1、2.5.2圆与圆的位置关系基础过关练题组一圆与圆的位置关系 1.(2021福建武平一中高二上第一次过关考试)圆O1:x2+y2-4x-6y+12=0与圆O2:x2+y2-8x-6y+16=0的位置关系是()A.内切B.外离C.内含D.相交2.已知点M在圆C1:(x+3)2+(y-1)2=4上,点N在圆C2:(x-1)2+(y+2)2=4上,则|MN|的最大值是()A.5B.7C.9D.113.(2021江西上高二中高二上月考)圆C1:(x+1)2+(y-1)2=4与圆C2:(x-3)2+(y-4)2=25的公切线有()A.1条B.2条C.3条D.4条 4.已知圆C1:x2+y2-m=0(m0)
2、,圆C2:x2+y2+6x-8y-11=0,若圆C1与圆C2有公共点,则实数m的取值范围是()A.m121 C.1m121 D.1m0,且MN=N,则r的取值范围是()A.(0,2-1)B.(0,1C.(0,2-2D.(0,29.已知圆C1:(x+a)2+(y-2)2=1与圆C2:(x-b)2+(y-2)2=4相外切,a,b为正实数,则ab的最大值为 ()A.23 B.94 C.32 D.6210.设两圆C1,C2都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆圆心的距离|C1C2|等于()A.4 B.42 C.8 D.8211.(2021江苏南京金陵中学高二上月考)两圆相交于A(1,3),B(m
3、,-1)两点,若两圆的圆心均在直线x-y+c=0上,则m+c的值为.12.已知圆O:x2+y2=1,点P(3,4),以OP为直径的圆C与圆O交于A、B两点.(1)PA与OA、PB与OB具有怎样的位置关系?(2)由(1)还可以得到什么结论?你能否将这一结论推广?能力提升练题组一圆与圆的位置关系 1.(2021江西南昌二中高二上月考,)若圆C:x2+y2=5-m与圆E:(x-3)2+(y-4)2=16有三条公切线,则m的值为()A.2 B.3 C.4 D.62.()若圆(x-a)2+(y-a)2=4上总存在两点到原点的距离为1,则实数a的取值范围是()A.-22,00,22B.(-22,-2)(2
4、,22)C.-322,-2222,322D.-,-322(2,+)3.(2021浙江丽水五校共同体高二上阶段性考试,)已知圆C1:x2+(y-a2)2=a4的圆心到直线x-y-2=0的距离为22,则圆C1与圆C2:x2+y2-2x-4y+4=0的位置关系是()A.相交 B.内切 C.外切 D.外离4.(多选)()设r0,圆(x-1)2+(y+3)2=r2与圆x2+y2=16的位置关系不可能是()A.内切 B.相交 C.外离 D.外切5.(多选)()若圆C1:(x-1)2+y2=1与圆C2:x2+y2-8x+8y+m=0相切,则m的值为()A.16 B.7 C.-4 D.-7题组二圆与圆的位置关
5、系的综合运用 6.(2021吉林长春外国语学校高二上月考,)已知圆C1:(x-a)2+y2=1和C2:x2+y2-2by+b2-4=0恰好有三条公切线,则(a-3)2+(b-4)2的最小值为()A.2 B.1+2 C.2-2 D.47.()已知M,N分别是圆C1:x2+y2-4x-4y+7=0,C2:x2+y2-2x=0上的两个动点,P为直线x+y+1=0上的一个动点,则|PM|+|PN|的最小值为()A.2 B.3 C.2 D.38.(多选)()已知两圆方程为x2+y2=16与(x-4)2+(y+3)2=r2(r0),则下列说法正确的是()A.若两圆外切,则r=1B.若两圆公共弦所在的直线方
6、程为8x-6y-37=0,则r=2C.若两圆在交点处的切线互相垂直,则r=3D.若两圆有三条公切线,则r=29.(多选)()已知圆M:x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆N:x2+y2+D2x+E2y+F2=0的圆心不重合,直线l:(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0.下列说法正确的是()A.若两圆相交,则l是两圆的公共弦所在直线B.直线l过线段MN的中点C.过直线l上一点P(在两圆外)作两圆的切线,切点分别为A,B,则|PA|=|PB|D.直线l与直线MN相互垂直10.(2020浙江温州高二上期末,)已知圆C1:x2+y2=1和圆C2:(x-4)2+(y-3)2=r2(r0
7、)外切,则r的值为,若点A(x0,y0)在圆C1上,则x02+y02-4x0的最大值为.11.(2021重庆八中高二上月考,)已知圆C1与y轴相切于点(0,3),圆心在经过点(2,1)与点(-2,-3)的直线l上.(1)求圆C1的方程;(2)若圆C1与圆C2:x2+y2-6x-3y+5=0相交于M、N两点,求两圆的公共弦长.12.(2021安徽阜阳太和一中高二上月考,)已知两个定点A(0,4),B(0,1),动点P满足|PA|=2|PB|,设动点P的轨迹为曲线E,直线l:y=kx-4.(1)求曲线E的方程;(2)若l与曲线E交于不同的C、D两点,且COD=120(O为坐标原点),求直线l的斜率
8、;(3)若k=1,Q是直线l上的动点,过Q作曲线E的两条切线QM、QN,切点为M、N,探究:直线MN是否过定点,若存在定点,请写出坐标;若不存在,请说明理由.答案全解全析基础过关练1.A设圆O1的半径为r1,圆O2的半径为r2.由题意得,O1(2,3),r1=1,O2(4,3),r2=3,|O1O2|=(4-2)2+(3-3)2=2=r2-r1,因此两圆内切,故选A.2.C由题意知圆C1的半径r1=2;圆C2的半径r2=2,所以两圆的圆心距d=1-(-3)2+(-2)-12=5r1+r2=4,所以两圆外离,从而|MN|的最大值为5+2+2=9.故选C.3.B设圆C1的半径为r1,圆C2的半径为
9、r2,依题意得C1(-1,1),r1=2;C2(3,4),r2=5,|C1C2|=42+32=5.|r2-r1|=3|C1C2|0),则圆心为C1(0,0),半径r1=m;圆C2的方程可化为(x+3)2+(y-4)2=36,则圆心为C2(-3,4),半径r2=6.圆C1与圆C2有公共点,|r1-r2|C1C2|r1+r2,即|m-6|(-3-0)2+(4-0)2m+6,|m-6|5,m+65,解得1m121.5.解析(1)证明:圆C1的方程可化为(x-2)2+(y+1)2=5,圆C2的方程可化为x2+(y-1)2=5,C1(2,-1),C2(0,1),两圆的半径均为5,|C1C2|=(0-2)
10、2+(1+1)2=22(0,25),两圆相交.(2)将两圆的方程相减即可得到两圆公共弦所在直线的方程,(x2+y2-4x+2y)-(x2+y2-2y-4)=0,即x-y-1=0.6.解析两圆的标准方程分别为(x-1)2+(y-3)2=11,(x-5)2+(y-6)2=61-m,则圆心分别为(1,3),(5,6),半径分别为11和61-m.(1)当两圆外切时,(5-1)2+(6-3)2=11+61-m,解得m=25+1011.(2)当两圆内切时,(5-1)2+(6-3)2=|61-m-11|,所以m=25-1011.7.C易得线段AB的垂直平分线过两圆的圆心,把圆心(2,-3)代入各选项,可得C
11、正确.8.C由MN=N知NM,所以圆x2+y2=4与圆(x-1)2+(y-1)2=r2(r0)内切或内含,且4r2.所以2-r2,又r0,所以0r2-2.9.B由题意得,圆C1:(x+a)2+(y-2)2=1的圆心为C1(-a,2),半径r1=1.圆C2:(x-b)2+(y-2)2=4的圆心为C2(b,2),半径r2=2.圆C1:(x+a)2+(y-2)2=1与圆C2:(x-b)2+(y-2)2=4相外切,|C1C2|=r1+r2,即a+b=3,由基本不等式,得aba+b22=94,当且仅当a=b时取等号.故选B.10.C两圆与两坐标轴都相切,且都经过点(4,1),两圆圆心均在第一象限且每个圆
12、心的横、纵坐标相等.设两圆的圆心坐标分别为(a,a),(b,b),则有(4-a)2+(1-a)2=a2,(4-b)2+(1-b)2=b2,即a,b为方程(4-x)2+(1-x)2=x2的两个实数根,整理得x2-10x+17=0,a+b=10,ab=17.(a-b)2=(a+b)2-4ab=100-417=32,|C1C2|=(a-b)2+(a-b)2=322=8.11.答案3解析由题意可知直线x-y+c=0是线段AB的垂直平分线,因为直线x-y+c=0的斜率为1,所以kAB=3-(-1)1-m=-1,解得m=5.由中点坐标公式得线段AB的中点坐标为(3,1),将其代入直线方程得,3-1+c=0
13、,解得c=-2.故m+c=5-2=3.12.解析(1)如图,点A在圆C上,OP为圆C的直径,所以OAPA,同理可得OBPB.(2)由(1)还可以得到:PA是圆O的切线,PB也是圆O的切线.这一结论可以推广为:圆O外一点P,以OP为直径的圆与圆O交于A、B两点,则PA、PB是圆O的切线.能力提升练1.C圆C的圆心为(0,0),半径为5-m,圆E的圆心为(3,4),半径为4,由题意可知两圆外切,则32+42=5-m+4,解得m=4.2.C根据题意知,圆(x-a)2+(y-a)2=4与圆x2+y2=1相交,两圆圆心的距离d=a2+a2=2|a|,所以2-12|a|2+1,即22|a|322,所以-3
14、22a-22或22a322.故选C.3.B已知圆C1的圆心到直线x-y-2=0的距离d=22,即|0-a2-2|12+(-1)2=22,解得a2=2,圆C1:x2+(y-2)2=4的圆心C1的坐标为(0,2),半径r1=2,将圆C2:x2+y2-2x-4y+4=0化为标准方程为(x-1)2+(y-2)2=1,其圆心C2的坐标为(1,2),半径r2=1,圆心距|C1C2|=(0-1)2+(2-2)2=1=r1-r2,两圆内切,故选B.4.CD两圆的圆心距d=(1-0)2+(-3-0)2=10,两圆的半径之和为r+4,因为100)的圆心是(4,-3),设为A,设其中一个交点是B,因为过B点的切线互
15、相垂直,所以过B点的两条半径也垂直,即OB垂直AB,所以三角形OAB是直角三角形,且OBA=90,因为|AO|2=(4-0)2+(-3-0)2=25,|OB|=4,所以r2=|AO|2-|OB|2=9,即r=3,故C正确;D中,由B知,D选项错误.故选ABC.9.ACD对于A,设两圆的公共点为C(x1,y1),D(x2,y2),则满足x12+y12+D1x1+E1y1+F1=0,x12+y12+D2x1+E2y1+F2=0,两式相减得(D1-D2)x1+(E1-E2)y1+F1-F2=0,同理(D1-D2)x2+(E1-E2)y2+F1-F2=0,C,D两点的坐标满足方程(D1-D2)x+(E
16、1-E2)y+F1-F2=0,故两圆的公共弦所在直线为直线l:(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0,故A正确;对于B,如图,取弦CD的中点E,设|CD|=2a,圆M的半径为r1,圆N的半径为r2,r1r2,则|ME|=r12-a2|NE|=r22-a2,直线l不一定过线段MN的中点,故B错误;对于C,如图,|PA|=|PN|2-r22=|PE|2+|NE|2-r22=|PE|2+r22-a2-r22=|PE|2-a2,|PB|=|PM|2-r12=|PE|2+|ME|2-r12=|PE|2+r12-a2-r12=|PE|2-a2,|PA|=|PB|,故C正确;对于D,在NCD中,
17、|NC|=|ND|,则NECD,同理,MECD,直线l与直线MN相互垂直,故D正确.故选ACD.10.答案4;5解析由于两圆外切,所以(4-0)2+(3-0)2=|r+1|,所以r=4.点A(x0,y0)在圆C1上,所以x02+y02=1,所以y02=1-x02,所以x02+y02-4x0=1-4x0,因为-1x01,所以当x0=-1时,x02+y02-4x0取最大值,为5.11.解析(1)经过点(2,1)与点(-2,-3)的直线l的方程为y-1-3-1=x-2-2-2,即y=x-1,因为圆C1与y轴相切于点(0,3),所以圆心在直线y=3上,联立y=3,y=x-1,所以圆心坐标为(4,3),
18、故圆C1的半径为4,则圆C1的方程为(x-4)2+(y-3)2=16.(2)圆C1的方程为(x-4)2+(y-3)2=16,即x2+y2-8x-6y+9=0,圆C2:x2+y2-6x-3y+5=0,两式作差可得两圆公共弦所在的直线方程为2x+3y-4=0,圆C1的圆心到直线2x+3y-4=0的距离d=|8+9-4|22+32=13,所以两圆的公共弦长为216-13=23.12.解析(1)设点P的坐标为(x,y),由|PA|=2|PB|可得,x2+(y-4)2=2x2+(y-1)2,整理可得x2+y2=4,所以曲线E的方程为x2+y2=4.(2)依题意,得|OC|=|OD|=2,且COD=120
19、,则点O到CD边的距离为1,即点O(0,0)到直线l:kx-y-4=0的距离d=4k2+1=1,解得k=15,所以直线l的斜率为15.(3)存在定点,理由如下:依题意,得ONQN,OMQM,则M,N都在以OQ为直径的圆F上,Q是直线l:y=x-4上的动点,设Q(t,t-4),则圆F的圆心为t2,t-42,且经过坐标原点,即圆F的方程为x2+y2-tx-(t-4)y=0,因为M,N在曲线E:x2+y2=4上,所以联立x2+y2=4,x2+y2-tx-(t-4)y=0,可得tx+(t-4)y-4=0,即直线MN的方程为tx+(t-4)y-4=0.由tR且t(x+y)-4y-4=0,可得x+y=0,4y+4=0,解得x=1,y=-1,所以直线MN过定点,定点为(1,-1).