1、期中学业水平检测一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.(2021江苏无锡锡山高级中学高一期末)命题“xR,2x-|x|0”的否定是()A.xR,2x-|x|0B.xR,2x-|x|0C.xR,2x-|x|0D.xR,2x-|x|02.(2021江苏启东高一期末)已知全集U=R,集合P=x|2x2-x-30,Q=x|x0”为假命题,则实数a的取值范围是()A.(-,-80,+)B.(-8,0)C.(-,0D.-8,04.(2021江苏盐城高三一模)函数f(x)=2x53ln|x|在其定义域上的图象大致为()ABCD5.(20
2、21江苏连云港高一期末)甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛,四人在成绩公布前作出如下预测:甲预测说:“我不会获奖,丙获奖.”乙预测说:“甲和丁中有一人获奖.”丙预测说:“甲的猜测是对的.”丁预测说:“获奖者在甲、乙、丙三人中.”成绩公布后表明,四人的预测中有两人的预测与结果相符,另外两人的预测与结果不符,已知有两人获奖,则获奖者可能是()A.甲和乙B.乙和丙C.甲和丙D.乙和丁6.(2021江苏南通高一期中调研)若x0,y0,且2x+1y=1,x+2ym2-2m恒成立,则实数m的取值范围是()A.(-2,4)B.(-,-2)(4,+)C.(-,-4)(2,+)D.(-4,2)7.(2021福建三明
3、高一期末)设函数f(x)的定义域为R,满足f(x-2)=2f(x),且当x-2,0)时,f(x)=-2x(x+2).若对任意xm,+),都有f(x)34,则实数m的取值范围是()A.23,+B.34,+C.12,+D.32,+8.(2021江苏常州高二期中)已知函数f(x)=x-e2+ln exe-x,若fe2 020+f2e2 020+f2 018e2 020+f2 019e2 020=2 0192(a+b),其中b0,则12|a|+|a|b的最小值为()A.34B.54C.2D.22二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5
4、分,有选错的得0分,部分选对的得3分)9.(2021江苏东海高级中学高一期中)图中矩形表示集合U,A,B是U的两个子集,则阴影部分可以表示为()A.(UA)BB.B(AB)C.UA(UB)D.ABA10.(2021江苏泰州高一期末)设函数f(x)=12|x|,下列说法正确的是()A.函数f(x)是偶函数B.函数f(x)是奇函数C.函数f(x)有最大值1D.函数f(x)在(-,0)上单调递减11.(2021湖北五校联考)设a=log26,b=log316,则下列结论正确的是()A.1a1b=1B.ab0C.a+b1212.(2021江苏扬州中学高一期中调研)德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显
5、著,狄利克雷函数就以其名命名,其解析式为D(x)=1,x为有理数,0,x为无理数.关于函数D(x)有以下四个命题,其中真命题有()A.D(x)既不是奇函数也不是偶函数B.rQ,D(x+r)=D(x)C.xR,DD(x)=1D.x,yR,D(x+y)=D(x)+D(y)三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2021上海高一期中)函数y=2-x2+4x,x0,4的取值范围是.14.(2021山东德州高一期末)已知-1,12,-2,若幂函数f(x)=x在(0,+)上单调递增,则f(log216)=.15.(2021河北石家庄一中高一期末)已知函数f(x)为定义在R上的奇函数,且x1
6、,x20,+),都有x2f(x2)-x1f(x1)x2-x10(x1x2),且f(3)=2,则不等式f(x)6x的解集为.16.(2021江苏镇江中学高一期末)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(1-x)+f(1+x)=0,且当0x1时,f(x)=log3(a-x).(1)a=;(2)若对于任意x-1,0,都有fx2-tx-131-log35,则实数t的取值范围为.四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2021江苏宿豫中学高一月考)已知函数f(x)=9x-283x+1+243,g(x)=log2x28log2x2.(1)设集合A=xR|
7、f(x)0,求集合A;(2)当xA时,求g(x)的最大值和最小值.18.(12分)(2021山东高一期末)已知集合A=x|x2-7x+100,B=x|(x-a)(x-a-2)0.(1)若BA,求实数a的取值集合M;(2)若m=log25-log240,n=lg 40+2lg 5,求m,n的值,并从下列所给的三个条件中任选一个,说明它是(1)中aM的什么条件.(请用“充要条件”“充分不必要条件”“必要不充分条件”“既不充分也不必要条件”回答)am,56n;am,53n;a56n,-m.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.19.(12分)(2021江苏江阴高级中学高一期中)在“基本不等
8、式”应用探究课中,甲和乙探讨了下面两个问题:(1)已知正数x、y满足x+2y=1,求1x+2y的最小值.甲给出的解法:由x+2y=122xy,得xy122,则1x+2y22xy=22xy8,所以1x+2y的最小值为8.而乙却说这是错的.请你指出其中的问题,并给出正确解法;(2)结合上述问题(1)的结构形式,试求函数y=1x+31-2x0x12的最小值.20.(12分)(2021江苏马塘中学高一期中)某汽车制造企业计划在2021年引进新能源汽车生产设备,通过市场分析,全年需投入固定成本2 500万元,每生产x(百辆),需另投入成本C(x)(万元),且C(x)=10x2+100x,0x40,501
9、x+10 000x-4 500,x40,每辆新能源汽车的售价为5万元,并且全年内生产的汽车当年全部销售完.(1)求2021年的年利润L(万元)关于年产量x(百辆)的函数关系式;(2)2021年年产量为多少百辆时,该企业所获利润最大?并求出最大利润.21.(12分)(2021浙江杭州第二中学高一期末)已知aR,设函数f(x)=x|x-a|-x.(1)当a=1时,解关于x的不等式log3 f(x)1;(2)若a1,对于任意的x0,t,不等式-1f(x)6恒成立,求实数t的最大值及此时a的值.22.(12分)(2021江苏侯集中学高一阶段检测)已知函数f(x)=lg2x-1+a,aR.(1)若函数f
10、(x)是奇函数,求实数a的值;(2)在(1)的条件下,判断函数y=f(x)与函数y=lg(2x)的图象的公共点的个数,并说明理由;(3)当x1,2)时,函数y=f(2x)的图象始终在函数y=lg(4-2x)的图象上方,求实数a的取值范围.答案期中学业水平检测1.C因为全称量词命题的否定是存在量词命题,所以命题“xR,2x-|x|0”的否定是“xR,2x-|x|0”.故选C.2.A由2x2-x-30,得(x+1)(2x-3)0,解得-1x32,所以P=x|-1x32.因为全集U=R,Q=x|x0”为假命题,命题“xR,ax2-ax-20”为真命题.当a=0时,-20成立.当a0时,a0,(-a)
11、2+8a0,解得-8a1时,f(x)0.故选D.5.C甲预测说:我不会获奖,丙获奖,而丙预测说:甲的猜测是对的,甲和丙的说法要么同时与结果相符,要么同时与结果不符.若甲和丙的说法同时与结果相符,则丁的说法也对,这与“四人的预测中有两人的预测与结果相符,另外两人的预测与结果不符”相矛盾,故错误;若甲和丙的说法与结果不符,则乙、丁的预测成立,所以甲获奖,丁不获奖;丙获奖,乙不获奖.故选C.6.A不等式x+2ym2-2m恒成立,即m2-2m(x+2y)min,x+2y=(x+2y)2x+1y=4+xy+4yx4+2xy4yx=8,当且仅当xy=4yx,即x=2y时,等号成立,与条件2x+1y=1联立
12、,解得x=4,y=2,所以x+2y的最小值是8,即m2-2m8,解得-2m0.当a0时,12|a|+|a|b=12a+2-bb=12a+2b-1=12a+2ba+b2-1=1252+b2a+2ab-11252+2b2a2ab-1=54,当且仅当b2a=2ab,即a=23,b=43时,等号成立.当a0时,12|a|+|a|b=1-2a+-ab=1-2a+b-2b=1-2a+-2b+1=121-2a+-2b(a+b)+1=12-52+b-2a+-2ab+112-52+2b-2a-2ab+1=34,当且仅当b-2a=-2ab,即a=-2,b=4时,等号成立.因为3454,所以12|a|+|a|b的最
13、小值为34.故选A.9.ABD由图知:当U为全集时,表示集合A的补集与集合B的交集,当B为全集时,表示AB的补集,当AB为全集时,表示A的补集,故选ABD.10.AC因为函数的定义域为R,且f(-x)=12|-x|=f(x),所以f(x)是偶函数,A正确,B错误;令t=|x|,则t0,所以y=12t(t0),所以0y1,C正确;当x0,b=-log360,所以ab0,所以B正确;对于C,因为1a+1b=log62-log63=log6230,所以a+bab0,而ab0,所以C错误;对于D,由1a=1+1b得1a2+1b2=1+1b2+1b2=2b2+2b+1=21b+122+12.因为log6
14、3log66=12,所以1b12,所以D正确.故选ABD.12.BCD对于A,当x为有理数时,-x为有理数,则D(-x)=D(x)=1;当x为无理数时,-x为无理数,则D(-x)=D(x)=0.故当xR时,D(-x)=D(x),函数为偶函数.所以A不是真命题.对于B,rQ,当x是有理数时,x+r是有理数,D(x+r)=D(x)=1,当x是无理数时,x+r是无理数,D(x+r)=D(x)=0,所以B是真命题.对于C,若自变量x是有理数,则DD(x)=D(1)=1,若自变量x是无理数,则DD(x)=D(0)=1,所以C是真命题.对于D,x=2是无理数,y=3是无理数,则x+y=2+3是无理数,则D
15、(x+y)=0,D(x)+D(y)=0+0=0,满足D(x+y)=D(x)+D(y),所以D是真命题.故选BCD.13.答案0,2解析y=2-x2+4x=2-(x-2)2+4,x0,4,而0-(x-2)2+44,x0,4,0-x2+4x2,2-22-x2+4x0+2,即0y2.14.答案2解析f(x)=x在(0,+)上单调递增,0.-1,12,-2,=12,f(x)=x12.f(log216)=(log216)12=412=2.15.答案(-3,0)(3,+)解析令g(x)=xf(x),则x1,x20,+),都有g(x2)-g(x1)x2-x10(x1x2),所以g(x)是0,+)上的增函数.
16、因为函数f(x)为定义在R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以g(-x)=-xf(-x)=xf(x)=g(x),所以g(x)是定义在R上的偶函数,所以g(x)在(-,0)上是减函数.当x0时,f(x)6x化为xf(x)6=3f(3),即g(x)g(3),因为g(x)是0,+)上的增函数,所以x3.当x6x化为xf(x)6,因为f(x)为奇函数,且f(3)=2,所以f(-3)=-f(3)=-2,所以xf(x)6化为g(x)-3f(-3)=g(-3),因为g(x)在(-,0)上是减函数,所以-3x6x的解集为(-3,0)(3,+).16.答案(1)2;(2)-73,1解析(1)由于函数y=
17、f(x)满足f(1-x)+f(1+x)=0,将x=0代入f(1-x)+f(1+x)=0可得2f(1)=0,f(1)=0.当0x1时,f(x)=log3(a-x),则f(1)=log3(a-1)=0,解得a=2.(2)由于函数y=f(x)为R上的偶函数,且满足f(1-x)+f(1+x)=0,f(x-1)+f(x+1)=0,可得f(x+1)+f(x+3)=0,f(x-1)=f(x+3),可得出f(x)=f(x+4),函数y=f(x)是周期为4的周期函数.当x-1,0时,-x0,1,则f(x)=f(-x)=log3(2+x),当x-1,1时,f(x)=log3(2-|x|),f(1+x)+f(1-x
18、)=0,f(2-x)+f(x)=0,可得f(x)=-f(2-x),当x1,3时,2-x-1,1,则f(x)=-f(2-x)=-log3(2-|2-x|).1-log35=log335=-log353=-f13=-f1-23=f1+23=f53,由于函数y=f(x)为R上的偶函数,f-53=f53,作出函数y=f(x)的图象如下图所示:由fx2-tx-131-log35,可得-53+4kx2-tx-1353+4k(kZ),对任意的x-1,0恒成立,当x=0时,则有-53+4k-1353+4k(kZ),k=0,即-53x2-tx-1353对任意的x-1,0恒成立.当x-1,0)时,由x2-tx-1
19、3-53可得tx+43xmax,函数f(x)=x+43x在区间-1,0)上单调递减,f(x)max=-1-43=-73,即t-73;由x2-tx-1353可得tx-2xmin,由于函数g(x)=x-2x在区间-1,0)上单调递增,则g(x)min=g(-1)=-1+2=1,t1.综上所述,实数t的取值范围是-73,1.17.解析(1)由f(x)=9x-283x+1+2430,得(3x)2-843x+2430,即(3x-3)(3x-81)0,33x81,(2分)解得1x4.A=xR|1x4.(4分)(2)g(x)=log2x28log2x2=(2log2x-3)12log2x-1=(log2x)
20、2-72log2x+3=log2x-742-116.(7分)x1,4,log2x0,2,当log2x=0时,g(x)max=3,当log2x=74时,g(x)min=-116.故g(x)的最大值为3,最小值为-116.(10分)18.解析(1)易得A=x|x2-7x+100=x|2x5,B=x|(x-a)(x-a-2)0=x|ax0,n0,可将“求函数f(x)=1x+31-2x的最小值”转化为“已知2m+n=1,求1m+3nmin”.(6分)因为1m+3n=1m+3n(2m+n)=5+nm+6mn5+2nm6mn=5+26,(8分)当且仅当m=12+6,n=62+6时,等号成立,(10分)所以
21、当x=12+6时,函数f(x)=1x+31-2x取得最小值,最小值为5+26.(12分)20.解析(1)当0x40时,L(x)=500x-10x2-100x-2 500=-10x2+400x-2 500;当x40时,L(x)=500x-501x-10 000x+4 500-2 500=2 000-x+10 000x,L(x)=-10x2+400x-2 500,0x40,2 000-x+10 000x,x40.(4分)(2)当0x1 500,当x=100,即2021年年产量为100百辆时,该企业所获利润最大,且最大利润为1 800万元.(12分)21.解析(1)当a=1时,f(x)=x|x-1|
22、-x=x2-2x,x1,-x2,x1.(1分)由log3 f(x)1可得0f(x)3.(2分)当x1时,0x2-2x0,(x-3)(x+1)0,解得2x3;当x0,无解.所以不等式log3 f(x)1的解集为x|2x3.(5分)(2)f(x)=x|x-a|-x=-x2+(a-1)x,xa,x2-(a+1)x,xa.当a-1时,aa-12a+120,f(x)在0,t上单调递增,所以f(x)min=f(0)=0,f(x)max=f(t)=t2-(a+1)t.由题意得f(x)max6,即t2-(a+1)t6,解得0ta+1+(a+1)2+242.令m=-(a+1),则m0,h(m)=m2+24-m2
23、=12m2+24+m,其在0,+)上单调递减,所以h(m)max=h(0)=6,所以当a=-1时,tmax=6.(7分)当-1a0时,a-12a0a+12,f(x)在0,a+12上单调递减,在a+12,+上单调递增,所以f(x)min=fa+12=-(a+1)24-14,0,f(x)max=f(t)=t2-(a+1)t.由题意得f(x)max6,即t2-(a+1)t6,解得0ta+1+(a+1)2+242.令n=a+1,则0n1,h(n)=n+n2+242,其在(0,1上单调递增,所以h(n)max=h(1)=3,所以当a=0时,tmax=3.(9分)当0a1时,a-120aa+12,f(x)
24、在0,a和a,a+12上单调递减,在a+12,+上单调递增,所以f(x)min=fa+12=-(a+1)24-1,-14,f(x)max=f(t)=t2-(a+1)t.由题意得f(x)max6,即t2-(a+1)t6,解得0ta+1+(a+1)2+242.令s=a+1,则10得x1,所以函数f(x)的定义域D=(-,-1)(1,+).由题意,要求方程lgx+1x-1=lg(2x)解的个数,即求方程2x-2x-1-1=0在定义域D上的解的个数.(4分)令F(x)=2x-2x-1-1,显然F(x)在区间(-,-1)和(1,+)上均单调递增,又F(-2)=2-2-2-3-1=-1120,(5分)且F
25、32=232-212-1=22-50,(6分)所以函数F(x)在区间-2,-32和32,2上各有一个零点,即方程2x-2x-1-1=0在定义域D上有2个解,所以函数y=f(x)与函数y=lg(2x)的图象有2个公共点.(7分)(3)要使x1,2)时,函数y=f(2x)的图象始终在函数y=lg(4-2x)的图象的上方,必须使22x-1+a4-2x,即22x+(a-5)2x+6-a0在x1,2)上恒成立.(8分)令t=2x,x1,2),则t2,4),得t2+(a-5)t+6-a0在t2,4)上恒成立,分离参数得a-t2+5t-6t-1=-(t-1)2+3(t-1)-2t-1=-t-1+2t-1+3,(10分)因为t-11,3),所以t-1+2t-122,113,所以-t-1+2t-1+3-23,3-22,所以a3-22,即实数a的取值范围为(3-22,+).(12分)
