3),所以Atan-4=-3,解得A=3,所以f(x)=3tan3x2-4.由3tan3x2-43,得tan3x2-433,则k+63x2-4k+2(kZ),解得2k3+518x2k3+2(kZ),所以满足f(x)3的x的取值范围是2k3+518,2k3+2(kZ).17.解析由sin(3+)=
13、13,可得sin =-13.(2分)cos(+)coscos(+)-1+cos(-2)sin-32cos(-)-sin32+=-coscos(-cos-1)+cos-cos2+cos(4分)=11+cos+11-cos(6分)=2(1+cos)(1-cos)=21-cos2=2sin2.(8分)将sin =-13代入,得原式=18.(10分)18.解析(1)因为|x1-x2|的最小值为,所以f(x)的最小正周期T=22,(2分)解得=1,所以函数f(x)的解析式为f(x)=sin2x-6-1.(4分)(2)由6xm,可得62x-62m-6.(6分)因为f(x)的值域是-12,0,所以sin2x
14、-612,1.(8分)结合y=sin x的图象(图略)可知,22m-656,(10分)解得3m2,所以m的取值范围是3,2.(12分)19.解析(1)该摩天轮轮盘直径为124米,且摩天轮最高点距离地面145米,摩天轮最低点距离地面145-124=21米,即H(t)max=145,H(t)min=21.-A+B=21,A+B=145,解得A=62,B=83.(2分)摩天轮匀速转动一周大约需要30分钟,H(t)的最小正周期T=30,=2T=230=15,H(t)=62sin15t+83.(4分)又H(0)=62sin +83=21,sin =-1,=32+2k,kZ,|2,=-2,H(t)=62s
15、in15t-2+83=-62cos15t+83(0t30).(6分)(2)令-62cos15t+83=52,则cos15t=12.(8分)要求摩天轮第一次距离地面的高度为52米的时间,0t15,(10分)015t,15t=3,t=5.游客甲坐上摩天轮5分钟后,距离地面的高度第一次恰好达到52米.(12分)20.解析(1)设f(x)的最小正周期为T.根据题中图象可知A=1,14T=712-3,T=,=2T=2,f(x)=cos(2x+).(2分)将712,-1代入,得cos76+=-1,即76+=2k+,kZ,解得=2k-6,kZ.|2,=-6,f(x)=cos2x-6.(4分)由题意得g(x)
16、=cos4x+56+1.令4x+56=2+k,kZ,解得x=-12+k4,kZ.函数g(x)图象的对称中心的坐标为-12+k4,1,kZ.(6分)(2)当x-8,8时,4x+563,43,cos4x+56-1,12,g(x)=cos4x+56+10,32,即g(x)的值域为0,32.(8分)(3)g(x)2+(2-m)g(x)+3-m=0g(x)2+2g(x)+3=mg(x)+1m=g(x)2+2g(x)+3g(x)+1.(10分)令s=g(x)+1,由(2)知s1,52,m=s2+2s=s+2s.易得函数y=s+2s在1,2上单调递减,在2,52上单调递增,mmax=3310,mmin=22
17、,m22,3310.(12分)21.解析(1)设f(x)的最小正周期为T.由题图可知34T=56-12=34,即T=.由T=2,解得=2.(2分)由题图知函数f(x)=cos(2x+)的图象过点12,1,cos212+=1,即cos6+=1,6+=2k,kZ,解得=-6+2k,kZ.又|2,=-6.f(x)=cos2x-6.(4分)(2)x-4,4,2x-6-23,3,cos2x-6-12,1,即f(x)-12,1.令t=f(x)-12,1,则由题可知t-12,1,t2-mt-10恒成立.(6分)令g(t)=t2-mt-1,t-12,1,其图象为开口向上,对称轴为直线t=m2的抛物线的一部分.
18、当m-1时,函数g(t)在-12,1上单调递增,则g(t)max=g(1)=-m,令-m0,解得m0,此时无解;(8分)当-1m2时,函数g(t)在-12,m2上单调递减,在m2,1上单调递增,则g(t)max=maxg(1),g-12=max-m,m2-34,令max-m,m2-340,解得0m32;(10分)当m2时,函数g(t)在-12,1上单调递减,则g(t)max=g-12=m2-34,令m2-340,解得m32,此时无解.综上可知,m的取值范围是0m32.(12分)22.解析(1)因为f(x)=sin x,所以y=f2x-3=sin2x-3.(2分)因为x-4,4,所以2x-3-56,6,所以y=sin2x-3-1,12,即y=f2x-3在区间-4,4上的值域为-1,12.(4分)(2)由已知得=(-a)2-4a0,解得a4或a0.(6分)根据题意得sin+cos=a,sincos=a,又(sin +cos )2=1+2sin cos ,所以a2-2a-1=0,所以a=1-2或a=1+2(舍去).因此a=1-2.(8分)(3)由题意可得m(x)=sinx,x0,454,2,cosx,x4,54,因此函数m(x)的图象如图所示:(10分)若x0,2,m(x)=b有两个实数根,则y=m(x)的图象与直线y=b有两个交点,所以b-22,00,22-1.(12分)