1、单元质检卷九解析几何(时间:100分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.(2019山西芮城模拟,6)点P(2,3)到直线l:ax+y-2a=0的距离为d,则d的最大值为()A.3B.4C.5D.72.(2019云南师范大学附中模拟,8)直线l与双曲线x2-y22=1交于A,B两点,以AB为直径的圆C的方程为x2+y2+2x+4y+m=0,则m=()A.-3B.3C.5-22D.223.(2019湖南湖北八市十二校一调联考,8)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,过点F的直线l与抛物线C交于A、B两点,且直线l与圆x2-px+y2-34p2=0交于
2、C、D两点.若|AB|=2|CD|,则直线l的斜率为()A.22B.32C.1D.24.(2019江西名校(临川一中、南昌二中)2019联考,7)阿波罗尼斯(约公元前262190年)证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数k(k0,k1)的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A、B间的距离为2,动点P满足|PA|PB|=2,当P、A、B不共线时,三角形PAB面积的最大值是()A.22B.2C.223D.235.设F1、F2是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点,A为左顶点,点P为双曲线C右支上一点,|F1F2|=10,PF2F1F2,|PF2|=1
3、63,O为坐标原点,则OAOP=()A.-293B.163C.15D.-156.若直线2x+y-4=0,x+ky-3=0与两坐标轴围成的四边形有外接圆,则此四边形的面积为()A.114B.554C.4120D.57.(2019山东青岛调研,11)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,P为C上一点,PQ垂直l于点Q,M,N分别为PQ,PF的中点,直线MN与x轴相交于点R,若NRF=60,则|FR|等于()A.12B.1C.2D.48.(2019福建宁德质检,8)如图,点F是抛物线C:x2=4y的焦点,点A,B分别在抛物线C和圆x2+(y-1)2=4的实线部分上运动,且AB总是平行于y轴,
4、则AFB周长的取值范围是()A.(3,6)B.(4,6)C.(4,8)D.(6,8)9.(2019黑龙江齐齐哈尔市二模,9)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的左,右焦点分别为F1,F2,过F1作垂直x轴的直线交椭圆E于A,B两点,点A在x轴上方.若|AB|=3,ABF2的内切圆的面积为916,则直线AF2的方程是()A.3x+2y-3=0B.2x+3y-2=0C.4x+3y-4=0D.3x+4y-3=010.已知点A是抛物线x2=4y的对称轴与准线的交点,点B为抛物线的焦点,P在抛物线上且满足|PA|=m|PB|,当m取最大值时,点P恰好在以A,B为焦点的双曲线上,则双曲线的离心率
5、为()A.2+12B.2+1C.5-12D.5-111.(2019四川南充三模,8)已知直线x+y=1与椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)交于P,Q两点,且OPOQ(其中O为坐标原点),若椭圆的离心率e满足33e22,则椭圆长轴的取值范围是()A.5,6B.52,62C.54,32D.52,312.在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若AP=AB+AD,则+的最大值为()A.3B.22C.5D.2二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知直线l过点P(3,2),且与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,当AOB的面积取最小值
6、时,直线l的方程为.14.(2019河北唐山摸底)已知直线l:kx-y-k+2=0与圆C:x2+y2-2y-7=0相交于A,B两点,则|AB|的最小值为.15.已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,准线为l,过点F斜率为3的直线l与抛物线C交于点M(M在x轴的上方),过M作MNl于点N,连接NF交抛物线C于点Q,则|NQ|QF|=.16.(2019四川成都棠湖中学开学考试,16)已知F是椭圆C:x225+y216=1的右焦点,P是椭圆上一点,A0,365,当APF周长最大时,该三角形的面积为.三、解答题(本大题共5小题,共70分)17.(14分)(2019安徽滁州模拟,18)已知圆O:
7、x2+y2=r2(r0)与直线3x-4y+15=0相切.(1)若直线l:y=-2x+5与圆O交于M,N两点,求|MN|;(2)已知A(-9,0),B(-1,0),设P为圆O上任意一点,证明:|PA|PB|为定值.18.(14分)(2019河南洛阳模拟,20)已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率e=33,左、右焦点分别为F1,F2,且F2与抛物线y2=4x的焦点重合.(1)求椭圆的标准方程;(2)若过F1的直线交椭圆于B,D两点,过F2的直线交椭圆于A,C两点,且ACBD,求|AC|+|BD|的最小值.19.(14分)(2019湖南益阳,20)已知抛物线C:x2=2py(p0)的焦点
8、为F,点M(2,m)(m0)在抛物线上,且|MF|=2.(1)求抛物线C的方程;(2)若点P(x0,y0)为抛物线上任意一点,过该点的切线为l0,过点F作切线l0的垂线,垂足为Q,则点Q是否在定直线上,若是,求定直线的方程;若不是,说明理由.20.(14分)(2019江西宜春模拟,20)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为32,点-3,12在椭圆上,A,B分别为椭圆C的上、下顶点,点M(t,2)(t0).(1)求椭圆C的方程;(2)若直线MA,MB与椭圆C的另一交点分别为P,Q,证明:直线PQ过定点.21.(14分)(2019河北衡水模拟,20)已知椭圆C:x2a2+y2b2
9、=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为13,点P在椭圆C上,且PF1F2的面积的最大值为22.(1)求椭圆C的方程;(2)已知直线l:y=kx+2(k0)与椭圆C交于不同的两点M,N,若在x轴上存在点G,使得|GM|=|GN|,求点G的横坐标的取值范围.参考答案单元质检卷九解析几何1.A直线方程即y=-a(x-2),据此可知直线恒过定点M(2,0),当直线lPM时,d有最大值,结合两点之间距离公式可得d的最大值为(2-2)2+(3-0)2=3.故选A.2.A设A(x1,y1),B(x2,y2),根据圆的方程可知C(-1,-2),C为AB的中点,根据双曲线中点差法的结论kAB=b2
10、a2x0y0=21-1-2=1,由点斜式可得直线AB的方程为y=x-1,将直线AB方程与双曲线方程联立x2-y22=1,y=x-1,解得x=-3,y=-4,或x=1,y=0,所以|AB|=42,由圆的直径|AB|=D2+E2-4F=22+42-4m=42,可解得m=-3,故选A.3.C由题设可得x-p22+y2=p2,故圆心在焦点上,故CD=2p,AB=4p,设直线l的方程为x=ty+p2,设A(x1,y1)B(x2,y2)代入y2=2px(p0)得y2-2pty-p2=0,所以y1+y2=2pt,y1y2=-p2,则AB=(1+t2)(4p2t2+4p2)=2p(1+t2)=4p,即1+t2
11、=2,解得t=1.故选C.4.A以经过A,B的直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,则A(-1,0),B(1,0),设P(x,y),|PA|PB|=2,(x+1)2+y2(x-1)2+y2=2,两边平方并整理得x2+y2-6x+1=0,即(x-3)2+y2=8,当点P到AB(x轴)的距离最大时,三角形PAB的面积最大,此时面积为12222=22,故选A.5.D由题得a2+b2=25,b2a=163,a=3,b=4.所以双曲线的方程为x29-y216=1,所以点P的坐标为5,163或5,-163,所以OAOP=(-3,0)5,163=-15.故选D.6.C圆的内接四边形对角
12、互补,因为x轴与y轴垂直,所以2x+y-4=0与x+ky-3=0垂直.所以21+1k=0,解得k=-2,直线2x+y-4=0与坐标轴的交点为(2,0),(0,4),x-2y-3=0与坐标轴的交点为0,-32,(3,0),两直线的交点纵坐标为-25.所以四边形的面积为12332-12125=4120,故选C.7.CM,N分别是PQ,PF的中点,MNFQ,且PQx轴,NRF=60,FQP=60,由抛物线定义知,|PQ|=|PF|,FQP为正三角形,则FMPQQM=p=2,正三角形边长为4,PQ=4,FN=12PF=2,又可得FRN为正三角形,FR=2,故选C.8.B抛物线x2=4y的焦点为(0,1
13、),准线方程为y=-1,圆(y-1)2+x2=4的圆心为(0,1),与抛物线的焦点重合,且半径r=2,|FB|=2,|AF|=yA+1,|AB|=yB-yA,三角形ABF的周长=2+yA+1+yB-yA=yB+3,1yB0,化为a2+b21.则x1+x2=2a2a2+b2,x1x2=a2-a2b2a2+b2.OPOQ,OPOQ=x1x2+y1y2=x1x2+(x1-1)(x2-1)=2x1x2-(x1+x2)+1=0,2a2-a2b2a2+b2-2a2a2+b2+1=0.化简得a2+b2=2a2b2.b2=a22a2-1.椭圆的离心率e满足33e22,13e212,13a2-b2a212,13
14、1-12a2-112,化为54a26,解得52a6.满足0.椭圆长轴的取值范围是5,6.故选A.12.A建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,1),B(0,0),D(2,1).设P(x,y),圆C的半径为r,由|BC|CD|=|BD|r,得r=|BC|CD|BD|=215=255,即圆的方程是(x-2)2+y2=45.易知AP=(x,y-1),AB=(0,-1),AD=(2,0).由AP=AB+AD,得x=2,y-1=-,所以=x2,=1-y,所以+=12x-y+1.设z=12x-y+1,即12x-y+1-z=0.因为点P(x,y)在圆(x-2)2+y2=45上,所以圆心C到直线12x-y+
15、1-z=0的距离dr,即|2-z|14+1255,解得1z3,所以z的最大值是3,即+的最大值是3,故选A.13.2x+3y-12=0方法1:易知直线l的斜率k存在且k0,则直线l的方程为y-2=k(x-3)(k0,b0),将点P(3,2)代入得3a+2b=126ab,即ab24,当且仅当3a=2b,即a=6,b=4时等号成立,又SAOB=12ab,所以当a=6,b=4时AOB的面积最小,此时直线l的方程为x6+y4=1,即2x+3y-12=0.14.26kx-y-k+2=0,化为y-2=k(x-1),直线过定点E(1,2),E(1,2)在圆x2+y2-2y-7=0内,当E是AB中点时,|AB
16、|最小,由x2+y2-2y-7=0得x2+(y-1)2=8,圆心C(0,1),半径22,|AB|=28-|EC|2=28-2=26,故答案为26.15.2由抛物线定义可得MF=MN,又斜率为3的直线l倾斜角为3,MNl,所以NMF=3,即三角形MNF为正三角形,因此NF倾斜角为23,由y2=2px,y=-3(x-p2),解得x=p6或x=3p2(舍),即xQ=p6,|NQ|QF|=p6-(-p2)p2-p6=2.16.1445由x225+y216=1得右焦点F(3,0),左焦点F(-3,0),APF周长|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+2a-|PF|10+(|AF|+|AF|)
17、,当A,P,F共线时APF周长最大,此时直线AF方程为x-3+y365=1,与x225+y216=1联立,解得yP=-125,可得SAPF=12|FF|(yA-yP)=126365+125=1445,故答案为1445.17.(1)解 由题意知,圆心O到直线3x-4y+15=0的距离d=159+16=3,圆O与直线相切,r=d=3,圆O方程为x2+y2=9.圆心O到直线l:y=-2x+5的距离d1=54+1=5,|MN|=29-d12=4.(2)证明 设P(x0,y0),则x02+y02=9,|PA|PB|=(x0+9)2+y02(x0+1)2+y02=x02+18x0+81+y02x02+2x
18、0+1+y02=18x0+902x0+10=3,即|PA|PB|为定值3.18.解 (1)抛物线y2=4x的焦点为(1,0),所以c=1,又因为e=ca=1a=33,所以a=3,所以b2=2,所以椭圆的标准方程为x23+y22=1.(2)(i)当直线BD的斜率k存在且k0时,直线BD的方程为y=k(x+1),代入椭圆方程x23+y22=1,并化简得(3k2+2)x2+6k2x+3k2-6=0.设B(x1,y1),D(x2,y2),则x1+x2=-6k23k2+2,x1x2=3k2-63k2+2,|BD|=1+k2|x1-x2|=(1+k2)(x1+x2)2-4x1x2=43(k2+1)3k2+
19、2.易知AC的斜率为-1k,所以|AC|=43(1k2+1)31k2+2=43(k2+1)2k2+3.所以|AC|+|BD|=43(k2+1)13k2+2+12k2+3=203(k2+1)2(3k2+2)(2k2+3)203(k2+1)2(3k2+2)+(2k2+3)22=203(k2+1)225(k2+1)24=1635.当k2=1,即k=1时,上式取等号,故|AC|+|BD|的最小值为1635.(ii)当直线BD的斜率不存在或等于零时,易得|AC|+|BD|=10331635.综上,|AC|+|BD|的最小值为1635.19.解 (1)由抛物线的定义可知,|MF|=m+p2=2,又M(2,
20、m)在抛物线上,所以2pm=4,由联立解得p=2,m=1,所以抛物线C的方程为x2=4y.(2)当x0=0,即点P为原点时,易知点Q在直线y=0上;当x00,即点P不在原点时,由(1)得,x2=4y,则y=12x,所以在点P处的切线的斜率为12x0,所以在点P处的切线l0的方程为y-y0=12x0(x-x0),又x02=4y0,所以y=12x0x-y0.又过点F与切线l0垂直的方程为y-1=-2x0x,联立方程y=12x0x-y0,y-1=-2x0x,消去x,得y=-14(y-1)x02-y0.(*)因为x02=4y0,所以(*)可化为y=-yy0,即(y0+1)y=0,由y00,可知y=0,
21、即垂足Q必在x轴上.所以点Q必在直线y=0上,综上,点Q必在直线y=0上.20.(1)解 由题意知ca=32,3a2+14b2=1,a2=b2+c2,解得a=2,b=1,c=3,所以椭圆C的方程为x24+y2=1.(2)证明 易知A(0,1),B(0,-1),则直线MA的方程为y=1tx+1,直线MB的方程为y=3tx-1.联立y=1tx+1,x24+y2=1,得4t2+1x2+8tx=0,于是xP=-8tt2+4,yP=t2-4t2+4,同理可得xQ=24tt2+36,yQ=36-t2t2+36,又由点M(t,2)(t0)及椭圆的对称性可知定点在y轴上,设为N(0,n),则直线PN的斜率k1
22、=t2-4t2+4-n-8tt2+4,直线QN的斜率k2=36-t2t2+36-n24tt2+36,令k1=k2,则t2-4t2+4-n-8tt2+4=36-t2t2+36-n24tt2+36,化简得t2-4-n(t2+4)-8t=36-t2-n(t2+36)24t,解得n=12,所以直线PQ过定点0,12.21.解 (1)由已知得ca=13,122cb=22,c2=a2-b2,解得a2=9,b2=8,c2=1,椭圆C的方程为x29+y28=1.(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中点为E(x0,y0),点G(m,0),使得|GM|=|GN|,则GEMN.由y=kx+2,x29+y28=1,消y得(8+9k2)x2+36kx-36=0,由0,得kR.x1+x2=-36k9k2+8,x0=-18k9k2+8,y0=kx0+2=169k2+8.GEMN,kGE=-1k,即169k2+8-0-18k9k2+8-m=-1k,m=-2k9k2+8=-29k+8k.当k0时,9k+8k298=122当且仅当9k=8k,即k=223时,取等号,-212m0;当k0时,9k+8k-122当且仅当9k=8k,即k=-223时,取等号,0m212,点G的横坐标的取值范围为-212,00,212.
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