1、7.1.2弧度制基础过关练题组一对弧度制概念的理解1.(2021江苏常州第二中学高一月考)下列说法正确的是()A.1弧度的圆心角所对的弧长等于半径B.大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大C.所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等D.用弧度表示的角都是正角2.2弧度的角的终边所在的象限是()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限题组二角度与弧度的互化3.(2020广东梅州东山中学高一月考)将表的分针拨慢10分钟,则分针转过的角的弧度数是()A.3B.6C.3D.64.时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的角的弧度数为()A.143B.718C.718D.1435.(202
2、1江苏常州前黄高级中学高一期中)下列转化结果错误的是()A.30化成弧度是6B.103化成度是-600C.6730化成弧度是27D.85化成度是2886.已知=15,=10,=1,=105,=712,则,的大小关系为.题组三用弧度制表示终边相同的角7.下列各对角中,终边相同的角是()A.203,293B.3,223C.32,-32D.79,-2598.(多选)(2021江苏扬中高级中学等八校高一上联考)下列给出的各角中,与-53终边相同的角有()A.3B.133C.23D.1739.若把-114表示成+2k(kZ)的形式,则使|最小的的值是.10.用弧度制表示顶点在原点,始边重合于x轴的非负半
3、轴,终边落在阴影部分内的角组成的集合(包括边界,如图所示).易错题组四扇形的弧长公式和面积公式11.(2020江苏连云港板浦高级中学高一月考)已知扇形的圆心角为23,面积为43,则扇形的半径为()A.12B.1C.2D.412.(2021江苏镇江高一期末)已知扇形的面积为4,扇形圆心角的弧度数为2,则扇形的弧长为()A.2B.4C.6D.813.(2021江苏常州调研)九章算术成书于公元一世纪左右,是一本综合性的历史著作.书中记载这样一个问题:“今有宛田,下周三十步,径十六步.问为田几何?”(一步为1.5米)意思是现有扇形田,弧长为45米,直径为24米,那么扇形田的面积为()A.135平方米B
4、.270平方米C.540平方米D.1 080平方米14.如图,以正方形ABCD的顶点A为圆心,边AB的长为半径作扇形EAB,若图中两块阴影部分的面积相等,则EAD的弧度数大小为.15.(2021江苏宿迁泗洪中学高一期中)已知一扇形的圆心角为,半径为R,弧长为l.(1)若=60,R=10 cm,求扇形的弧长l;(2)已知扇形的周长为10 cm,面积是4 cm2,求扇形的圆心角;(3)若扇形的周长为20 cm,则当扇形的圆心角为多少弧度时,这个扇形的面积最大?深度解析能力提升练题组一弧度制的应用1.(2021江苏连云港新海高级中学高一月考,)已知某中学上午第一节课的上课时间是8点,那么当第一节课上
5、课铃声响起时,时钟的时针、分针把整个时钟圆弧分成的劣弧所对的圆心角是()A.2B.32C.23D.432.()已知是第三象限角,则3不是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角3.()已知角的终边与角3的终边相同,则在0,2)内,终边与角3终边相同的角为.4.()已知角=1 200.(1)将改写成+2k(kZ,02)的形式,并指出是第几象限的角;(2)在区间-4,内找出所有与角终边相同的角.5.()若角1=-570,2=750,1=310,2=-73.(1)将1,2用弧度制表示,并指出它们的终边各在哪个象限;(2)将1,2用角度制表示,并在-7200范围内找出与它们终边相同
6、的角.题组二扇形的弧长公式和面积公式的应用6.(2021江苏盐城高一期末,)古希腊地理学家埃拉托色尼(Eratosthenes,前275前193)用下面的方法估算地球的周长(即赤道周长).他从书中得知,位于尼罗河第一瀑布的塞伊尼(现在的阿斯旺,在北回归线上),夏至那天正午立杆无影;同样在夏至那天,他所在的城市埃及北部的亚历山大城,立杆可测得日影角大约为7(如图),埃拉托色尼猜想造成这个差异的原因是地球是圆的,并且太阳距离地球很远(现代科学观察得知,太阳光到达地球表面需要8.3 s,光速300 000 km/s),太阳光平行照射在地球上.根据平面几何知识知两直线平行,内错角相等,因此日影角与两地
7、对应的地心角相等,他又派人测得两地距离大约5 000希腊里,约合800 km,按照埃拉托色尼所得数据可以测算地球的半径约为()A.72 0007 kmB.5 600 kmC.134 0007 kmD.144 0007 km7.(2021江西抚州高一期末,)九章算术是我国古代数学成就的杰出代表,其中方田章给出了计算弧田(由圆弧和其所对弦围成)面积所用的经验公式:弧田面积=12(弦矢+矢2),公式中“弦”指圆弧所对弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.已知一块弦长为6 m的弧田按经验公式计算所得面积为33+32m2,则该弧田的实际面积为m2.8.(2021江苏徐州第一中学高一月考,)某学校新
8、校区拟建一个扇环形状的花坛(如图所示),按设计要求扇环的周长为30米,其中大圆弧所在圆的半径为10米,设小圆弧所在圆的半径为x米,圆心角为.(1)求关于x的函数关系式;(2)已知对花坛的边缘(实线部分)进行装饰时,直线部分的装饰费用为4元/米,弧线部分的装饰费用为9元/米,设花坛的面积与装饰总费用之比为y,求y关于x的函数关系式,并求出y的最大值.答案全解全析7.1.2弧度制基础过关练1.A根据弧度的概念知1弧度的圆心角所对的弧长等于半径,故A正确;大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角相等,故B错误;不在同圆或等圆中,1弧度的圆心角所对的弧长是不相等的,故C错误;用弧度表示的角可以是任意
9、角,故D错误.2.B22,2弧度的角的终边所在的象限为第二象限.故选B.3.A将表的分针拨慢10分钟,则分针逆时针转过60,所以分针转过的角的弧度数是3.故选A.4.D分针每分钟转-6,分针在1点到3点20分这段时间里转过的度数为-6(260+20)=-840.-840=-840180=143,故选D.5.C30化成弧度是6,故A中结果正确;-103化成度是-600,故B中结果正确;6730=67.5=67.5180=38,故C中结果错误;85化成度是288,故D中结果正确.故选C.6.答案=解析解法一(角度化为弧度):=15=15180=12,=105=105180=712,因为121017
10、12,所以=.解法二(弧度化为角度):=10=10180=18,=157.30,=712180=105,因为151857.30105,所以0),则扇形的面积S=1223R2=43,解得R=2(负值舍去).故选C.12.B设扇形的弧长为l,扇形所在圆的半径为r.由题意可得12lr=4,l=2r,解得r=2,l=4.故选B.13.答案B信息提取扇形田的弧长为45米,直径为24米.数学建模以传统数学文化九章算术中的问题为背景,构建与扇形面积有关的数学问题.根据扇形田的弧长为45米,直径为24米,利用扇形的面积公式求出扇形田的面积.解析根据扇形的面积公式,得扇形田的面积S=1245242=270(平方
11、米).故选B.14.答案2-2解析设正方形的边长为a,EAD=,由已知可得a2-14a2=12a2,故=2-2.15.解析(1)=60=3,l=R=310=103(cm).(2)由题意得2R+R=10,12R2=4,解得R=1,=8(舍去)或R=4,=12.故扇形的圆心角为12.(3)由已知得l+2R=20,则l=20-2R,所以扇形的面积S=12lR=12(20-2R)R=10R-R2=-(R-5)2+25,所以当R=5时,S取得最大值25,此时l=10,=2.方法总结运用弧度制下扇形的弧长公式与面积公式比用角度制下的公式要简单得多,若角是以“度”为单位的,通常先将其化为弧度,再计算.能力提
12、升练1.C8点时时钟的时针正好指向“8”,分针正好指向“12”,由于时钟每相邻两个数字之间的圆心角是30,即6,所以此时时针、分针把整个时钟圆弧分成的劣弧所对的圆心角是64=23.2.B因为是第三象限角,所以2k+2k+32,kZ,所以23k+3323k+2,kZ.当k=3n,nZ时,2n+332n+2,nZ,此时3为第一象限角;当k=3n+1,nZ时,2n+32n+76,nZ,此时3为第三象限角;当k=3n+2,nZ时,2n+5332n+116,nZ,此时3为第四象限角.所以3不是第二象限角.故选B.3.答案9,79,139解析由题意得=3+2k(kZ),故3=9+2k3(kZ).因为032
13、,所以k的值取0,1,2,3分别为9,79,139.4.解析(1)=1 200=1 200180=203=32+23,角与角23的终边相同.223,角是第二象限的角.(2)与角终边相同的角(含角)可表示为23+2k,kZ.令-423+2k(kZ),得-73k16(kZ),k=-2或k=-1或k=0,在区间-4,内与角终边相同的角有-103,-43,23.5.解析(1)-570=-570180=196,其终边位于第二象限.750=750180=256,其终边位于第一象限.(2)1=310=310180=54,54-360=-306,54-2360=-666.2=-73=73180=-420,-4
14、20+360=-60.综上,在-7200范围内与1终边相同的角为-306,-666,与2终边相同的角为-60.6.D由题意得AOB=7,对应的弧长为800 km.设地球的周长为C km,半径为R km,则7360=800C,解得C=288 0007.又C=2R,所以2R=288 0007,解得R=144 0007,所以按照埃拉托色尼所得数据可以测算地球的半径约为144 0007 km.故选D.7.答案4-33解析如图所示,弦长AB=6 m,设矢CD=x m,则弧田的面积S=12(6x+x2)=33+32,即6x+x2=63+3,解得x=3或x=63(舍去).设OA=R m,则OD=(R-3)m
15、,所以R2=(R-3)2+(62)2,解得R=23,则AOB=23,所以该弧田的实际面积为S扇形-SAOB=1223(23)2-1263=433(m2).8.解析(1)由题意得30=(10+x)+2(10-x),所以=10+2x10+x,x(0,10).(2)花坛的面积为12(102-x2)=(5+x)(10-x)=-x2+5x+50,x(0,10).装饰总费用为9(10+x)+8(10-x)=170+10x,x(0,10).所以花坛的面积与装饰总费用之比为y=-x2+5x+50170+10x=x2-5x-5010(17+x),x(0,10).令t=17+x,t(17,27),则x=t-17,y=-(t-17)2-5(t-17)-5010t=3910110t+324t3910232410=310,当且仅当t=18时取等号,此时x=1,=1211.故y=-x2-5x-5010(17+x),且y的最大值为310.