1、13.2奇 偶 性提出问题已知函数(1)f(x)x21，(2)f(x)，(3)f(x)2x的图象分别如图所示：问题1：各个图象有怎样的对称性？提示：题图(1)关于y轴对称；题图(2)(3)关于坐标原点对称问题2：对于以上三个函数，分别计算f(x)，观察对定义域内的每一个x，f(x)与f(x)有怎样的关系？提示：(1)f(x)f(x)；(2)f(x)f(x)；(3)f(x)f(x)导入新知偶函数奇函数定义一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做
2、奇函数定义域关于原点对称图象特征化解疑难理解函数的奇偶性应关注四点(1)函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质，只有对其定义域内的每一个x，都有f(x)f(x)或f(x)f(x)，才能说f(x)是奇(偶)函数(2)函数yf(x)是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件：定义域关于原点对称换言之，若所给函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性例如，函数yx2在区间(，)上是偶函数，但在区间1,2上却无奇偶性可言(3)若奇函数在原点处有定义，则必有f(0)0.(4)若f(x)f(x)，且f(x)f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数，既奇又偶的函数有且只有一类，
3、即f(x)0，xD，D是关于原点对称的实数集判断函数的奇偶性例1判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)x1；(2)f(x)x33x，x4,4)；(3)f(x)|x2|x2|；(4)f(x)解(1)函数f(x)x1的定义域为实数集R，关于原点对称因为f(x)x1(x1)，f(x)(x1)，即f(x)f(x)，f(x)f(x)，所以函数f(x)x1既不是奇函数又不是偶函数(2)因为函数的定义域不关于原点对称，即存在44,4)，而44,4)，所以函数f(x)x33x，x4,4)既不是奇函数又不是偶函数(3)函数f(x)|x2|x2|的定义域为实数集R，关于原点对称因为f(x)|x2|x2|x2|x2|
4、(|x2|x2|)f(x)，所以函数f(x)|x2|x2|是奇函数(4)函数的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称当x0时，x0，f(x)(x)21f(x)；当x0，f(x)(x)21x21f(x)综上可知，函数f(x)是奇函数类题通法判断函数奇偶性的方法(1)定义法：根据函数奇偶性的定义进行判断步骤如下：判断函数f(x)的定义域是否关于原点对称若不对称，则函数f(x)为非奇非偶函数，若对称，则进行下一步验证f(x)f(x)或f(x)f(x)下结论若f(x)f(x)，则f(x)为奇函数；若f(x)f(x)，则f(x)为偶函数；若f(x)f(x)，且f(x)f(x)，则f(x)为非奇非偶函数(
5、2)图象法：f(x)是奇(偶)函数的等价条件是f(x)的图象关于原点(y轴)对称(3)性质法：偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数活学活用判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)|x2|x2|；(2)f(x)解：(1)函数f(x)|x2|x2|的定义域为R.因为对于任意的xR，都有f(x)|x2|x2|x2|x2|f(x)，所以函数f(x)|x2|x2|是偶函数(2)函数的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称当x0时，x0，则f(x)f(x)；当x0，则f(x)f(x)
6、综上可知，函数f(x)是偶函数.利用函数奇偶性的定义求参数例2(1)若函数f(x)为奇函数，则a()A.B.C. D1(2)若函数f(x)ax2bx3ab是偶函数，定义域为a1,2a，则a_，b_；(3)已知函数f(x)ax22x是奇函数，则实数a_.解析(1)要使函数式有意义，则x，且xa，而函数f(x)为奇函数，所以其定义域应关于原点对称，由此得a，经验证当a时，函数f(x)是奇函数(2)因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a12a，解得a.又函数f(x)x2bxb1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b0.(3)由奇函数定义有f(x)f(x)0，得a(x)22(x)ax22x2ax20
7、，故a0.答案(1)A(2)0(3)0类题通法由函数的奇偶性求参数应关注两点(1)函数奇偶性的定义既是判断函数的奇偶性的一种方法，也是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质，要注意函数奇偶性定义的正用和逆用(2)利用常见函数如一次函数、反比例函数、二次函数具有奇偶性的条件也可求得参数活学活用已知函数f(x)是奇函数，则a_.解析：当x0，f(x)(x)2(x)x2x.又f(x)为奇函数，f(x)f(x)x2x，即ax2xx2x，a1.答案：1利用函数的奇偶性求解析式例3已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x0时，f(x)x22x.(1)求出函数f(x)在R上的解析式；(2)画出函数f(x)的
8、图象解(1)由于函数f(x)是定义域为R的奇函数，则f(0)0.当x0时，x0.f(x)是奇函数，f(x)f(x)，f(x)f(x)(x)22(x)x22x.综上，f(x)(2)f(x)的图象如图所示类题通法利用奇偶性求解析式的方法首先设出所求区间上的自变量，利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知的区间上，代入已知的解析式，然后再次利用函数的奇偶性求解即可活学活用已知f(x)是R上的偶函数，当x(0，)时，f(x)x2x1，求x(，0)时，f(x)的解析式解：设x0，f(x)(x)2(x)1.f(x)x2x1.函数f(x)是偶函数，f(x)f(x)f(x)x2x1.当x(，0
9、)时，f(x)x2x1.典例(12分)设定义在2,2上的奇函数f(x)在区间0,2上单调递减，若f(m)f(m1)0，求实数m的取值范围解题流程 活学活用设函数f(x)在R上是偶函数，在区间(，0)上递增，且f(2a2a1)0，2a22a3220，且f(2a2a1)2a22a3，即3a20，解得a，a的取值范围为.随堂即时演练1函数f(x)的图象关于()Ax轴对称B原点对称Cy轴对称 D直线yx对称解析：选B由题意知f(x)的定义域为，0)(0，定义域关于原点对称，又f(x)f(x)，f(x)是奇函数，其图象关于原点对称2定义在R上的偶函数f(x)在(0，)上是增函数，则()Af(3)f(4)
10、f()Bf()f(4)f(3)Cf(3)f()f(4)Df(4)f()f(3)解析：选Cf(x)在R上是偶函数，f()f()，f(4)f(4)而34，且f(x)在(0，)上是增函数，f(3)f()f(4)，即f(3)f()f(4)3已知函数f(x)是定义在(1,1)上的奇函数，则常数m，n的值分别为_解析：由题意知f(0)0，故得m0.由f(x)是奇函数知f(x)f(x)，即，x2nx1x2nx1，n0.答案：0,04设偶函数f(x)的定义域为5,5，若当x0,5时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)0的解集是_解析：因为偶函数的图象关于y轴对称，所以可根据对称性确定不等式f(x)0的解
11、集当x0,5时，f(x)0的解集为x|2x5，所以当x5,0时，f(x)0的解集为x|5x2f(x)0的解集是x|5x2，或2x5答案：x|5x2，或20，f(x).f(x)f(x)，f(x)为奇函数课时达标检测一、选择题1下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0，)上单调递减的函数为()Ay ByCyx2 Dyx解析：选A易判断A，C为偶函数，B，D为奇函数，但函数yx2在(0，)上单调递增，所以选A.2若yf(x)(xR)是奇函数，则下列坐标表示的点一定在yf(x)图象上的是()A(a，f(a) B(a，f(a)C(a，f(a) D(a，f(a)解析：选Bf(x)为奇函数，f(a)f(a)，
12、点(a，f(a)在函数yf(x)图象上3奇函数f(x)在区间3,6上是增函数，在区间3,6上的最大值为8，最小值为1，则f(6)f(3)的值为()A10 B10C9 D15解析：选C由已知得，f(6)8，f(3)1，又f(x)是奇函数，f(6)f(3)f(6)f(3)8(1)9，故选C.4已知f(x)x5ax3bx8，且f(2)10，则f(2)等于()A26 B18C10 D10解析：选A令g(x)x5ax3bx，则g(x)g(x)，g(x)为奇函数又f(x)g(x)8，f(2)g(2)810g(2)18.g(2)18.f(2)g(2)818826.5设f(x)为定义在R上的奇函数当x0时，f
13、(x)2x2xb(b为常数)，则f(1)()A3 B1C1 D3解析：选D因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以有f(0)2020b0，解得b1，所以当x0时，f(x)2x2x1，所以f(1)f(1)(21211)3.二、填空题6已知yf(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x22x，则f(x)在R上的解析式为_解析：令x0.f(x)(x)22xx22x.又f(x)为奇函数，f(x)f(x)x22x，f(x)答案：f(x)7已知偶函数f(x)在区间0，)上单调增加，则满足f(2x1)f的x取值范围是_解析：偶函数f(x)在区间0，)上单调增加，所以函数f(x)在区间(，0上单调递减由于
14、f(x)是偶函数，所以f(x)f(x)，则f f .由f(2x1)f ，得或，解得x，解得x.综上，得x，故x的取值范围是.答案：8设函数f(x)(xR)为奇函数，f(1)，f(x2)f(x)f(2)，则f(5)_.解析：令x1，得f(1)f(1)f(2)f(1)f(2)故f(2)，则f(2)1.令x1，得f(3)f(1)f(2)1.令x3，得f(5)f(3)f(2)1.答案：三、解答题9已知函数f(x)x2|xa|1，aR.(1)试判断f(x)的奇偶性；(2)若a0时，求f(x)的最小值解：(1)当a0时，f(x)(x)2|x|1x2|x|1f(x)当a0时，f(a)a21，f(a)a22|
15、a|1，此时f(a)f(a)，f(a)f(a)当a0时，f(x)为偶函数，当a0时，f(x)为非奇非偶函数(2)当a0时，f(x)x2|x|1为偶函数，x0时，f(x)x2x1，x0时，f(x)min1，f(x)min1.10函数f(x)是定义在(1,1)上的奇函数，且f.(1)确定函数f(x)的解析式；(2)用定义证明：f(x)在(1,1)上是增函数；(3)解不等式：f(t1)f(t)0.解：(1)由题意知即解得f(x).(2)证明：任取x1，x2且满足1x1x20，f(x2)f(x1).1x1x21，1x1x20.于是f(x2)f(x1)0，f(x)为(1,1)上的增函数(3)f(t1)f
16、(t)f(t)f(x)在(1,1)上是增函数，1t1t1，解得0t.11已知函数f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，bR都满足f(ab)af(b)bf(a)(1)求f(0)，f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性，并证明你的结论解：(1)令ab0，则f(00)0f(0)0f(0)0，f(0)0.令ab1，则f(11)f(1)f(1)f(1)，f(1)0.(2)f(x)是奇函数证明如下：f(1)f(1)2)f(1)f(1)0，f(1)0.令a1，bx，则f(x)f(1x)f(x)xf(1)f(x)故f(x)为奇函数12已知函数f(x)是奇函数，且f(2).(1)求实数m和n的
17、值；(2)判断函数f(x)在(，0)上的单调性，并加以证明解：(1)f(x)是奇函数，f(x)f(x)，即.比较得nn，则n0.又f(2)，解得m2，故实数m和n的值分别是2和0.(2)函数f(x)在(，1上为增函数，在(1,0)上为减函数证明如下：由(1)可知f(x).设x1x20，则f(x1)f(x2)(x1x2)(x1x2).当x1x21时，x1x20，x1x210，则f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)故函数f(x)在(，1上为增函数；当1x1x20时，x1x20，x1x210，即f(x1)f(x2)故函数f(x)在(1,0)上为减函数(A卷学业水平达标)(时间120分钟，满
18、分150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题6分，共60分)1设全集UxZ|1x5，A1,2,5，BxN|1x4，则B(UA)()A3B0,3C0,4 D0,3,4解析：选BU1,0,1,2,3,4,5，B0,1,2,3，UA1,0,3,4B(UA)0,32设集合A1,3,5，若f：x2x1是集合A到集合B的映射，则集合B可以是()A0,2,3 B1,2,3C3,5 D3,5,9解析：选D将A中的元素1代入得3，A中的元素3代入得5，A中的元素5代入得9，故选D.3已知f(x)则f()等于()A. B.C7 D无法确定解析：选B10且g(x)0，故f(x)g(x)0，可排除B，故选A.8偶
19、函数f(x)的定义域为R，当x0，)时，f(x)是增函数，则不等式f(x)f(1)的解集是()A(1，)B(，1)C(1,1)D(，1)(1，)解析：选D因为f(x)是偶函数，所以f(|x|)f(x)，所以f(x)f(1)可转化为f(|x|)f(1)，又因为x0，)时，f(x)是增函数，所以|x|1，即x1或x1.9设奇函数f(x)在(0，)上为增函数，且f(1)0，则不等式0的解集为()A(1,0)(1，)B(，1)(0,1)C(，1)(1，)D(1,0)(0,1)解析：选D由f(x)为奇函数可知，0时，f(x)0f(1)；当x0f(1)又f(x)在(0，)上为增函数，奇函数f(x)在(，0
20、)上为增函数所以0x1，或1x0.10设奇函数f(x)在1,1上是增函数，且f(1)1，若对所有的x1,1及任意的a1,1都满足f(x)t22at1，则t的取值范围是()A2,2B.C(，202，)D.0解析：选C由题意，得f(1)f(1)1.又f(x)在1,1上是增函数，当x1,1时，有f(x)f(1)1.t22at11在a1,1时恒成立得t2，或t2，或t0.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11当A，B是非空集合，定义运算ABx|xA，且xB，若Mx|y，Ny|yx2，1x1，则MN_.解析：集合M：x|x1，集合N：y|0y1，MNx|xM且xNx|x0答案：x|x01
21、2已知f(x)ax3bx4，其中a，b为常数，若f(2)2，则f(2)_.解析：设g(x)ax3bx，显然g(x)为奇函数，则f(x)ax3bx4g(x)4，于是f(2)g(2)4g(2)42，所以g(2)6，所以f(2)g(2)46410.答案：1013函数f(x)的值域是_解析：设g(x)2xx2,0x3，结合二次函数的单调性可知：g(x)ming(3)3，g(x)maxg(1)1；同理，设h(x)x26x，2x0，则h(x)minh(2)8，h(x)maxh(0)0.所以f(x)maxg(1)1，f(x)minh(2)8.答案：8,114若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(，0上是减
22、函数，且f(2)0，则不等式f(x)0的解集为_解析：因为f(x)是定义在R上的偶函数，且f(2)0，所以f(2)0.又因为f(x)在(，0上是减函数，故f(x)在0，)上是增函数故满足f(x)0的x的取值范围应为(2,2)，即f(x)0的解集为x|2x2答案：x|2x2三、解答题(本大题共6小题，共70分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15(10分)已知集合Ax|2x8，Bx|1x6，Cx|xa，UR.(1)求AB，(UA)B；(2)若AC，求a的取值范围解：(1)ABx|2x8x|1x6x|1x8UA x|x2或x8，(UA)Bx|1x2(2)AC，作图易知，只要a在8的左边即可
23、，a8.a的取值范围为(，8)16(12分)已知集合Px|2x10，Qx|1mx1m(1)求集合RP；(2)若PQ，求实数m的取值范围；(3)若PQQ，求实数m的取值范围解：(1)RPx|x10；(2)由PQ，需得m9，即实数m的取值范围为9，); (3)由PQQ得，QP，当1m1m，即m0，满足ff(x)f(y)(1)求f(1)的值；(2)若f(6)1，解不等式f(x3)f2.解：(1)在ff(x)f(y)中，令xy1，则有f(1)f(1)f(1)，f(1)0.(2)f(6)1，f(x3)f2f(6)f(6)，f(3x9)f(6)f(6)，即ff(6)f(x)是定义在(0，)上的增函数，解得
24、3x9，即不等式的解集为(3,9)18(12分)已知奇函数f(x)(1)求实数m的值，并画出函数f(x)的图象；(2)若函数f(x)在区间1，a2上是增函数，结合函数f(x)的图象，求实数a的取值范围；(3)结合图象，求函数f(x)在区间2,2上的最大值和最小值解：(1)当x0，则f(x)(x)22(x)x22x.又函数f(x)为奇函数，f(x)f(x)f(x)f(x)(x22x)x22x.又当x0时，f(x)x2mx，对任意x0，总有x22xx2mx，m2.函数f(x)的图象如图所示(2)由(1)知f(x)由图象可知，函数f(x)的图象在区间1,1上的图象是“上升的”，函数f(x)在区间1,
25、1上是增函数要使f(x)在1，a2上是增函数，需有解得1a3，即实数a的取值范围是(1,3(3)由图象可知，函数f(x)的图象在区间2,2上的最高点是(1，f(1)，最低点是(1，f(1)又因为f(1)121，f(1)121，所以函数f(x)在区间2,2上的最大值是1，最小值是1.19(12分)已知函数f(x)x，且此函数的图象过点(1,5)(1)求实数m的值；(2)判断f(x)的奇偶性；(3)讨论函数f(x)在2，)上的单调性，并证明你的结论解：(1)f(x)过点(1,5)，1m5m4.(2)对于f(x)x，x0，f(x)的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称f(x)xf(x)f(x)为奇
26、函数(3)证明：任取x1，x22，)且x1x2，则f(x1)f(x2)x1x2(x1x2).x1，x22，)且x1x2，x1x24，x1x20.f(x1)f(x2)0.f(x)在2，)上单调递增20(12分)小张周末自己驾车旅游，早上八点从家出发，驾车3 h后到达景区停车场，期间由于交通等原因，小张的车所走的路程s(单位：km)与离家的时间t(单位：h)的函数关系式为s(t)5t(t13)由于景区内不能驾车，小张把车停在景区停车场在景区玩到16点，小张开车从停车场以60 km/h的速度沿原路返回(1)求这天小张的车所走的路程s(单位：km)与离家时间t(单位：h)的函数解析式；(2)途经一加油
27、站，距离小张家60 km，求这天小张的车途经该加油站的时间解：(1)依题意得，当0t3时，s(t)5t(t13)，s(3)53(313)150.即小张家距离景点150 km，小张的车在景点逗留时间为16835(h)当3t8时，s(t)150，小张从景点回家所花时间为2.5(h)，故s(10.5)2150300.当8t10.5时，s(t)15060(t8)60t330.综上所述，这天小张的车所走的路程s(t)(2)当0t3时，令5t(t13)60得t213t120，解得t1或t12(舍去)，当8t10.5时，令60t330215060240，解得t.答：小张这天途经该加油站的时间分别为9点和17
28、时30分(B卷能力素养提升)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题6分，共60分)1设全集U是自然数集N，集合Ax|x24，xN，B0,2,3，则图中阴影部分所表示的集合是()Ax|x2，xNBx|x2，xNC0,2 D1,2解析：选C由题图可知，图中阴影部分所表示的集合是B(UA)，UAx|x24，xNx|2x2，xN0,1,2，B0,2,3，B(UA)0,2，选C.2函数y的定义域是()A.B.C.D.解析：选C由x1且x0.3下列各组函数表示同一函数的是()Af(x)，g(x)()2Bf(x)1，g(x)x0Cf(x)，g(x)()2Df(x)x1，g(x)
29、解析：选C选项A、B、D中函数的定义域不同，不是同一函数4函数y的定义域是(，1)2,5，则其值域是()A(，0) B(，2C.2，) D(0，)解析：选A因为函数y在(，1)和2,5上都是减函数，故y(，0).5函数f(x)x22axb在(，1)上为减函数，则a的取值范围为()A1，) B(，1C1，) D(，1解析：选B对称轴是xa，a1，a1.6已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)g(x)x3x21，则f(1)g(1)()A3 B1C. 1 D. 3解析：选C在f(x)g(x)x3x21中，令x1，得f(1)g(1)1，即f(1)g(1)1.7若函数f(x)
30、在(，1上是增函数，则下列关系式中成立的是()Aff(1)f(2)Bf(1)ff(2)Cf(2)f(1)fDf(2)ff(1)解析：选Df(x)在(，1上是增函数，且21，所以f(2)f0时，x0，则f(x)0；若x1.其中，正确的命题是_解析：由yf(x1)的图象知yf(x)的图象如图所示正确，不正确，不正确，正确答案：三、解答题(本题共6小题，共70分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15(10分)已知全集U1,2,3,4,5,6,7,8，Ax|x23x20，Bx|1x5，xZ，Cx|2x9，xZ求(1)A(BC)；(2)(UB)(UC)解：(1)依题意有：A1,2，B1,2,3,
31、4,5，C3,4,5,6,7,8，BC3,4,5，故有A(BC)1,23,4,51,2,3,4,5(2)由UB6,7,8，UC1,2；故有(UB)(UC)6,7,81,21,2,6,7,816(12分)已知函数f(x)|x1|x1|(xR)(1)证明：函数f(x)是偶函数；(2)利用绝对值及分段函数知识，将函数解析式写成分段函数的形式，然后画出函数图象；(3)写出函数的值域解： (1)证明：f(x)|x1|x1|(x1)|(x1)|x1|x1|f(x)，函数f(x)|x1|x1|(xR)为偶函数(2)由x10，得x1；由x10，得x1.当x1时，f(x)2x.f(x)f(x)的图象如图所示(3
32、)由函数图象知，函数的值域为2，)17(12分)已知函数f(x)在定义域(0，)上为增函数，且满足f(xy)f(x)f(y)，f(3)1.(1)求f(9)，f(27)的值；(2)若f(3)f(a8)2，求实数a的取值范围解：(1)由原题条件，可得到f(9)f(33)f(3)f(3)112，f(27)f(39)f(3)f(9)123.(2)f(3)f(a8)f(3a24)，又f(9)2，f(3a24)f(9)又函数在定义域上为增函数，即有3a249，解得8a0)，写出话费y(元)关于通话时间t(分钟)的函数关系式(可用t表示不小于t的最小整数)解：(1)如下图所示(2)由(1)知，话费y与时间t
33、的关系是分段函数当03时，话费y应为(0.2t30.1)元所以y19(12分)已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，当x0时，f(x)1.(1)求f(2)的值及yf(x)的解析式；(2)用定义法判断yf(x)在区间(，0上的单调性解：(1)由函数f(x)为偶函数，知f(2)f(2)1；又x0时，x0，由函数f(x)为偶函数，知f(x)f(x)11，综上，f(x)(2)在(，0上任取x1，x2，且x1x2，则f(x1)f(x2)；由x110，x210，知f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)由定义可知，函数yf(x)在区间(，0上单调递减20(12分)已知二次函数f(x)满足f(x)f(
34、x1)2x且f(0)1.(1)求f(x)的解析式；(2)当x1,1时，不等式 f(x)2xm恒成立，求实数m的范围；(3)设G(t)f(2ta)，t1,1，求G(t)的最大值解：(1)令f(x)ax2bxc(a0)，代入已知条件，得：f(x)x2x1.(2)当x1,1时，f(x)2xm恒成立，即x23x1m恒成立；令g(x)x23x12，x1,1则对称轴：x1,1，g(x)ming(1)1，m1.图1(3)G(t)f(2ta)4t2(4a2)ta2a1，t1，1，对称轴为：t.当0时，即：a；如图1：G(t)maxG(1)4(4a2)a2a1a25a7，当；如图2：G(t)maxG(1)4(4a2)a2a1a23a3，综上所述：G(t)max