1、考点规范练49曲线与方程及直线与圆锥曲线考点规范练A册第36页基础巩固组1.若过点(0,1)作直线,使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点,则这样的直线有() A.1条B.2条C.3条D.4条答案:C2.(2015武汉调研)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为()A.x245+y236=1B.x236+y227=1C.x227+y218=1D.x218+y29=1答案:D解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),则x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1,两式作差并化简变形得
2、y1-y2x1-x2=-b2(x1+x2)a2(y1+y2),而y1-y2x1-x2=0-(-1)3-1=12,x1+x2=2,y1+y2=-2,所以a2=2b2,又因为a2-b2=c2=9,于是a2=18,b2=9.故选D.3.(2015辽宁丹东二模)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,点E在C的准线上,且在x轴上方,线段EF的垂直平分线经过C上一点M,且与C的准线交于点N-1,32,则|MF|=()A.5B.6C.10D.5或10答案:A解析:如图,MN与C的准线交于点N-1,32,p=2.抛物线方程为y2=4x,得F(1,0).设E(-1,m)(m0),则EF中点为G0,m2,
3、kEF=-m2.又N-1,32,kNG=m-32,则-m2m-32=-1,解得m=4.kNG=12,则NG所在直线方程为y-32=12(x+1),即x-2y+4=0.联立y2=4x,得M(4,4),|MF|=4+1=5.4.已知椭圆E的中心在坐标原点,离心率为12,E的右焦点与抛物线C:y2=8x的焦点重合,A,B是C的准线与E的两个交点,则|AB|=()A.3B.6C.9D.12答案:B解析:抛物线y2=8x的焦点坐标为(2,0),E的右焦点的坐标为(2,0).设椭圆E的方程为x2a2+y2b2=1(ab0),c=2.ca=12,a=4.b2=a2-c2=12,于是椭圆方程为x216+y21
4、2=1.抛物线的准线方程为x=-2,将其代入椭圆方程可得A(-2,3),B(-2,-3),|AB|=6.5.(2015辽宁锦州一模)已知抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C:y2a2-x2b2=1(a0,b0)渐近线的距离为455,点P是抛物线y2=8x上的一动点,P到双曲线C的上焦点F1(0,c)的距离与到直线x=-2的距离之和的最小值为3,则该双曲线的方程为()A.y22-x23=1B.y2-x24=1C.y24-x2=1D.y23-x22=1导学号92950552答案:C解析:抛物线y2=8x的焦点F(2,0),双曲线C:y2a2-x2b2=1(a0,b0)的一条渐近线的方程为ax-by=
5、0.抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C:y2a2-x2b2=1(a0,b0)渐近线的距离为455,2aa2+b2=455.a=2b.P到双曲线C的上焦点F1(0,c)的距离与到直线x=-2的距离之和的最小值为3,|FF1|=3.c2+4=9.c=5.c2=a2+b2,a=2b,a=2,b=1.双曲线的方程为y24-x2=1.6.已知动点P(x,y)在椭圆C:x225+y216=1上,F为椭圆C的右焦点,若点M满足|MF|=1,且MPMF=0,则|PM|的最小值为()A.3B.3C.125D.1答案:A解析:由题意可得a=5,c=3.又MPMF=0,可知PMF是直角三角形,故|PM|2=|PF|
6、2-|MF|2(a-c)2-1=(5-3)2-1=3.所以|PM|min=3.7.(2015江苏,12)在平面直角坐标系xOy中,P为双曲线x2-y2=1右支上的一个动点.若点P到直线x-y+1=0的距离大于c恒成立,则实数c的最大值为.导学号92950553答案:22解析:直线x-y+1=0与双曲线的渐近线y=x平行,且两平行线间的距离为22.由图形知,双曲线右支上的动点P到直线x-y+1=0的距离的最小值无限趋近于22,要使距离d大于c恒成立,只需c 22即可,故c的最大值为22.8.(2015课标全国,理14)一个圆经过椭圆x216+y24=1的三个顶点,且圆心在x轴的正半轴上,则该圆的
7、标准方程为.答案:x-322+y2=254解析:由条件知圆经过椭圆的三个顶点分别为(4,0),(0,2),(0,-2),设圆心为(a,0)(a0),所以(a-0)2+(0-2)2=4-a,解得a=32,故圆心为32,0,此时半径r=4-32=52,因此该圆的标准方程是x-322+y2=254.9.(2015石家庄高三质检二,理20)已知椭圆C1:x24b2+y2b2=1(b0),抛物线C2:x2=4(y-b).过点F(0,b+1)作x轴的平行线,与抛物线C2在第一象限的交点为G,且该抛物线在点G处的切线经过坐标原点O.(1)求椭圆C1的方程;(2)设直线l:y=kx与椭圆C1相交于C,D两点,
8、其中点C在第一象限,点A在椭圆C1的右顶点,求四边形ACFD面积的最大值及此时l的方程.解:(1)由x2=4(y-b)得y=14x2+b,令y=b+1,得x=2,G点的坐标为(2,b+1),则y=12x,y|x=2=1.过点G的切线方程为y-(b+1)=x-2,即y=x+b-1.令y=0,得x=1-b=0,b=1.椭圆的方程为x24+y2=1.(2)依题意有k0,设C(xC,kxC),由x24+y2=1,y=kx,得(1+4k2)x2-4=0,xC=21+4k2,S四边形ACFD=SCFD+SCDA=12|OF|2xC+12|OA|2kxC=2(1+k)xC=4(1+k)1+4k2=4(1+k
9、)21+4k2.令t=1+k,k=t-1,t(1,+),1t(0,1),则(1+k)21+4k2=151t2-81t+454,当且仅当t=54,k=14时,等号成立.S四边形ACFD25,四边形ACFD面积的最大值为25.此时l的方程为y=14x.导学号9295055410.(2015江苏,18)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为22,且右焦点F到左准线l的距离为3.(1)求椭圆的标准方程;(2)过F的直线与椭圆交于A,B两点,线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P,C,若PC=2AB,求直线AB的方程.解:(1)由题意,得ca=22且c+
10、a2c=3,解得a=2,c=1,则b=1,所以椭圆的标准方程为x22+y2=1.(2)当ABx轴时,AB=2,又CP=3,不合题意.当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),将AB的方程代入椭圆方程,得(1+2k2)x2-4k2x+2(k2-1)=0,则x1,2=2k22(1+k2)1+2k2,C的坐标为2k21+2k2,-k1+2k2,且AB=(x2-x1)2+(y2-y1)2=(1+k2)(x2-x1)2=22(1+k2)1+2k2.若k=0,则线段AB的垂直平分线为y轴,与左准线平行,不合题意.从而k0,故直线PC的方程为y+k1+2k
11、2=-1kx-2k21+2k2,则P点的坐标为-2,5k2+2k(1+2k2),从而PC=2(3k2+1)1+k2|k|(1+2k2).因为PC=2AB,所以2(3k2+1)1+k2|k|(1+2k2)=42(1+k2)1+2k2,解得k=1.此时直线AB方程为y=x-1或y=-x+1.能力提升组11.(2015四川,理10)设直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,与圆(x-5)2+y2=r2(r0)相切于点M,且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是()A.(1,3)B.(1,4)C.(2,3)D.(2,4)导学号92950555答案:D解析:如图所示,设A(x1,
12、y1),B(x2,y2),M(x0,y0),则y12=4x1,y22=4x2,两式相减,得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2).当l的斜率不存在,即x1=x2时,符合条件的直线l必有两条.当l的斜率k存在,即x1x2时,有2y0(y1-y2)=4(x1-x2),即k=2y0.由CMAB,得kCM=y0x0-5=-y02,即x0=3.因为点M在抛物线内部,所以y024x0=12,又x1x2,所以y1+y20,即0y0212.因为点M在圆上,所以(x0-5)2+y02=r2,即r2=y02+4.所以4r216,即2r0,b0)的渐近线与抛物线C2:x2=2py(p0)交于点O,A,B.若
13、OAB的垂心为C2的焦点,则C1的离心率为.导学号92950556答案:32解析:双曲线的渐近线为y=bax.由y=bax,x2=2py,得A2bpa,2b2pa2.由y=-bax,x2=2py,得B-2bpa,2b2pa2.F0,p2为OAB的垂心,kAFkOB=-1.即2b2pa2-p22bpa-0-ba=-1,解得b2a2=54,c2a2=94,即可得e=32.13.已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率e为22,且过点(2,2).(1)求椭圆的标准方程;(2)四边形ABCD的四个顶点都在椭圆上,且对角线AC,BD过原点O,若kACkBD=-b2a2.求证:四边形ABCD的面积
14、为定值.(1)解:由题意e=ca=22,4a2+2b2=1,又a2=b2+c2,解得a2=8,b2=4,故椭圆的标准方程为x28+y24=1.(2)证明:易知直线AB的斜率存在.设直线AB的方程为y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),联立y=kx+m,x2+2y2=8,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0,=(4km)2-4(1+2k2)(2m2-8)=8(8k2-m2+4)0,由根与系数的关系得x1+x2=-4km1+2k2,x1x2=2m2-81+2k2.kACkBD=-b2a2=-12,y1y2x1x2=-12,y1y2=-12x1x2=-122m2-81+2k2=
15、-m2-41+2k2.又y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=k22m2-81+2k2+km-4km1+2k2+m2=m2-8k21+2k2,-m2-41+2k2=m2-8k21+2k2,-(m2-4)=m2-8k2,4k2+2=m2.设原点到直线AB的距离d=|m|1+122,则SAOB=12|AB|d=121+k2|x2-x1|m|1+k2=|m|2(x1+x2)2-4x1x2=|m|2-4km1+2k22-42m2-81+2k2=|m|28m2(1+2k2)2=22,S四边形ABCD=4SAOB=82,即四边形ABCD的面积为定值.导学号9295
16、055714.(2015课标全国,理20)在直角坐标系xOy中,曲线C:y=x24与直线l:y=kx+a(a0)交于M,N两点.(1)当k=0时,分别求C在点M和N处的切线方程;(2)y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有OPM=OPN?说明理由.解:(1)由题设可得M(2a,a),N(-2a,a),或M(-2a,a),N(2a,a).又y=x2,故y=x24在x=2a处的导数值为a,C在点(2a,a)处的切线方程为y-a=a(x-2a),即ax-y-a=0.y=x24在x=-2a处的导数值为-a,C在点(-2a,a)处的切线方程为y-a=-a(x+2a),即ax+y+a=0.故所求切线方程
17、为ax-y-a=0和ax+y+a=0.(2)存在符合题意的点,证明如下:设P(0,b)为符合题意的点,M(x1,y1),N(x2,y2),直线PM,PN的斜率分别为k1,k2.将y=kx+a代入C的方程得x2-4kx-4a=0.故x1+x2=4k,x1x2=-4a.从而k1+k2=y1-bx1+y2-bx2=2kx1x2+(a-b)(x1+x2)x1x2=k(a+b)a.当b=-a时,有k1+k2=0,则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补,故OPM=OPN,所以点P(0,-a)符合题意.导学号9295055815.已知ABP的三个顶点都在抛物线C:x2=4y上,F为抛物线C的焦点,点M为A
18、B的中点,PF=3FM.(1)若|PF|=3,求点M的坐标;(2)求ABP面积的最大值.解:(1)由题意知焦点F(0,1),准线方程为y=-1.设P(x0,y0).由抛物线定义知|PF|=y0+1,得到y0=2,所以P(22,2)或P(-22,2).由PF=3FM,分别得M-223,23或M223,23.(2)设直线AB的方程为y=kx+m,点A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0).由y=kx+m,x2=4y,得x2-4kx-4m=0.于是=16k2+16m0,x1+x2=4k,x1x2=-4m,所以AB中点M的坐标为(2k,2k2+m).由PF=3FM,得(-x0,1-y0)=3(2k,2k2+m-1).所以x0=-6k,y0=4-6k2-3m,由x02=4y0得k2=-15m+415.由0,k20,得-13m43.又因为|AB|=41+k2k2+m,点F(0,1)到直线AB的距离为d=|m-1|1+k2,所以SABP=4SABF=8|m-1|k2+m=16153m3-5m2+m+1.记f(m)=3m3-5m2+m+1-13f43.所以,当m=19时,f(m)取到最大值256243,此时k=5515.所以,ABP面积的最大值为2565135.导学号929505597