1、8.2.2函数的实际应用基础过关练题组一一次函数模型与反比例函数模型1.某气球内充满了一定质量的气体,当温度不变时,气球内气体的气压P(千帕)是气球体积V(立方米)的反比例函数,其图象如图所示,则这个函数的解析式为()A.P=96VB.P=-96VC.P=69VD.P=96V2.(2021陕西西安中学高三二模)某建材商场国庆期间进行促销活动,规定:若顾客购物总金额不超过800元,则不享受任何折扣;若顾客购物总金额超过800元,则超过800元的部分享受一定的折扣优惠,并按下表折扣分别累计计算:可以享受折扣优惠金额折扣率不超过500元的部分5%超过500元的部分10%若某顾客在此商场获得的折扣金额
2、为50元,则此人购物实际所付金额为()A.1 500元B.1 550元C.1 750元D.1 800元3.(2020江苏淮安高一上期中)某人根据经验绘制了2019年春节前后,从1月25日至2月11日自己种植的西红柿的销售量y(千克)随时间x(天)变化的函数图象,如图所示,则此人在1月31日大约卖出了千克西红柿.(结果保留整数)题组二二次函数模型4.(多选)(2021江苏常州高一上期末)某杂志以每册2元的价格发行时,发行量为10万册.经过调查,单册价格每提高0.2元,发行量就减少5 000册.要使该杂志的销售收入不少于22.4万元,则每册杂志的定价可以为()A.2.5元B.3元C.3.2元D.3
3、.5元5.(2021江苏苏州中学高一月考)已知某船舶每小时航行所需费用u(单位:元)与航行速度v(单位:千米/时)的函数关系为u(v)=kv+b,0v0且a1)图象的一部分.根据专家研究,当注意力指数p大于或等于80时,听课效果最佳.(1)试求p=f(t)的函数关系式;(2)一道数学难题,讲解需要22分钟,问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完?请说明理由.题组四函数模型的拟合9.(2021江苏南京三校高一期中)“道高一尺,魔高一丈”出于西游记第五十回“道高一尺魔高丈,性乱情昏错认家.可恨法身无坐位,当时行动念头差.”用来比喻取得一定成就后遇到的障碍会更大或正义终将战胜邪恶.若用下列函
4、数中的一个来表示这句话的含义,则最合适的是()A.y=10x,x0B.y=110x,x0C.y=x+10,x0D.y=x+9,x010.(2020江苏山东烟台高一期末)科技创新在经济发展中的作用日益凸显.某科技公司为实现9 000万元的投资收益目标,准备制订一个激励研发人员的奖励方案:当投资收益达到3 000万元时,按投资收益进行奖励,要求奖金y(单位:万元)随投资收益x(单位:万元)的增加而增加,奖金总额不低于100万元,且奖金总额不超过投资收益的20%.(1)现有三个奖励函数模型:f(x)=0.03x+8,f(x)=0.8x+200,f(x)=100log20x+50,x3 000,9 0
5、00.试分析这三个函数模型是否符合公司要求?(2)利用(1)中符合公司要求的函数模型,要使奖金额达到350万元,公司的投资收益至少要达到多少万元?11.(2020江苏苏州陆慕高级中学高一上期中)某学习小组在暑期社会实践活动中,通过对某商店一种商品销售情况的调查发现:该商品在过去的一个月内(以30天计)的日销售价格P(x)(元)与时间x(天)的函数关系近似满足P(x)=1+kx(k为正常数).该商品的日销售量Q(x)(个)与时间x(天)的部分数据如下表所示:x/天10202530Q(x)/个110120125120已知第10天该商品的日销售收入为121元.(1)求k的值;(2)给出以下四种函数模
6、型:Q(x)=ax+b,Q(x)=a|x-25|+b,Q(x)=abx,Q(x)=alogbx.请你根据上表中的数据,从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量Q(x)与时间x的关系,并求出该函数的解析式;(3)求该商品的日销售收入f(x)(1x30,xN*)(元)的最小值.能力提升练题组一一次函数、二次函数及反比例函数模型1.(2021江苏南通高一期末,)在一种新型流行病疫情防控中,病毒检测是确诊患病与否的有效快捷手段.某医院在成为病毒检测的定点医院并开展检测工作的第n天,每个检测对象平均耗时t(n)(单位:小时)大致关系为t(n)=t0n,n0且a1),它的图象如图所示,给出以下
7、命题:池塘中原有浮草的面积是0.5平方米;第8个月浮草的面积超过60平方米;浮草每月增加的面积都相等;若浮草面积达到10平方米,20平方米,30平方米所经过的时间分别为t1,t2,t3,则2t2t1+t3.其中正确命题的序号为.6.(2020湖南长沙雅礼中学高一期中,)某工厂产生的废气经过过滤后排放,过滤过程中废气的剩余污染物数量P(mg/L)与过滤开始后的时间t(小时)的关系为P=P0e-kt,其中P0为过滤开始时废气的污染物数量,k为常数.如果过滤开始后经过5个小时消除了10%的污染物,试求:(1)过滤开始后经过10个小时还剩百分之几的污染物;(2)污染物减少50%所需要的时间.(参考数据
8、:ln 20.7,ln 31.1,ln 51.6)题组三函数模型的拟合7.()茶文化博大精深,茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明,某种绿茶用85 的水泡制,再等到茶水温度降至60 时饮用,可以产生最佳口感.为分析泡制一杯最佳口感的茶水所需时间,某研究人员每隔1 min测量一次茶水的温度,根据所得数据作出如图所示的散点图.观察散点图的分布情况,下列函数模型可以近似地刻画茶水温度y()随时间x(min)变化规律的是()A.y=mx2+n(m0)B.y=mx+n(m0) C.y=max+n(m0,a0,且a1)D.y=mlogax+n(m0,a0,且a1)8.(2021江苏苏州实验中学高一
9、月考,)环保生活,低碳出行,电动汽车正成为人们购车的热门选择.某型号电动汽车在一段平坦的国道上进行测试,国道限速80 km/h(不含80 km/h).经多次测试,得到该汽车每小时耗电量M(单位:Wh)与速度v(单位:km/h)的下列数据:v0104060M01 3254 4007 200为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系,现有以下三种函数模型供选择:M(v)=140v3+bv2+cv,M(v)=1 00023v+a,M(v)=300logav+b(a0,a1,bR).(1)当0v0,a1,bR).(1)选出你认为最符合实际的函数模型,并求出相应的函数解析式;(2)你认为销售量增加达到
10、多少时,才能使每千件的广告费用最少?答案全解全析8.2.2函数的实际应用基础过关练1.D因为气球内气体的气压是气球体积的反比例函数,所以可设P=kV(k0),由题图可知,点A(1.5,64)在函数图象上,所以64=k1.5,解得k=96,故P=96V.故选D.2.A设顾客在商场购物总金额为x元时,可以获得的折扣金额为y元.易知y=0,0x800,0.05(x-800),8001 300.因为500.05(1 300-800),所以此人购物总金额大于1 300元.令0.1(x-1 300)+25=50,解得x=1 550,故此人购物实际所付金额为1 550-50=1 500(元).故选A.3.答
11、案23解析设f(x)=ax+b(a0,1x10,xN*),将点(1,10),(10,30)代入函数解析式,得a+b=10,10a+b=30,解得a=209,b=709,所以f(x)=209x+709(1x10,xN*).在1月31日,即当x=7时, f(7)=2097+709=210923.故此人在1月31日大约卖出了23千克西红柿.4.BC设每册杂志定价为x(x2)元,则发行量为10-x-20.20.5万册,所以销售收入为10-x-20.20.5x万元.令10-x-20.20.5x22.4,化简得x2-6x+8.960,解得2.8x3.2.故选BC.5.解析(1)将(0,320),(10,6
12、50)代入u(v)=kv+b,得650=10k+b,320=b,解得k=33,b=320.将(10,650)代入u(v)=450+av2,得650=450+a102,解得a=2.所以u(v)=33v+320,0v10,450+2v2,v10.(2)设船舶的航行时间为t(单位:小时),所需费用为z(单位:元),则t=20v,z=ut=660+6 400v,0v10,9 000v+40v,v10.当0v660+640=1 300;当v10时,z=9 000v+40v29 000v40v=29 00040=1 200,当且仅当v=15时,等号成立.综上,船舶的航行速度为15千米/时时,航行所需费用最
13、少.6.A将t=23,x=k02k代入x=k0k(1-e-kt),得k02k=k0k(1-e-23k),化简得12=e-23k,即ln12=-23k,解得k=ln2230.6923=3100.故选A.7.答案-ln54;11解析由题意得(1-80%)P0=P0e4k,即0.2=e4k,所以k=14ln 0.2=-ln54.设经过m小时后能够按规定排放废气,则P0e-ln54m0.25%P0,即-ln54mln 0.25%,所以mln 58ln 20,解得m8ln20ln5=8log520=8(2log52+1)14.88.所以正整数n的最小值为15-4=11.8.信息提取注意力指数p与听课时间
14、t(单位:分钟)之间满足函数关系;当t(0,14时,曲线是开口向下,最高点为(12,82),且过(14,81)的二次函数图象的一部分;当t(14,40时,曲线是函数y=loga(t-5)+83(a0且a1)且过点(14,81)的图象的一部分;注意力指数p大于或等于80时,听课效果最佳.数学建模本题以学生上课注意力集中情况为情境,构建注意力指数p与听课时间t的函数模型,利用待定系数法求解模型,进而解决实际问题.解析(1)当t(0,14时,设p=f(t)=c(t-12)2+82(c0且a1),得a=13.当t(14,40时,p=f(t)=log13(t-5)+83.综上,p=f(t)=-14(t-
15、12)2+82,t(0,14,log13(t-5)+83,t(14,40.(2)当t(0,14时,令-14(t-12)2+8280,得12-22t14;当t(14,40时,令log13(t-5)+8380,得1422,老师能够经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完.9.A因为一丈等于十尺,所以“道高一尺,魔高一丈”更适合用y=10x,x0来表示.故选A.10.解析(1)由题意得,符合公司要求的函数f(x)在3 000,9 000上为增函数,x3 000,9 000,恒有f(x)100,且f(x)x5.对于函数f(x)=0.03x+8,当x=3 000时,f(3 000)=98100,因为f(x)
16、f(9 000)=100log209 000+50100log20160 000+50=450,而x53 0005=600,所以当x3 000,9 000时,f(x)maxx5min,所以f(x)x5恒成立.所以f(x)=100log20x+50,x3 000,9 000为满足条件的函数模型.(2)令100log20x+50350,得log20x3,所以x8 000.所以公司的投资收益至少要达到8 000万元.11.解析(1)由题意得P(10)Q(10)=1+k10110=121,解得k=1.(2)由题表中的数据知,当时间变化时,该商品的日销售量有增有减,并不单调,而,中的函数均为单调函数,故
17、只能选,即Q(x)=a|x-25|+b.由题表可得Q(10)=110,Q(20)=120,即15a+b=110,5a+b=120,解得a=-1,b=125,故Q(x)=125-|x-25|(1x30,xN*).(3)由(2)知Q(x)=125-|x-25|=100+x,1x25,xN*,150-x,25x30,xN*,f(x)=P(x)Q(x)=x+100x+101,1x25,xN*,150x-x+149,25x30,xN*.当1x16,解得t0=64.将t0=64代入t0N0=8可得N0=64.所以t(n)=64n,n0,所以y1=(10-m)x-20为增函数,又0x200且xN,所以当x=
18、200时,生产A产品有最大利润,最大利润为(10-m)200-20=1 980-200m(万美元).y2=-0.05(x-100)2+460,0x120且xN,所以当x=100时,生产B产品有最大利润,最大利润为460万美元.(y1)max-(y2)max=(1 980-200m)-460=1 520-200m.令1 520-200m0,得6m7.6;令1 520-200m=0,得m=7.6;令1 520-200m0,得7.6m8.所以当6m7.6时,投资生产A产品200件获得最大年利润;当7.6m8时,投资生产B产品100件获得最大年利润;当m=7.6时,投资生产A产品200件和投资B产品1
19、00件都可获得最大年利润,且最大年利润一样.3.C设B同学大喊一声的最大声强为m,喷出的泉水高度为x米,则A同学大喊一声的最大声强为10m,喷出的泉水高度为50米.由题意得10lg10mm0=250,10lgmm0=2x,即lg10+lgmm0=10,lgmm0=0.2x,所以0.2x=9,所以x=45.故选C.4.答案8解析由题意得n23log24 200=23log24+log21 000+log22120=232+3log210+log22120.因为log210=1lg210.3,所以n8+23log22120.又0log221200且a1)的图象经过点(2,2),所以2=a2-1 ,
20、解得a=2,所以浮草蔓延后的面积y(平方米)与时间t(月)之间的函数关系式是y=2t-1.当t=0时,y=12,故正确.当t=8时,y=28-1=27=12860,故正确.当t=1时,y=1,增加0.5;当t=2时,y=2,增加1,故每月增加的面积不相等,故错误.令2t1-1=10,解得t1=log210+1,同理,t2=log220+1,t3=log230+1,所以2t2=2log220+2=log2400+2t1+t3=log2300+2,故正确.6.解析(1)由题意得(1-10%)P0=P0e-5k,解得k=-15ln 0.9,P=P0e(15ln0.9)t.当t=10时,P=P0e(1
21、5ln0.9)10=P0eln 0.81=81%P0,过滤开始后经过10个小时还剩81%的污染物.(2)当P=50%P0时,有50%P0=P0e(15ln0.9)t,解得t=ln0.515ln0.9=5ln 12ln 910=5-ln2ln9-ln10=5ln2ln2+ln5-2ln335.污染物减少50%所需要的时间约为35个小时.7.C选项A中函数的图象是以y轴为对称轴,开口向上的抛物线,与散点图不符;选项B中函数的图象是直线,与散点图不符;选项D中,当x0时,函数图象无限接近y轴,与散点图不符.故选C.8.解析(1)对于M(v)=300logav+b(a0,a1,bR),当v=0时,无意
22、义,不符合题意;对于M(v)=1 00023v+a,其为减函数,与M(40)M(60)矛盾.故应选择M(v)=140v3+bv2+cv.由题表得140103+b102+c10=1 325,140403+b402+c40=4 400,解得b=-2,c=150.所以当0v80时,M(v)=140v3-2v2+150v.(2)设该汽车在国道上行驶所耗电量为f(v),则f(v)=200vM(v)=200v140v3-2v2+150v=5(v2-80v+6 000)=5(v-40)2+22 000,因为0v0,a1,bR),则在x=0处没有意义.所以选择H(x)=ax3+bx2+cx是最合适的模型.将(
23、1,0.452),(2,0.816),(4,1.328)代入,可得a+b+c=0.452,8a+4b+2c=0.816,64a+16b+4c=1.328,即a+b+c=0.452,4a+2b+c=0.408,16a+4b+c=0.332,解得a=0.002,b=-0.05,c=0.5,故H(x)=0.002x3-0.05x2+0.5x(0x16).(2)设每千件的广告费用为W万元,则W=0.002x3-0.05x2+0.5xx=0.002x2-0.05x+0.5,其图象开口向上,对称轴为直线x=-0.0520.002=12.5,所以当x=12.5,W最小,为0.00212.52-0.0512.5+0.5=0.187 5.所以销售量增加达到12.5千件时,才能使每千件的广告费用最少.