1、第8章函数应用8.1二分法与求方程近似解8.1.1函数的零点基础过关练题组一函数的零点与方程的根1.(2020广东珠海高三上期末)已知函数f(x)=x2+bx+c,b,cR,则“c1的零点为.题组二函数零点(方程的根)所在的区间5.(2021江苏泰州高一期末)函数f(x)=ex+x-2(其中e=2.718 28)的零点所在的区间是()A.0,12B.12,1C.1,32D.32,26.(2021江苏宿迁高一期末)函数f(x)=lg(2x)+x-1的零点所在区间为()A.0,12B.12,1C.1,32D.32,27.(2021江苏无锡锡山高级中学高一期末)高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者
2、之一,享有“数学王子”的称号.设xR,用x表示不超过x的最大整数,y=x被称为“高斯函数”,例如2.1=2,3=3,-1.5=-2.设x0为函数f(x)=log2x-3x-1的零点,则x0=()A.2B.3C.4D.5题组三确定函数的零点个数8.已知函数f(x)的图象是连续不断的,有如下x, f(x)的对应值表:x123456f(x)1510-76-4-5则函数f(x)在区间1,6上的零点至少有()A.2个B.3个C.4个D.5个9.(2019江苏如皋中学高一上期中)已知符号函数sgn x=1,x0,0,x=0,-1,x0,-x2-4x,x0,若函数g(x)=f(x)-m有四个零点,则实数m可
3、取()A.-1B.1C.3D.513.(2021江苏海门第一中学高一期末)函数f(x)=x2-cos x在区间(k,k+1)上存在零点,其中kZ,则k的值为()A.-2B.-2或-1C.-1D.-1或014.已知函数f(x)=x2-bx+3.(1)若f(0)=f(4),求函数f(x)的零点;(2)若函数f(x)的一个零点大于1,另一个零点小于1,求实数b的取值范围.能力提升练题组一函数零点的个数及零点的应用1.()已知函数f(x)在定义域(-,0),(0,+)上的图象是不间断的,若f(x)是偶函数,且在(0,+)上是减函数, f(2)=0,则函数f(x)的零点()A.有一个B.有两个C.至少有
4、两个D.无法判断2.(2021江苏淮安高一期末,)函数f(x)=x+x3,g(x)=x+3x,h(x)=x+log3x的零点分别是a,b,c,则它们的大小关系为()A.abcB.acbC.cabD.cba3.()已知函数f(x)=2-x,x1,x2,x1,若存在实数a,使得f(a)=f(f(a),则a的个数为()A.2B.3C.4D.54.(2021安徽合肥十中高一上期末,)已知函数f(x)=3-4|x-1|-1|,则函数y=f(x)-lg|x|的零点个数为()A.2B.3C.4D.55.(2020江苏南京外国语学校高一期中,)已知定义在-2,2上的函数y=f(x)和y=g(x),其图象如图所
5、示.给出下列四个命题:方程fg(x)=0有且仅有6个根;方程ff(x)=0有且仅有5个根;方程gg(x)=0有且仅有3个根;方程gf(x)=0有且仅有4个根,其中正确命题的序号为()A.B.C.D.题组二根据零点(方程根)情况求参数值或范围6.()若函数f(x)=(2ax-1)2-loga(ax+2)在区间0,1a上恰有一个零点,则实数a的取值范围是()A.13,12B.3,+)C.2,3D.2,3)7.(多选)(2020山东临沂罗庄高一上期中,)若关于x的方程ax2-|x|+a=0有4个不同的实数解,则实数a的值可能是()A.12B.13C.14D.168.(2020河北石家庄辛集中学高三模
6、拟,)对于函数f(x)和g(x),设xR|f(x)=0,xR|g(x)=0,若存在、,使得|-|1,则称f(x)与g(x)互为“零点关联函数”.若函数f(x)=ex-1+x-2与g(x)=x2-ax-a+3互为“零点关联函数”,则实数a的取值范围为()A.73,3B.2,73C.2,3D.2,49.(2021江苏苏州实验中学高一月考,)已知函数f(x)=4x+a2x.(1)若f(x)为偶函数,求a的值;(2)若函数g(x)=f(x)-(a+1)在-1,1上有2个不同的零点,求实数a的取值范围.10.(2021江苏丹阳高级中学高一期末,)已知函数f(x)=lgmxx+1+1(m为常数且m0)为奇
7、函数.(1)求m的值;(2)设函数g(x)=f(x)-lg(4x+a-4),若函数g(x)有零点,求实数a的取值范围.答案全解全析第8章函数应用8.1二分法与求方程近似解8.1.1函数的零点基础过关练1.A若c0,此时函数f(x)有零点,所以“c0,取b=2,c=1,则f(x)=x2+2x+1=(x+1)2,此时函数f(x)有零点,所以“函数f(x)有零点”/“c0”.故“c0,不存在零点,故A不符合题意;对于B,函数f(x)=x2存在零点x=0,但当x0,当x0时,f(x)0,不是变号零点,故B不符合题意;对于C,函数f(x)=log3x存在零点x=1,且当0x1时,f(x)1时,f(x)0
8、,故C符合题意;对于D,函数f(x)=3x不存在零点,故D不符合题意.故选C.3.答案1,10解析令(lg x)2-lg x=0,得lg x(lg x-1)=0,lg x=0或lg x=1,x=1或x=10.4.答案1解析当x1时,令2x-2=0,解得x=1;当x1时,令2+log2x=0,解得x=14(舍去),所以函数f(x)存在零点,且零点为1.5.A易知函数f(x)为R上的增函数,且图象是不间断的.因为f(0)=-10,所以由函数零点存在定理可知,函数f(x)=ex+x-2的零点所在的区间是0,12.故选A.6.B易知f(x)=lg(2x)+x-1在(0,+)上单调递增,且图象是不间断的
9、.因为f12=lg 1+12-1=-120,f12f(1)0,所以由函数零点存在定理可知函数f(x)=lg(2x)+x-1的零点所在区间为12,1.故选B.7.B易知f(x)=log2x-3x-1在(0,+)上单调递增,且图象是不间断的.因为f(3)=log23-20,所以由函数零点存在定理可知x0(3,4),所以x0=3.故选B.8.B由题表可知f(2)f(3)0,f(3)f(4)0,f(4)f(5)0,即x1时,f(x)=1-ln x,存在零点,零点为e;当ln x=0,即x=1时,f(x)=0,即1是f(x)的零点;当ln x0,即0x0),y=ln x(x0)的图象,如图所示.由图可知
10、,函数f(x)在定义域内的零点个数为2.11.证明设函数f(x)=3x-2-xx+1=3x+1-3x+1.因为y=3x+1与y=-3x+1在(0,1)内均为增函数,所以函数f(x)在(0,1)内是增函数,且图象是不间断的.又f(0)=30-2=-10,f(0)f(1)0,f(-1)=1-cos 10,且函数f(x)=x2-cos x在(-2,-1)上单调递减,且其图象是连续的,所以f(x)在(-2,-1)上不存在零点;当k=-1时,f(-1)=1-cos 10,f(0)=-cos 0=-10,且f(x)的图象在(-1,0)上是连续的,所以f(x)在(-1,0)上存在零点;当k=0时,f(0)=
11、-cos 0=-10,且f(x)的图象在(0,1)上是连续的,所以f(x)在(0,1)上存在零点.故选D.14.解析(1)因为f(0)=f(4),所以3=16-4b+3,解得b=4,所以f(x)=x2-4x+3.令f(x)=0,即x2-4x+3=0,解得x1=3,x2=1,所以函数f(x)的零点是1和3.(2)要使函数f(x)的一个零点大于1,另一个零点小于1,需满足0,f(1)0,1-b+34.故实数b的取值范围为(4,+).能力提升练1.B因为f(x)在(0,+)上的图象是不间断的,且是减函数, f(2)=0,所以f(x)在(0,+)上有且仅有一个零点,为2.又因为f(x)是偶函数,所以f
12、(x)在(-,0)上有且仅有一个零点,为-2,所以函数f(x)在定义域内有两个零点.2.Cf(x)=x+x3,g(x)=x+3x,h(x)=x+log3x的零点分别为y=x3,y=3x,y=log3x的图象与y=-x的图象的交点的横坐标.在同一平面直角坐标系中作出y=x3,y=3x,y=log3x,y=-x的图象,如图.由图可知cab.故选C.3.C令f(a)=t,则f(t)=t.作出函数y=f(t)与y=t的图象,如图所示.由图可知,f(t)=t有两个根,t=0或t=1.当t=1,即f(a)=1时,若a1,则2-a=1,解得a=1;若a1,则a2=1,解得a=-1(a=1舍去).当t=0,即
13、f(a)=0时,若a1,则2-a=0,解得a=2;若a1,则a2=0,解得a=0.综上所述,满足题意的a共有4个.故选C.4.C易得f(x)=3+4x,x0,3-4x,0x1,4x-5,1x0,f19=19-log373=109-log372,即0a0,g(2)0,0,0a22,即(-a+3)(7-3a)0或-a+30,-3a+70,(-a)2-4(-a+3)0,0a22,所以2a3.故选C.9.解析(1)因为函数f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x),即4-x+a2-x=4x+a2x,整理得(a-1)(4x-1)=0,所以a=1.(2)g(x)=f(x)-(a+1)=4x+a2x-(a+
14、1).令g(x)=0,可得4x+a2x-(a+1)=0,整理得4x-(a+1)2x+a=0,即(2x-a)(2x-1)=0.因为函数g(x)在-1,1上有2个不同的零点,所以x=0或x=log2a(a0),且-1log2a1,log2a0,解得12a1或1a2.所以实数a的取值范围为12,1(1,2.10.解析(1)因为函数f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),即f(-x)+f(x)=0.又f(x)=lgmxx+1+1=lgmx+x+1x+1,f(-x)=lg-mx-x+1+1=lgmx+x-1x-1,所以lgmx+x-1x-1+lgmx+x+1x+1=0,即lg(m+1)2x2-1x2-1=0,所以(m+1)2x2-1x2-1=1,所以(m+1)2=1,又m0,得-1x0.