1、2016-2017学年四川省乐山市高二（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共14小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1“m=1”是“直线x+y=0和直线x+my=0互相垂直”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件2已知F1，F2是定点，|F1F2|=16，动点M满足|MF1|+|MF2|=16，则动点M的轨迹是（）A椭圆B直线C圆D线段3如果命题“（p或q）”为假命题，则（）Ap、q均为真命题Bp、q均为假命题Cp、q中至少有一个为真命题Dp、q中至多有一个为真命题4如图ABC是ABC的直观图，那么ABC （）A等腰三
2、角形B直角三角形C等腰直角三角形D钝角三角形5关于直线a，b，l以及平面M，N，下面命题中正确的是（）A若aM，bM，则abB若aM，ba，则bMC若aM，aN，则MND若aM，bM，且la，lb，则lM6已知抛物线y2=2px（p0）的准线与曲线x2+y28x9=0相切，则p的值为（）A2B1CD7如图，正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长均为2，其正（主）视图如图所示，则此三棱柱侧（左）视图的面积为（）AB4CD8已知直线l与圆O：x2+y2=1相交于A，B两点，且|AB|=，则 的值是（）ABCD09如图是一正方体的表面展开图，MN和PB是两条面对角线，则在正方体中，直线MN与直线PB的位
3、置关系为（）A相交B平行C异面D重合10（理）设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若点P在双曲线上，且，则=（）ABCD11已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，P为C的右支上一点，且|PF2|=|F1F2|，则等于（）A24B48C50D5612如图所示，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，BAC=90，BC1AC，则C1在面ABC上的射影H必在（）A直线AB上B直线BC上C直线CA上DABC内部13如图，已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形，PA平面ABC，PA=2AB则下列结论正确的是（）APBADB平面PAB平面PBCC直线BC平面PAED直线PD与平面ABC所成的角为4514已知
4、F1，F2是双曲线的左，右焦点，点P在双曲线上且不与顶点重合，过F2作F1PF2的角平分线的垂线，垂足为A若，则该双曲线的离心率为（）AB1+C2D2+二、填空题：本大题共5小题；每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.15椭圆+=1的左右焦点为F1，F2，一直线过F1交椭圆于A、B两点，则ABF2的周长为16在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知DA=DC=2，DD1=1，则异面直线A1B与B1C所成角的余弦值17如图，过抛物线y2=2px（p0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物线的方程为18（理）如图在四面体OABC
5、中，OA，OB，OC两两垂直，且OB=OC=3，OA=4，给出如下判断：存在点D（O点除外），使得四面体DABC有三个面是直角三角形；存在点D，使得点O在四面体DABC外接球的球面上；存在唯一的点D使得OD平面ABC；存在点D，使得四面体DABC是正棱锥；存在无数个点D，使得AD与BC垂直且相等其中正确命题的序号是（把你认为正确命题的序号填上）19如图，正方形BCDE的边长为a，已知AB=BC，将ABE沿边BE折起，折起后A点在平面BCDE上的射影为D点，则翻折后的几何体中有如下描述：AB与DE所成角的正切值是；ABCEVBACE体积是a3；平面ABC平面ADC其中正确的有（填写你认为正确的序
6、号）三、解答题：本大题共8小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.20已知命题p：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：双曲线=1的离心率e（，），若命题p、q中有且只有一个为真命题，则实数m的取值范围是21已知圆C：x2+y28y+12=0，直线l：ax+y+2a=0（1）当a为何值时，直线l与圆C相切；（2）若直线l过点（0，2）与圆C相交于点A、B，求线段AB的长22如图1，在三棱锥PABC中，PA平面ABC，ACBC，D为侧棱PC上一点，它的正（主）视图和侧（左）视图如图2所示（1）证明：ADBC；（2）求三棱锥DABC的体积23设A、B分别为双曲线的左右顶点，双曲
7、线的实轴长为，焦点到渐近线的距离为（1）求双曲线的方程；（2）已知直线与双曲线的右支交于M、N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使，求t的值及点D的坐标24如图，已知ACDE是直角梯形，且EDAC，平面ACDE平面ABC，BAC=ACD=90，AB=AC=AE=2，P是BC的中点（）求证：DP平面EAB；（）求平面EBD与平面ABC所成锐二面角大小的余弦值25如图，在四棱锥EABCD中，AEDE，CD平面ADE，AB平面ADE，CD=DA=6，AB=2，DE=3（1）求棱锥CADE的体积；（2）在线段DE上是否存在一点P，使AF平面BCE？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由26（理）已知椭
8、圆的离心率为，且过点（1）求椭圆的标准方程；（2）四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC、BD过原点O，若（i） 求的最值；（ii） 求四边形ABCD的面积27已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，短轴长为4（）求椭圆C的标准方程；（）直线x=2与椭圆C交于P、Q两点，A、B是椭圆O上位于直线PQ两侧的动点，且直线AB的斜率为求四边形APBQ面积的最大值；设直线PA的斜率为k1，直线PB的斜率为k2，判断k1+k2的值是否为常数，并说明理由2016-2017学年四川省乐山市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共14小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四
9、个选项中，只有一项是符合题目要求的.1“m=1”是“直线x+y=0和直线x+my=0互相垂直”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】求出直线垂直的充要条件，从而判断出结论即可【解答】解：若“直线x+y=0和直线x+my=0互相垂直”，则=1，解得：m=1，故“m=1”是“直线x+y=0和直线x+my=0互相垂直”的充要条件，故选：C2已知F1，F2是定点，|F1F2|=16，动点M满足|MF1|+|MF2|=16，则动点M的轨迹是（）A椭圆B直线C圆D线段【考点】轨迹方程【分析】根据题意，利用|MF1|+|MF2
10、|=16与|F1F2|=16的长度关系，确定点M在线段F1F2上，即可得答案【解答】解：根据题意，点M与F1，F2可以构成一个三角形，则必有|MF1|+|MF2|F1F2|，而本题中动点M满足|MF1|+|MF2|=|F1F2|=16，点M在线段F1F2上，即动点M的轨迹线段F1F2，故选：D3如果命题“（p或q）”为假命题，则（）Ap、q均为真命题Bp、q均为假命题Cp、q中至少有一个为真命题Dp、q中至多有一个为真命题【考点】复合命题的真假【分析】（p或q）为假命题 既p或q是真命题，由复合命题的真假值来判断【解答】解：（p或q）为假命题，则p或q为真命题所以p，q至少有一个为真命题故选C
11、4如图ABC是ABC的直观图，那么ABC （）A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D钝角三角形【考点】斜二测法画直观图【分析】根据斜二侧画法，xOy=135，直接判断ABC的直观图是直角三角形【解答】解：由斜二测画法，xOy=135，知ABC直观图为直角三角形，如图故选B5关于直线a，b，l以及平面M，N，下面命题中正确的是（）A若aM，bM，则abB若aM，ba，则bMC若aM，aN，则MND若aM，bM，且la，lb，则lM【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】A由线面平行的性质即可判断；B由线面平行的性质和线面垂直的判定即可判断；C由线面平行的性质定理和面面垂直的判定定理即可
12、得到；D运用线面垂直的判定定理即可得到【解答】解：A同平行于一个平面的两条直线可平行也可相交或异面，故A错；B当aM，ba时b与M可平行、bM，bM，故B错；C若aM，aN，则过a的平面KN=b，则ab，即有bM，又bN，故MN，故C正确；D根据线面垂直的判定定理，若aM，bM，且ab=O且la，lb，则lM，故D错误故选C6已知抛物线y2=2px（p0）的准线与曲线x2+y28x9=0相切，则p的值为（）A2B1CD【考点】抛物线的简单性质【分析】求得圆心及半径，由题意可知：抛物线y2=2px（p0）的准线与曲线x2+y28x9=0相切，丨4+丨=5，解得：p=2【解答】解：圆x2+y28x
13、9=0转化为（x4）2+y2=25，圆心（4，0），半径为5，抛物线y2=2px（p0）的准线为x=，抛物线y2=2px（p0）的准线与曲线x2+y28x9=0相切，丨4+丨=5，解得：p=2，p的值为2，故选A7如图，正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长均为2，其正（主）视图如图所示，则此三棱柱侧（左）视图的面积为（）AB4CD【考点】简单空间图形的三视图【分析】由正视图得到三视图的高，也即其侧视图的高；底面正三角形的高即为侧视图的宽，据以上分析可求出此三棱柱的侧视图的面积【解答】解：由已知正三棱柱及其正视图可知：其侧视图是一个高与正视图的相同、宽是底面正三角形的高的矩形由三棱柱的正视图的高为
14、2，可得其侧视图的高也为2底面是边长为2的正三角形，其高为此三棱柱侧视图的面积=2=故选D8已知直线l与圆O：x2+y2=1相交于A，B两点，且|AB|=，则 的值是（）ABCD0【考点】平面向量数量积的运算【分析】直线与圆有两个交点，知道弦长、半径，确定AOB的大小，即可求得 的值【解答】解：依题意可知角AOB的一半的正弦值，即sin （AOB）=，AOB=120，则=11cos120=，故选：A9如图是一正方体的表面展开图，MN和PB是两条面对角线，则在正方体中，直线MN与直线PB的位置关系为（）A相交B平行C异面D重合【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【分析】把正方体的表面展开图还原
15、成正方体，由此能求出直线MN与直线PB的位置关系【解答】解：把正方体的表面展开图还原成正方体，如图，MNBD，PBBD=B，直线MN与直线PB异面故选：C10（理）设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若点P在双曲线上，且，则=（）ABCD【考点】双曲线的简单性质【分析】依题意可知a2=9，b2=4，进而求得c，求得F1F2，令PF1=p，PF2=q，由勾股定理得p2+q2=|F1F2|2，求得p2+q2的值，由双曲线定义：|pq|=2a两边平方，把p2+q2代入即可求得pq即可得到结论【解答】解：依题意可知a2=9，b2=4所以c2=13，F1F2=2c=2令PF1=p，PF2=q由双曲线定
16、义：|pq|=2a=6平方得：p22pq+q2=36F1PF2=90，由勾股定理得：p2+q2=|F1F2|2=52所以pq=8即|PF1|+|PF2|=2故选B11已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，P为C的右支上一点，且|PF2|=|F1F2|，则等于（）A24B48C50D56【考点】双曲线的简单性质【分析】设点P的坐标为（m，n），其中m2，根据点P在双曲线上且|PF2|=|F1F2|，建立关于m、n的方程组，解之得m、n的值，从而得到向量、的坐标，利用向量数量积的坐标公式，可算出的值【解答】解：根据双曲线方程，得a2=4，b2=5，c=3，所以双曲线的焦点分别为F1（3，0）、F
17、2（3，0），设点P的坐标为（m，n），其中m2，则点P在双曲线上，且|PF2|=|F1F2|，解之得m=，n=（3m，n），=（3m，n）=（3m）（3m）+（n）（n）=m29+n2=9+=50故选C12如图所示，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，BAC=90，BC1AC，则C1在面ABC上的射影H必在（）A直线AB上B直线BC上C直线CA上DABC内部【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱的结构特征【分析】如图，C1在面ABC上的射影H必在两个相互垂直平面的交线上，所以证明面ABC面ABC1就可以了【解答】解： CA面ABC1面ABC面ABC1，过C1在面ABC内作垂直于平面ABC，垂线在面A
18、BC1内，也在面ABC内，点H在两面的交线上，即HAB故选A13如图，已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形，PA平面ABC，PA=2AB则下列结论正确的是（）APBADB平面PAB平面PBCC直线BC平面PAED直线PD与平面ABC所成的角为45【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的性质【分析】利用题中条件，逐一分析答案，通过排除和筛选，得到正确答案【解答】解：AD与PB在平面的射影AB不垂直，所以A不成立，又，平面PAB平面PAE，所以平面PAB平面PBC也不成立；BCAD平面PAD，直线BC平面PAE也不成立在RtPAD中，PA=AD=2AB，PDA=45，故选D14已知F1，F
19、2是双曲线的左，右焦点，点P在双曲线上且不与顶点重合，过F2作F1PF2的角平分线的垂线，垂足为A若，则该双曲线的离心率为（）AB1+C2D2+【考点】双曲线的简单性质【分析】由题意可知：丨PQ丨=丨PF2丨，则丨丨PF1丨丨PF2丨丨=2a，丨PF1丨丨PQ丨=丨QF1丨=2a，由OA是F2F1Q的中位线，丨QF1丨=2a=2丨OA丨=b，a=，c=a，双曲线的离心率e=【解答】解：F1，F2是双曲线的左右焦点，延长F2A交PF1于Q，PA是F1PF2的角平分线，丨PQ丨=丨PF2丨，P在双曲线上，则丨丨PF1丨丨PF2丨丨=2a，丨PF1丨丨PQ丨=丨QF1丨=2a，O是F1F2中点，A是
20、F2Q中点，OA是F2F1Q的中位线，丨QF1丨=2a=2丨OA丨=b，a=，c=a，双曲线的离心率e=故选A二、填空题：本大题共5小题；每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.15椭圆+=1的左右焦点为F1，F2，一直线过F1交椭圆于A、B两点，则ABF2的周长为16【考点】椭圆的简单性质【分析】由椭圆的方程知，长半轴a=4，利用椭圆的定义知，ABF2的周长为4a，从而可得答案【解答】解：椭圆+=1中a=4又过焦点F1的直线与椭圆交于A，B两点，A，B与椭圆的另一个焦点F2构成ABF2，则ABF2的周长l=|AB|+|AF2|+|BF2|=（|AF1|+|AF2|）+（|BF1|+|BF
21、2|）=2a+2a=4a=16故答案为：1616在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知DA=DC=2，DD1=1，则异面直线A1B与B1C所成角的余弦值【考点】异面直线及其所成的角【分析】建立空间直角坐标系，利用向量夹角公式即可得出【解答】解：如图所示，B（2，2，0），A1（2，0，1），C（0，2，0），B1（2，2，1），=（0，2，1），=（2，0，1），cos=故答案为：17如图，过抛物线y2=2px（p0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物线的方程为y2=3x【考点】抛物线的标准方程【分析】根据过抛物线y2=2px
22、（p0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，作AM、BN垂直准线于点M、N，根据|BC|=2|BF|，且|AF|=3，和抛物线的定义，可得NCB=30，设A（x1，y1），B（x2，y2），|BF|=x，而，且，可求得p的值，即求得抛物线的方程【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），作AM、BN垂直准线于点M、N，则|BN|=|BF|，又|BC|=2|BF|，得|BC|=2|BN|，NCB=30，有|AC|=2|AM|=6，设|BF|=x，则2x+x+3=6x=1，而，由直线AB：y=k（x），代入抛物线的方程可得，k2x2（pk2+2p）x+k2p2=0，即有，得y2=3x故答案为
23、：y2=3x18（理）如图在四面体OABC中，OA，OB，OC两两垂直，且OB=OC=3，OA=4，给出如下判断：存在点D（O点除外），使得四面体DABC有三个面是直角三角形；存在点D，使得点O在四面体DABC外接球的球面上；存在唯一的点D使得OD平面ABC；存在点D，使得四面体DABC是正棱锥；存在无数个点D，使得AD与BC垂直且相等其中正确命题的序号是（把你认为正确命题的序号填上）【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】，取D为长方体的一个顶点，使得A，B，C是与D相邻的三个顶点，则可使四面体ABCD有3个面是直角三角形；，取同的点D，使得点O与D为相对的两个长方体的顶点，利用长方体
24、一定有外接球即可得出；，过O可以作一条直线与面ABC垂直，点D可以是该直线上任意点；，作CBD为正三角形，使得AD=DB，则点D使四面体ABCD是正三棱锥过点A作BC的垂面，垂面内过AD的每一条都垂直BC，；【解答】解：对于，取D为长方体的一个顶点，使得A，B，C是与D相邻的三个顶点，则可使四面体ABCD有3个面是直角三角形，故正确；对于，二面角COAB为直二面角，BOC=Rt，再取同的点D，使得点O与D为相对的两个长方体的顶点，则点O在四面体ABCD的外接球球面上，故正确；对于，过O可以作一条直线与面ABC垂直，点D可以是该直线上任意点，故错作CBD为正三角形，使得AD=DB，则点D使四面体
25、ABCD是正三棱锥，故正确过点A作BC的垂面，垂面内过AD的每一条都垂直BC，故正确；故答案为：19如图，正方形BCDE的边长为a，已知AB=BC，将ABE沿边BE折起，折起后A点在平面BCDE上的射影为D点，则翻折后的几何体中有如下描述：AB与DE所成角的正切值是；ABCEVBACE体积是a3；平面ABC平面ADC其中正确的有（填写你认为正确的序号）【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】作出直观图，逐项进行分析判断【解答】解：作出折叠后的几何体直观图如图所示：AB=a，BE=a，AE=AD=AC=在ABC中，cosABC=sinABC=tanABC=BCDE，ABC是异面直线AB，DE所成的
26、角，故正确连结BD，CE，则CEBD，又AD平面BCDE，CE平面BCDE，CEAD，又BDAD=D，BD平面ABD，AD平面ABD，CE平面ABD，又AB平面ABD，CEAB故错误三棱锥BACE的体积V=，故正确AD平面BCDE，BC平面BCDE，BCAD，又BCCD，BC平面ACD，BC平面ABC，平面ABC平面ACD故答案为三、解答题：本大题共8小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.20已知命题p：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：双曲线=1的离心率e（，），若命题p、q中有且只有一个为真命题，则实数m的取值范围是0m，或3m5【考点】命题的真假判断与应用；复合
27、命题的真假【分析】根据椭圆的性质，可求出命题p：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆为真命题时，实数m的取值范围；根据双曲线的性质，可得命题q：双曲线=1的离心率e（，）为真命题时，实数m的取值范围；进而结合命题p、q中有且只有一个为真命题，得到答案【解答】解：若命题p：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆为真命题；则9m2m0，解得0m3，则命题p为假命题时，m0，或m3，若命题q：双曲线=1的离心率e（，）为真命题；则（，），即（，2），即m5，则命题q为假命题时，m，或m5，命题p、q中有且只有一个为真命题，当p真q假时，0m，当p假q真时，3m5，综上所述，实数m的取值范围是：0m，或3m5故
28、答案为：0m，或3m521已知圆C：x2+y28y+12=0，直线l：ax+y+2a=0（1）当a为何值时，直线l与圆C相切；（2）若直线l过点（0，2）与圆C相交于点A、B，求线段AB的长【考点】直线与圆的位置关系【分析】（1）直线l与圆C相切，则=2，解得a值；（2）若直线l过点（0，2）即xy+2=0，代入圆的弦长公式，可得答案【解答】解：将圆C的方程x2+y28y+12=0化为标准方程x2+（y4）2=4，则此圆的圆心为（0，4），半径为2（1）若直线l与圆C相切，则有=2解得a=（2）直线l的方程为：，即xy+2=0，圆心（0，4）到l的距离为，则22如图1，在三棱锥PABC中，PA
29、平面ABC，ACBC，D为侧棱PC上一点，它的正（主）视图和侧（左）视图如图2所示（1）证明：ADBC；（2）求三棱锥DABC的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积【分析】（1）先证明BC平面PAC，再证明AD平面PBC，进而可得ADBC；（2）三棱锥DABC的体积即为三棱锥BADC的体积，进而得到答案【解答】解：（1）证明：因为PA平面ABC，所以PABC，又ACBC，所以BC平面PAC，所以BCAD由三视图可得，在PAC中，PA=AC=4，D为PC中点，所以ADPC，所以AD平面PBC又因为BC面PBC，故ADBC（2）由三视图可得BC=4，由（1）知ADC=90，BC
30、平面PAC又三棱锥DABC的体积即为三棱锥BADC的体积，所以，所求三棱锥的体积23设A、B分别为双曲线的左右顶点，双曲线的实轴长为，焦点到渐近线的距离为（1）求双曲线的方程；（2）已知直线与双曲线的右支交于M、N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使，求t的值及点D的坐标【考点】直线与圆锥曲线的关系；双曲线的标准方程【分析】（1）由实轴长可得a值，由焦点到渐近线的距离可得b，c的方程，再由a，b，c间的平方关系即可求得b；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），D（x0，y0），则x1+x2=tx0，y1+y2=ty0，则x1+x2=tx0，y1+y2=ty0，联立直线方程与双曲线方程消掉
31、y得x的二次方程，由韦达定理可得x1+x2，进而求得y1+y2，从而可得，再由点D在双曲线上得一方程，联立方程组即可求得D点坐标，从而求得t值；【解答】解：（1）由实轴长为，得，渐近线方程为x，即bx2y=0，焦点到渐近线的距离为，又c2=b2+a2，b2=3，双曲线方程为：；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），D（x0，y0），则x1+x2=tx0，y1+y2=ty0，由，y1+y2=4=12，解得，t=4，t=424如图，已知ACDE是直角梯形，且EDAC，平面ACDE平面ABC，BAC=ACD=90，AB=AC=AE=2，P是BC的中点（）求证：DP平面EAB；（）求平面EBD与
32、平面ABC所成锐二面角大小的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定【分析】（I）取AB的中点F，连接PF，EF利用三角形的中位线定理可得再利用已知条件和平行四边形的判定定理可得四边形EFPD是平行四边形，可得PDEF利用线面平行的判定定理即可得出；（II）通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可得出二面角【解答】（I）证明：取AB的中点F，连接PF，EF又P是BC的中点，EDAC，四边形EFPD是平行四边形，PDEF而EF平面EAB，PD平面EAB，PD平面EAB（II）BAC=90，平面ACDE平面ABC，BA平面ACDE以点A为坐标原点，直线AB为x轴，AC
33、为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则z轴在平面EACD内则A（0，0，），B（2，0，0），设平面EBD的法向量，由，得，取z=2，则，y=0可取作为平面ABC的一个法向量，=即平面EBD与平面ABC所成锐二面角大小的余弦值为25如图，在四棱锥EABCD中，AEDE，CD平面ADE，AB平面ADE，CD=DA=6，AB=2，DE=3（1）求棱锥CADE的体积；（2）在线段DE上是否存在一点P，使AF平面BCE？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由【考点】直线与平面平行的判定【分析】（1）在RtADE中，AE=，可得SADE=AEDE由于CD平面ADE，可得VCADE=CDSADE（2）在
34、线段DE上存在一点F，使AF平面BCE， =，设F为线段DE上的一点，过F作FMCD交CE于点M，由线面垂直的性质可得：CDAB可得四边形ABMF是平行四边形，于是AFBM，即可证明AF平面BCE【解答】解：（1）在RtADE中，AE=3，SADE=AEDE=33=，CD平面ADE，VCADE=CDSADE=6=9，在线段DE上存在一点F，使AF平面BCE， =，下面给出证明：设F为线段DE上的一点，且=，过F作FMCD交CE于点M，则FM=，CD平面ADE，AB平面ADE，CDAB又CD=3AB，MFAB，MF=AB，四边形ABMF是平行四边形，AFBM，又AF平面BCE，BM平面BCEAF
35、平面BCE26（理）已知椭圆的离心率为，且过点（1）求椭圆的标准方程；（2）四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC、BD过原点O，若（i） 求的最值；（ii） 求四边形ABCD的面积【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）与已知列关于a，b，c的方程组，求解方程组可得a，b的值，则椭圆的标准方程可求；（2）设直线AB的方程为y=kx+m，联立直线方程和椭圆方程，由可得k与m的关系（i）由数量积的坐标运算把化为含有k的代数式求得最值；（ii）首先求出AOB的面积，乘以4即可求得四边形ABCD的面积【解答】解：（1）由题意，又a2=b2+c2，解得：a2=8，b2=4，椭圆的标准方程为；（2）设直
36、线AB的方程为y=kx+m，再设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得（1+2k2）x2+4kmx+2m28=0=（4m）24（1+2k2）（2m28）=8（8k2m2+4）0，=，得4k2+2=m2（i）=2=24当k=0（此时m2=2满足式），即直线AB平行于x轴时，的最小值为2又直线AB的斜率不存在时，的最大值为2；（ii）设原点到直线AB的距离为d，则=27已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，短轴长为4（）求椭圆C的标准方程；（）直线x=2与椭圆C交于P、Q两点，A、B是椭圆O上位于直线PQ两侧的动点，且直线AB的斜率为求四边形APBQ面积的最大值；设直线PA的斜率为
37、k1，直线PB的斜率为k2，判断k1+k2的值是否为常数，并说明理由【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程【分析】（）设椭圆C的方程为，由短轴长可得b值，根据离心率为及a2=b2+c2，得a值；（）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=x+t，代入得x的二次方程，四边形APBQ的面积S=，而|PQ|易求，代入韦达定理即可求得S的表达式，由表达式即可求得S的最大值；直线PA的斜率，直线PB的斜率，代入韦达定理即可求得k1+k2的值；【解答】解：（）设椭圆C的方程为由已知b=2，离心率e=，a2=b2+c2，得a=4，所以，椭圆C的方程为（）由（）可求得点P、Q的坐标为P（2，3），Q（2，3），则|PQ|=6，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=x+t，代入，得：x2+tx+t212=0由0，解得4t4，由根与系数的关系得，四边形APBQ的面积，故当t=0时，；由题意知，直线PA的斜率，直线PB的斜率，则=，由知，可得，所以k1+k2的值为常数0