1、第七节正弦定理、余弦定理的综合应用最新考纲能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题1仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1)图1图22方向角相对于某正方向的水平角，如南偏东30，北偏西45等3方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为(如图2)4坡度(又称坡比)坡面的垂直高度与水平长度之比一、思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则，的关系为180.()(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为.(
2、)(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系()(4)方位角大小的范围是0,2)，方向角大小的范围一般是.()答案(1)(2)(3)(4)二、教材改编1如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，ACB45，CAB105后，就可以计算出A，B两点的距离为 m.50由正弦定理得，又B30，AB50(m)2.如图，在山脚A测得山顶P的仰角为30，沿倾斜角为15的斜坡向上走a米到B，在B处测得山顶P的仰角为60，则山高h 米a由题图可得PAQ30，BAQ15，PAB中，PAB15，又PBC60，BPA(90)(90
3、)30，PBa，PQPCCQPBsin asin asin 60asin 15a.3.如图所示，D，C，B三点在地面的同一条直线上，DCa，从C，D两点测得A点的仰角分别为60，30，则A点离地面的高度AB .a由已知得DAC30，ADC为等腰三角形，ACa，所以在RtACB中，ABACsinACBa.考点1解三角形中的实际问题利用正、余弦定理解决实际问题的一般步骤(1)分析理解题意，分清已知与未知，画出示意图(2)建模根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在相关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型(3)求解利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形，求得数学模型的解(4)检验检验上述
4、所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解(1)江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45和60，而且两条船与炮台底部连线成30角，则两条船相距 m.(2)如图，高山上原有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC，小李在山脚 B处看索道AC，发现张角ABC120；从B处攀登400米到达D处，回头看索道AC，发现张角ADC150；从D处再攀登800米可到达C处，则索道AC的长为 米(1)10(2)400(1)如图，OMAOtan 4530(m)，ONAOtan 303010(m)，在MON中，由余弦定理得，MN10(m)(2)在AB
5、D中，BD400米，ABD120.因为ADC150，所以ADB30.所以DAB1801203030.由正弦定理，可得，所以，得AD400(米)在ADC中，DC800米，ADC150，由余弦定理得AC2AD2CD22ADCDcosADC(400)280022400800cos 150400213，解得AC400(米)故索道AC的长为400米(1)实际测量中的常见问题(2)三角应用题求解的关键是正确作图(平面图、立体图)，并且条件对应好(仰角，俯角、方向角等)1.一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60的方向上，行驶4 h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15的方
6、向上，这时船与灯塔的距离为 km.30如图，由题意知，BAC30，ACB105，B45，AC60，由正弦定理得，BC30(km)2.如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线CB前往B处救援，则cos 的值为 在ABC中，AB40，AC20，BAC120，由余弦定理得BC2AB2AC22ABACcos 1202 800，得BC20.由正弦定理，得，即sinACBsinBAC.由BAC120，知ACB为锐角，则cosACB.由ACB30，得cos cos(
7、ACB30)cosACBcos 30sinACBsin 30.考点2平面几何中的解三角形问题与平面图形有关的解三角形问题的关键及思路求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系具体解题思路如下：(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果如图，在平面四边形ABCD中，ABC，ABAD，AB1.(1)若AC，求ABC的面积；(2)若ADC，CD4，求sinCAD.解(1)在ABC中，由余弦定理得，AC2AB2BC22
8、ABBCcosABC，即51BC2BC，解得BC，所以ABC的面积SABCABBCsinABC1.(2)设CAD，在ACD中，由正弦定理得，即，在ABC中，BAC，BCA，由正弦定理得，即，两式相除，得，即4sin ，整理得sin 2cos .又因为sin2cos21，所以sin ，即sinCAD.做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题(2019湖南衡阳第三次联考)如图，在平面四边形ABCD中，0DAB，AD2，AB3，ABD的面积为，ABBC.(1)求sinABD的值；(2)若BCD，求B
9、C的长解(1)因为ABD的面积SADABsinDAB23sinDAB，所以sinDAB.又0DAB，所以DAB，所以cosDABcos .由余弦定理得BD，由正弦定理得sinABD.(2)因为ABBC，所以ABC，sinDBCsincosABD.在BCD中，由正弦定理可得CD.由余弦定理DC2BC22DCBCcosDCBBD2，可得3BC24BC50，解得BC或BC(舍去)故BC的长为.考点3与三角形有关的最值(范围)问题解三角形问题中，求解某个量(式子)的最值(范围)的基本思路为：要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将
10、原问题转化为求函数的值域问题这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大(1)(2019安徽六安模拟)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，b4，则ABC的面积的最大值为()A4B2C2D.(2)(2019福建漳州二模)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3acos Abcos Cccos B，bc3，则a的最小值为()A1 B. C2 D3(1)A(2)B(1)在ABC中，(2ac)cos Bbcos C，(2sin Asin C)cos Bsin Bcos C，2sin Acos Bsi
11、n Ccos Bsin Bcos Csin(BC)sin A，cos B，即B，由余弦定理可得16a2c22accos Ba2c2ac2acac，ac16，当且仅当ac时取等号，ABC的面积Sacsin Bac4.故选A.(2)在ABC中，3acos Abcos Cccos B，3sin Acos Asin Bcos Csin Ccos Bsin(BC)sin A，即3sin Acos Asin A，又A(0，)，sin A0，cos A.bc3，两边平方可得b2c22bc9，由b2c22bc，可得92bc2bc4bc，解得bc，当且仅当bc时等号成立，由a2b2c22bccos A，可得a2
12、b2c2bc(bc)293，当且仅当bc时等号成立，a的最小值为.故选B.求解三角形中的最值、范围问题的两个注意点(1)涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化(2)注意题目中的隐含条件，如本例中锐角三角形的条件，又如ABC，0A，bcabc，三角形中大边对大角等1.在钝角ABC中 ，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B为钝角，若acos Absin A，则sin Asin C的最大值为()A.B.C1 D.Bacos Absin A，由正弦定理可得，sin Acos Asin Bsin A，sin A0，cos
13、Asin B，又B为钝角，BA，sin Asin Csin Asin(AB)sin Acos 2Asin A12sin2A2，sin Asin C的最大值为.2在ABC中，b，B60.(1)求ABC周长l的范围；(2)求ABC面积最大值解(1)lac，b23a2c22accos 60a2c2ac，(ac)23ac3，(ac)233ac32，ac2，当仅仅当ac时，取“”，又ac，2l3.(2)b23a2c2ac2acac，ac3，当且仅当ac时，取“”，SABCacsin B3sin 60，ABC面积最大值为.教师备选例题设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，abtan A，且B为钝角(1)证明：BA；(2)求sin Asin C的取值范围解(1)证明：由abtan A及正弦定理，得，所以sin Bcos A，即sinBsin .因为B为钝角，所以A为锐角，所以A，则BA，即BA.(2)由(1)知，C(AB)2A0，所以A.于是sin Asin Csin Asinsin Acos 2A2sin2Asin A122.因为0A，所以0sin A，因此22.由此可知sin Asin C的取值范围是.