1、阶段验收评价 （二） 立体几何初步(时间：120分钟满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1对于用斜二测画法画水平放置的图形的直观图来说，下列描述不正确的是()A三角形的直观图仍然是一个三角形B90角的直观图为45角C与y轴平行的线段长度变为原来的一半D原来平行的线段仍然平行解析：选BA正确，根据斜二测画法，三角形的直观图仍然是一个三角形；B错误，90角的直观图可以是45角，也可以是135角；由斜二测画法规则知C、D正确2空间中有三条线段AB，BC，CD，且ABCBCD，那么直线AB与CD的位置关系是()A平行B异面C相交或平行D平行或异面或相交均有可能解析：选
2、D如图可知AB，CD有相交，平行，异面三种情况，故选D.3直线l1l2，在l1上取3个点，在l2上取2个点，由这5个点能确定平面的个数为()A5B4C9 D1解析：选D由经过两条平行直线有且只有一个平面可知分别在两平行直线上的5个点只能确定一个平面故选D.4.在如图所示的长方体ABCDA1B1C1D1中，VA1BCD的体积是()A60 B30C20 D10解析：选DVA1BCD35410.故选D.5正方体的表面积与其外接球的表面积的比为()A3 B2C12 D13解析：选B设正方体的棱长为a，则球的直径为2Ra，所以Ra.正方体的表面积为6a2.球的表面积为4R2423a2，所以它们的表面积之
3、比为6a23a22.故选B.6算数书是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“困盖”的术：置如其周，令相乘也又以高乘之，三十六成一该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式VL2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么，近似公式VL2h相当于将圆锥体积公式中的近似取为 ()A.B.C.D.解析：选B设圆锥底面积的半径为r，高为h，则L2r，r2h(2r)2h，所以.故选B.7.如图，在三棱锥ABCD中，ACAB，BCBD，平面ABC平面BCD.给出下列结论：ACBD；ADBC；平面ABC平面ABD；平面ACD平面ABD.以上结论中正确的个数为()A1
4、B2C3 D4解析：选C平面ABC平面BCD，平面ABC平面BCDBC，BCBD，BD平面ABC.又AC平面ABC，BDAC，故正确当ADBC时，BDBC，ADBDD，BC平面ABD.ACAB，BDAC，ABBDB，AC平面ABD，而ACBCC，过平面外一点不可能有两条不同直线同时垂直于同一个平面，故错误BD平面ABD，BD平面ABC，平面ABD平面ABC，故正确AC平面ABD，AC平面ACD，平面ACD平面ABD，故正确综上所述，正确故选C.8.如图，在边长为1的正方形ABCD中，点E，F分别为边BC，AD的中点，将ABF沿BF所在的直线进行翻折，将CDE沿DE所在的直线进行翻折，在翻折过程
5、中，下列说法错误的是()A无论翻折到什么位置，A，C两点都不可能重合B存在某个位置，使得直线AF与直线CE所成的角为60C存在某个位置，使得直线AF与直线CE所成的角为90D存在某个位置，使得直线AB与直线CD所成的角为90解析：选D在A中，点A与点C一定不重合，故A正确；在B中，存在某个位置，使得直线AF与直线CE所成的角为60，故B正确；在C中，当平面ABF平面BEDF，平面DCE平面BEDF时，直线AF与直线CE垂直，故C正确；在D中，直线AB与直线CD不可能垂直，故D错误故选D.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)9用一个平面去截正方体，关于截面的形状，下列判断正确的
6、是()A直角三角形B正五边形C正六边形D梯形解析：选CD画出截面图形如图：可以画出三角形但不是直角三角形，故A错误；如图经过正方体的一个顶点去截就可得到五边形，但此时不可能是正五边形，故B错误；正方体有六个面，如图用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，且可以画出正六边形，故C正确；可以画出梯形但不是直角梯形，故D正确故选C、D.10设，表示两个平面，l表示直线，A，B，C表示三个不同的点，给出下列命题，其中正确的是()A若Al，A，Bl，B，则lB，不重合，若A，A，B，B，则ABC若l，Al，则AD若A，B，C，A，B，C，且A，B，C不共线，则与重合解析：选ABD由基本事实1，A正确
7、，易知B、D正确，C错误，当A是l与的交点时，A.故选A、B、D.11.如图，在四面体PABC中，ABAC，PBPC，D，E，F分别是棱AB，BC，CA的中点，则下列结论中成立的是()ABC平面PDFBDF平面PAEC平面PDF平面PAED平面PDF平面ABC解析：选ABC因为D，F分别为AB，AC的中点，则DF为ABC的中位线，所以BCDF，依据线面平行的判定定理，可知BC平面PDF，A成立；又E为BC的中点，且PBPC，ABAC，则BCPE，BCAE，依据线面垂直的判定定理，可知BC平面PAE.因为BCDF，所以DF平面PAE，B成立；又DF平面PDF，则平面PDF平面PAE，C成立；要使
8、平面PDF平面ABC，已知AEDF，则必须有AEPD或AEPF，由条件知此垂直关系不一定成立，D错误故选A、B、C.12.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，DAB60，侧面PAD为正三角形，且平面PAD平面ABCD，则下列说法正确的是()A在棱AD上存在点M，使AD平面PMBB异面直线AD与PB所成的角为90C二面角PBCA的大小为45DBD平面PAC解析：选ABC如图，对于A，取AD的中点M，连接PM，BM.侧面PAD为正三角形，PMAD.又底面ABCD是菱形，DAB60，ABD是等边三角形，ADBM.又PMBMM，PM平面PMB，BM平面PMB，AD平面PBM，故A正确对于B
9、，AD平面PBM，ADPB，即异面直线AD与PB所成的角为90，故B正确对于C，平面PBC平面ABCDBC，BCAD，BC平面PBM.BCPB，BCBM.PBM是二面角PBCA的平面角设AB1，则BM，PM，在RtPBM中，tanPBM1，即PBM45，故二面角PBCA的大小为45，故C正确对于D，因为BD与PA不垂直，所以BD与平面PAC不垂直，故D错误故选A、B、C.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13如果用半径R2的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的高是_解析：设圆锥筒的底面半径为r，则2rR2，则r，所以圆锥筒的高h3.答案：314在三棱锥P ABC中，PAP
10、BPCBC，且BAC90，则PA与底面ABC所成的角为_解析：PAPBPC，则P点在底面ABC的射影落在RtABC的斜边BC上，即为BC的中点设BC的中点为D，如图，连接PD，AD，所以PA与底面ABC所成的角为PAD.在等边三角形PBC中，设PB1，则PD，在直角三角形ABC中，ADBC，则有AD2PD2PA2，所以三角形PAD为直角三角形，又tanPAD，所以PAD60，即PA与底面ABC所成的角为60.答案：6015若P是ABC所在平面外一点，而PBC和ABC都是边长为2的正三角形，PA，那么二面角PBCA的大小为_解析：如图，取BC的中点O，连接OA，OP，则POA为二面角PBCA的平
11、面角，OPOA，PA，所以POA为直角三角形，POA90.答案：9016.现有一副斜边长为10的直角三角板，将它们斜边AB重合，若将其中一个三角板沿斜边折起形成三棱锥ABCD，如图所示，已知DAB，BAC，则三棱锥ABCD的外接球的表面积为_；该三棱锥体积的最大值为_解析：由题意，ADBACB，又DAB，BAC，AB10，AD5，BD5，ACBC5.ADBACB，三棱锥ABCD的外接球的直径为AB，则球的半径为5，故球的表面积为S452100；当点C到平面ABD的距离最大时，三棱锥ABCD的体积最大，此时平面ABC平面ABD，且点C到平面ABD的距离d5，VABCDVCABDSABDd555.
12、答案：100四、解答题(本大题共6小题，共70分)17.(10分)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，且PBPD.(1)求证：BDPC；(2)若平面PBC与平面PAD的交线为l，求证：BCl.证明：(1)连接AC交BD于点O，连接PO.因为四边形ABCD为菱形，所以BDAC.又因为PBPD，O为BD的中点，所以BDPO.因为POACO，所以BD平面PAC.因为PC平面PAC，所以BDPC.(2)因为四边形ABCD为菱形，所以BCAD.因为BC平面PAD，AD平面PAD，所以BC平面PAD.又因为BC平面PBC，平面PBC与平面PAD的交线为l，所以BCl.18.(12分)如图，在四
13、棱锥PABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，ABBCAD，BADABC90.(1)求证：直线BC平面PAD；(2)若PCD面积为2，求四棱锥PABCD的体积解：(1)证明：底面ABCD中，BADABC90，BCAD.又AD平面PAD，BC平面PAD，BC平面PAD.(2)取AD的中点M，连接PM，CM.由ABBCAD及BCAD，ABC90得四边形ABCM为正方形，则CMAD.因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PM平面PAD，所以PMAD，PM底面ABCD.因为CM底面ABCD，所以PMCM.设BCx，则CMx，CDx，PMx，PCPD
14、2x.取CD的中点N，连接PN，则PNCD，所以PNx.因为PCD的面积为2，所以xx2，解得x2(舍去)，x2.于是ABBC2，AD4，PM2.所以四棱锥PABCD的体积V24.19.(12分)如图，在三棱锥PABC中，AB平面PAC，APC90，E是AB的中点，M是CE的中点，N在PB上，且PB4PN.求证：(1)平面PCE平面PAB；(2)MN平面PAC.证明：(1)因为AB平面PAC，所以ABPC.又APC90，所以APPC.因为ABAPA，所以PC平面PAB.因为PC平面PCE，所以平面PCE平面PAB.(2)取AE的中点Q，连接QN，QM.在AEC中，因为M是CE的中点，所以QMA
15、C.又PB4PN，AB4AQ，所以QNAP.又QMQNQ，ACAPA，所以平面QMN平面PAC.又MN平面QMN，所以MN平面PAC.20(12分)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1DA1F，A1C1A1B1.求证：(1)直线DE平面A1C1F；(2)平面B1DE平面A1C1F.证明：(1)在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACA1C1，在ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，所以DEAC，于是DEA1C1，又因为DE平面A1C1F，A1C1平面A1C1F，所以直线DE平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平
16、面A1B1C1，因为A1C1平面A1B1C1，所以AA1A1C1，又因为A1C1A1B1，A1B1AA1A1，AA1平面ABB1A1，A1B1平面ABB1A1，所以A1C1平面ABB1A1，因为B1D平面ABB1A1，所以A1C1B1D.又因为B1DA1F，A1C1A1FA1，A1C1平面A1C1F，A1F平面A1C1F，所以B1D平面A1C1F，因为直线B1D平面B1DE，所以平面B1DE平面A1C1F.21.(12分)如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ABCD，ABBCCC12CD，E为线段AB的中点，F是线段DD1上的动点(1)求证：EF平面BCC1B1；(2)若BCDC1CD6
17、0，且平面D1C1CD平面ABCD，求平面BCC1B1与平面DC1B1所成角(锐角)的余弦值解：(1)证明：如图，连接DE，D1E.ABCD，AB2CD，E是AB的中点，BECD，BECD.四边形BCDE是平行四边形DEBC.又DE平面BCC1B1，BC平面BCC1B1，DE平面BCC1B1.DD1CC1，DD1平面BCC1B1，CC1平面BCC1B1，D1D平面BCC1B1.又D1DDED，DE平面DED1，D1D平面DED1，平面DED1平面BCC1B1.EF平面DED1，EF平面BCC1B1.(2)如图，连接BD.设CD1，则ABBCCC12.BCD60，BD.CD2BD2BC2，BDC
18、D.同理可得C1DCD.平面D1C1CD平面ABCD，平面D1C1CD平面ABCDCD，C1D平面D1C1CD，C1D平面ABCD.BC平面ABCD，C1DBC.C1DB1C1.在平面ABCD中，过点D作DHBC，垂足为H，连接C1H，如图C1DDHD，BC平面C1DH.C1H平面C1DH，BCC1H.B1C1C1H.DC1H为平面BCC1B1与平面DC1B1所成的角在RtC1CD中，C1D，在RtBCD中，DHCDsin 60，在RtC1DH中，C1H.cosDC1H.平面BCC1B1与平面DC1B1所成的角(锐角)的余弦值为.22.(12分)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底
19、面ABC，M为棱AC的中点，ABBC，AC2，AA1.(1)求证：B1C平面A1BM.(2)求证：AC1平面A1BM.(3)在棱BB1上是否存在点N，使得平面AC1N平面AA1C1C？如果存在，求此时的值；如果不存在，请说明理由解：(1)证明：连接AB1交A1B于O，连接OM，如图所示在B1AC中，因为M，O分别为AC，AB1的中点，所以OMB1C.又OM平面A1BM，B1C平面A1BM，所以B1C平面A1BM.(2)证明：因为侧棱AA1底面ABC，BM平面ABC，所以AA1BM.因为M为棱AC的中点，ABBC，所以BMAC.又AA1ACA，所以BM平面ACC1A1.所以BMAC1.因为M为棱
20、AC的中点，AC2，所以AM1.又AA1，所以在RtACC1和RtA1AM中，tanAC1CtanA1MA.所以AC1CA1MA.所以AC1CC1ACA1MAC1AC90.所以A1MAC1.因为BMA1MM，所以AC1平面A1BM.(3)存在点N，且当点N为BB1的中点，即时，平面AC1N平面AA1C1C.设AC1的中点为D，连接DM，DN，如图所示因为D，M分别为AC1，AC的中点，所以DMCC1，且DMCC1.又N为BB1的中点，所以DMBN，且DMBN.所以四边形DMBN是平行四边形所以BMDN.因为BM平面ACC1A1，所以DN平面ACC1A1.又DN平面AC1N，所以平面AC1N平面ACC1A1.