1、2.2 排序不等式1.了解排序不等式的“探究猜想证明应用”的研究过程.2.初步认识排序不等式的有关知识及简单应用.自学导引设 a1a2an，b1b2bn 为两组实数，c1，c2，cn 为 b1，b2，bn 的任一排列，称 a1b1a2b2anbn 为两个实数组的顺序积之和(简称顺序和)，称 a1bna2bn1anb1 为两个实数组的反序积之和(简称反序和).称 a1c1a2c2ancn 为两个实数组的乱序积之和(简称乱序和).不等式 a1bna2bn1anb1a1c1a2c2ancna1b1a2b2anbn 称为排序原理，又称为排序不等式.等号成立(反序和等于顺序和)a1a2an或 b1b2b
2、n，排序原理可简记作：反序和乱序和顺序和.基础自测1.已知 a，b，cR*，则 a3b3c3 与 a2bb2cc2a 的大小关系是()A.a3b3c3a2bb2cc2aB.a3b3c3a2bb2cc2aC.a3b3c30，a2b2c2，故顺序和为 a3b3c3，则 a2bb2cc2a 为乱序和，由排序不等式定理知 a3b3c3a2bb2cc2a，故选 B.答案 B2.已知 a，b，cR*，则 a2(a2bc)b2(b2ac)c2(c2ab)的正负情况是()A.大于零B.大于等于零C.小于零D.小于等于零解析 不妨设 abc，a2b2c2，abacbc，a2bcb2acc2ab，由排序不等式定理
3、，a2(a2bc)b2(b2ac)c2(c2ab)0.答案 B3.设 a1，a2，a3，an 为正数，那么 Pa1a2an 与 Qa21a2a22a3a2n1ana2na1的大小关系是_.解析 假设 a1a2a3an，则 1an 1an11a 1a1，并且 a21a22a23a2n，Pa1a2a3ana21a1a22a2a23a3a2nan，是反顺和，Q 是乱顺和，由排序不等式定理 PQ.答案 PQ知识点 1 利用排序原理证明不等式【例 1】已知 a，b，c 为正数，求证：b2c2c2a2a2b2abcabc.证明 根据所需证明的不等式中 a，b，c 的“地位”的对称性，不妨设 abc，则1a
4、1b1c，bccaab.由排序原理：顺序和乱序和，得：bca cab abc bcc caa abb.即b2c2c2a2a2b2abcabc，因为 a，b，c 为正数，所以 abc0，abc0，于是b2c2c2a2a2b2abcabc.1.已知 a1a2an，b1b2bn，求证：(a1b1a2b2anbn)1n(a1a2an)(b1b2bn).证明 令 Sa1b1a2b2anbn，则Sa1b2a2b3anb1，Sa1b3a2b4anb2，Sa1bna2b1anbn1将上面 n 个式子相加，并按列求和可得nSa1(b1b2bn)a2(b1b2bn)an(b1b2bn)(a1a2an)(b1b2b
5、n)S1n(a1a2an)(b1b2bn)即(a1b1a2b2anbn)1n(a1a2an)(b1b2bn).【例 2】设 a1，a2，an 是 n 个互不相同的正整数，求证：112131na1a222a332ann2.证明 122232 122 1n2.设 c1，c2，cn 是 a1，a2，an 由小到大的一个排列，即 c1c2c3cn，根据排序原理中，反序和乱序和，得 c1c222c332cnn2a1a222a332ann2，而 c1，c2，cn 分别大于或等于 1，2，n，c1c222c332cnn21 222 332 nn21121n，112131na1a222ann2.2.设 c1，
6、c2，cn 为正数组 a1，a2，an 的某一排列，求证：a1c1a2c2ancnn.证明 不妨设 0a1a2an，则 1a1 1a2 1an.因为1c1，1c2，1cn是 1a1，1a2，1an的一个排序，故由排序原理：反序和乱序和得 a1 1a1a2 1a2an 1ana1 1c1a2 1c2an 1cn.即a1c1a2c2ancnn.知识点 2 利用排序原理求最值【例 3】设 a，b，c 为任意正数，求 abc bca cab的最小值.解 不妨设 abc，则 abacbc，1bc 1ca 1ab，由排序不等式得，abc bca cab bbc cca aababc bca cab cbc
7、 aca bab上述两式相加得：2abc bca cab 3即 abc bca cab32.当且仅当 abc 时，abc bca cab取最小值32.3.设 00，则有 1a1 1a2 1an由切比晓夫不等式，得：a1 1a1a2 1a2an 1anna1a2ann1a1 1a2 1ann，即nna1a2ann1a1 1a2 1ann，a1a2annn1a1 1a2 1an.2.已知 a，b，c 为正数，abc.求证：a5b3c3 b5c3a3 c5a3b31a1b1c.证明 abc0，a3b3c3，a3b3a3c3b3c3，1a3b3 1a3c3 1b3c3，又 a5b5c5，由排序原理得：
8、a5b3c3 b5a3c3 c5a3b3 a5a3b3 b5b3c3 c5a3c3(顺序和乱序和)，即 a5b3c3 b5a3c3 c5a3b3a2b3b2c3c2a3，又a2b2c2，1a3 1b31c3由乱序和反序和得：a2b3b2c3c2a3a2a3b2b3c2c31a1b1c.a5b3c3 b5c3a3 c5a3b31a1b1c.基础达标1.已知 a，b，cR则 a3b3c3 与 a2bb2cc2a 的大小关系是()A.a3b3c3a2bb2cc2aB.a3b3c3a2bb2cc2aC.a3b3c3a2bb2cc2aD.a3b3c3a2bb2cc2a解析 根据排序原理，取两组数 a，b
9、，c；a2，b2，c2，不妨设 abc，所以 a2b2c2.所以 a2ab2bc2ca2bb2cc2a.答案 B2.设 a1，a2，an 都是正数，b1，b2，bn 是 a1，a2，an 的任一排列，则 a1b11 a2b12 anb1n 的最小值是()A.1 B.nC.n2D.无法确定解析 设 a1a2an0.可知 a1n a1n1a11，由排序原理，得 a1b11 a2b12 anb1n a1a11 a2a12 ana1n n.答案 B3.已知 a，b，cR，则 a2(a2bc)b2(b2ac)c2(c2ab)的正负情况是()A.大于零B.大于等于零C.小于零D.小于等于零解析 设 abc
10、0，所以 a3b3c3，根据排序原理，得 a3ab3bc3ca3bb3cc3a.又知 abacbc，a2b2c2，所以 a3bb3cc3aa2bcb2cac2ab0所以 a4b4c4a2bcb2cac2ab.即 a2(a2bc)b2(b2ac)c2(c2ab)0.答案 B4.已知 a，b，c 都是正数，则 abc bca cab_.解析 设 abc0，所以 1bc 1ca 1ab.由排序原理，知abc bca cab bbc cca aba，abc bca cab cbc aca bab，得 abc bca cab32.答案 325.证明切比晓夫不等式中的(2).即，若 a1a2an，而 b1
11、b2bn 或a1a2an 而 b1b2bn，则a1b1a2b2anbnna1a2annb1b2bnn.当且仅当 a1a2an 或 b1b2bn 时等号成立.证明 不妨设 a1a2an，b1b2bn.则由排序原理得：a1b1a2b2anbna1b1a2b2anbna1b1a2b2anbna1b2a2b3anb1a1b1a2b2anbna1b3a2b4an1b1anb2a1b1a2b2anbna1bna2b1anbn1.将上述 n 个式子相加，得：n(a1b1a2b2anbn)(a1a2an)(b1b2bn)上式两边除以 n2，得：a1b1a2b2anbnna1a2annb1b2bnn.等号当且仅
12、当 a1a2an 或 b1b2bn 时成立.6.设 a1，a2，an 为实数，证明：a1a2anna21a22a2nn.证明 不妨设 a1a2an，由切比晓夫不等式得：a1a1a2a2ananna1a2anna1a2ann，即a21a22a2nna1a2ann2，a1a2anna21a22a2nn.综合提高7.设 a1，a2，an 为正数，求证：a21a2a22a3a2n1an a2na1a1a2an.证明 不妨设 a1a2an0，则有 a21a22a2n也有 1a1 1a2BC，则有 abc由排序原理：顺序和乱序和aAbBcCaBbCcAaAbBcCaCbAcBaAbBcCaAbBcC上述三
13、式相加得3(aAbBcC)(ABC)(abc)(abc)aAbBcCabc3.方法二：不妨设 ABC，则有 abc，由切比晓夫不等式aAbBcC3ABC3abc3，即 aAbBcC3(abc)，aAbBcCabc3.9.设 a，b，c 为正数，利用排序不等式证明 a3b3c33abc.证明 不妨设 abc0，a2b2c2，由排序原理：顺序和反序和，得：a3b3a2bb2a，b3c3b2cc2bc3a3a2cc2a三式相加得 2(a3b3c3)a(b2c2)b(c2a2)c(a2b2).又 a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca.所以 2(a3b3c3)6abc，a3b3c33abc.当
14、且仅当 abc 时，等号成立.10.设 a，b，c 是正实数，求证：aabbcc(abc)abc3.证明 不妨设 abc0，则 lg alg blg c.据排序不等式有：alg ablg bclg cblg aclg balg calg ablg bclg cclg aalg bblg calg ablg bclg calg ablg bclg c上述三式相加得：3(alg ablg bclg c)(abc)(lg alg blg c)即 lg(aabbcc)abc3lg(abc)，故 aabbcc(abc)abc3.11.设 xi，yi(i1，2，n)是实数，且 x1x2xn，y1y2yn，
15、而 z1，z2，zn 是 y1，y2，yn 的一个排列.求证：ni1(xiyi)2ni1(xizi)2.证明 要证ni1(xiyi)2ni1(xizi)2只需证ni1y2i 2ni1xiyini1z2i2ni1xizi.因为ni1y2i ni1z2i，只需证ni1xizini1xiyi.而上式左边为乱序和，右边为顺序和.由排序不等式得此不等式成立.故不等式ni1(xiyi)2ni1(xizi)2 成立.12.已知 a，b，c 为正数，且两两不等，求证：2(a3b3c3)a2(bc)b2(ac)c2(ab).证明 不妨设 abc0.则 a2b2c2，abacbc，a2(ab)b2(ac)c2(bc)a2(bc)b2(ac)c2(ab)，即 a3c3a2bb2ab2cc2ba2(bc)b2(ac)c2(ab)，7 又a2b2c2，abc，a2bb2aa3b3，b2cc2bb3c3.即 a2bb2ab2cc2ba2(bc)b2(ac)c2(ab).
