1、直线与圆锥曲线的位置关系抓住2个考点 突破3个考向 揭秘3年高考 直线与圆锥曲线的位置关系圆锥曲线的弦长考向一考向二考向三【例2】【例1】【例3】圆锥曲线中的定点、定值问题直线与圆锥曲线位置关系的应用圆锥曲线中的弦长问题圆锥曲线中的探索性问题考点梳理1直线与圆锥曲线的位置关系判断直线 l 与圆锥曲线 C 的位置关系时，通常将直线 l 的方程 AxByC0(A、B 不同时为 0)代入圆锥曲线 C 的方程 F(x，y)0，消去 y(也可以消去 x)得到一个关于变量 x(或变量 y)的一元方程即AxByC0，Fx，y0，消去 y 后得 ax2bxc0.(1)当 a0 时，设一元二次方程 ax2bxc
2、0 的判别式为，则 0直线与圆锥曲线 C_；0直线与圆锥曲线 C_；0直线与圆锥曲线 C_;(2)当 a0，b0 时，即得到一个一次方程，则直线 l 与圆锥曲线 C 相交，且只有一个交点，此时，若 C 为双曲线，则直线 l 与双曲线的渐近线的位置关系是_；若 C 为抛物线，则直线 l 与抛物线的对称轴的位置关系是_.相交相切相离平行平行考点梳理2圆锥曲线的弦长(1)圆锥曲线的弦长直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段)，线段的长就是弦长(2)圆锥曲线的弦长的计算设斜率为 k(k0)的直线 l 与圆锥曲线 C 相交
3、于 A，B 两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x2x12y2y12 1k2|x1 x2|1 1k2|y1y2|.(抛物线的焦点弦长|AB|x1x2p 2psin2，(为弦AB 所在直线的倾斜角)点差法：在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交和被截的线段的中点坐标时，设出直线和圆锥曲线的两个交点坐标，代入圆锥曲线的方程并作差，从而求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程“点差法”的常见题型有：求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题必须提醒的是“点差法”具有不等价性，即要考虑判别式 是否为正数一种方法助学微博题组 展示小组点评小组要求考点自测第1题第
4、九组第四组小组长组织组员积极讨论，找出疑惑点和解题思路，总结知识点和规律方法，每组一人展示，一人讲解，其他组在完成自己的任务后，继续讨论，对其他组的展示，提出自己的见解或新方法。彻底解决疑难，达成探究目标。第2题第七组第二组第3题第二组第三组第4题第三组第六组第5题第一组第四组考向一第八组第七组考向二第五组第八组考向三第六组第一组1已知双曲线 E:1222 yx,过定点 P(2,1)作直线 l 与 E 相交于 A，B 两点，并使 P 为AB 的中点则直线的方程为()A.032 yx B.074 yx C.094 yx D.01 yx2(2013西安调研)已知以 F1(2,0)，F2(2,0)为
5、焦点的椭圆与直线 x 3y40 有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为()A3 2B2 6 C2 7D.73（2012 安徽）过抛物线 y24x 焦点 F 的直线交该抛物线于 A,B 两点。若AF=3则BF=-4（2013 全国）已知椭圆 E：)0(12222babyax的右焦点 F(3,0)，过 F 的直线 l 与E 相交于 A，B 两点，若 AB 的中点坐标为 N(1，-1)，则 E 的方程为()A.452x+362y 1 B.1273622 yxC.1182722 yxD.191822 yx5直线 ykx1 与椭圆x25 y2m1 恒有公共点，则 m 的取值范围是_考点自测单击题号显示结果答
6、案显示BCD 123451,5)(5，)3/2【例 1】已知双曲线 C:)0,0(12222babyax的左，右焦点分别为2,1 FF，离心率为 3，直线2y与 C 的两个交点间的距离为6(1)求 a,b(2)设过2F 的直线l 与 C 的左右两支分别交于A,B 两点，且11BFAF 证明：22,BFABAF成等比数列。【审题视点】考向一 直线与圆锥曲线位置关系的应用(1)由已知的离心率及222cba减 少变量，再把另一个条件代入即可求解；(2)将直线方程与椭圆方程联立，及已知条件11BFAF 便 可 求解 考向二 圆锥曲线中的弦长问题【例 2】已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的一个
7、顶点为A(2,0)，离心率为 22.直线 yk(x1)与椭圆 C 交于不同的两点 M、N.(1)求椭圆 C 的方程；(2)当AMN 的面积为 103 时，求 k 的值【审题视点】(1)根据顶点坐标与离心率以及椭圆中的恒等式建立方程；解(1)由题意得a2，ca 22，a2b2c2，解得 b 2所以椭圆 C 的方程为x24 y221.(2)由ykx1，x24 y22 1 得(12k2)x24k2x2k240.(2)先联立直线与椭圆的方程，利用弦长公式求|MN|，再将面积表达出来，最后解方程 设点 M，N 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则 y1k(x11)，y2k(x21)，考向二 圆
8、锥曲线中的弦长问题【例 2】已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为 22.直线 yk(x1)与椭圆 C 交于不同的两点 M、N.(1)求椭圆 C 的方程；(2)当AMN 的面积为 103 时，求 k 的值【审题视点】(1)根据顶点坐标与离心率以及椭圆中的恒等式建立方程；x1x2 4k212k2，x1x22k2412k2(2)先联立直线与椭圆的方程，利用弦长公式求|MN|，再将面积表达出来，最后解方程 所以|MN|x2x12y2y12 1k2x1x224x1x2又因为点 A(2,0)到直线 yk(x1)的距离 d|k|1k2所以AMN 的面积为 S12|MN
9、|d|k|46k212k2由|k|46k212k2 103，解得 k1.【方法锦囊】直线与圆锥曲线的弦长问题，较少单独考查弦长的求解，一般是已知弦长的信息求参数或直线、圆锥曲线的方程解此类题的关键是设出交点的坐标，利用根与系数的关系得到弦长，将已知弦长的信息代入求解【例 3】在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中，设 椭 圆E：112222ayax的焦点在 x 轴上。(1)若椭圆 E 的焦距为 1，求椭圆 E 的方程(2)设21,FF分别是椭圆的左，右焦点，P 为椭圆上第一象限内的点，直线PF2交 y 轴 y 与 Q，并且QFPF11，证明：当 a 变化时，点 P 在某定直线上。考向三 圆
10、锥曲线中的定点、定值问题【审题视点】(1)由 已 知 的 焦 距 及22221caab即求得椭圆方程，(2)利用椭圆的几何性质，和已知的垂直及点 P 在椭圆上，获得点 P 坐标，并证明对应的定值【方法锦囊】以直线与圆锥曲线的位置关系为背景的证明题常见的有：证明直线过定点和证明某些量为定值而解决这类定点与定值问题的方法有两种：一是研究一般情况，通过逻辑推理与计算得到定点或定值，这种方法难度大，运算量大，且思路不好寻找；另外一种方法就是先利用特殊情况确定定点或定值，然后验证，这样在整理式子或求值时就有了明确的方向 规范解答圆锥曲线中的探索性问题揭秘3年高考【命题研究】通过近三年的高考试题分析，数形
11、结合、代数运算、基础知识和基本方法的综合运用是解析几何综合类试题的命题重点，大多数情况下以直线与圆锥曲线相交的形式出现考查圆锥曲线的概念和性质，轨迹与轨迹方程的求法，与圆锥曲线相关的最值、定值、探索性等问题题型大多是解答题，题目难度大 揭秘3年高考【教你审题】当b1，即 bb0)的离心率 e23，且椭圆 C 上的点到 Q(0,2)的距离的最大值为 3.(1)求椭圆 C 的方程；(2)在椭圆 C 上，是否存在点 M(m，n)，使得直线 l：mxny1与圆 O：x2y21 相交于不同的两点 A，B，且OAB 的面积最大？若存在，求出点 M 的坐标及相对应的OAB 的面积；若不存在，请说明理由解（1
12、）第(1)问，由椭圆的离心率和椭圆上的点到Q(0,2)的 距离的最大值为 3 两个条件，可求得椭圆方程；因为 e23ca a2b2a，所以 a23b2，设 P(x，y)为椭圆 C 上任意给定的一点，则 d x2y22 3b23y2y22即椭圆 C 的方程可写为 x23b2y2b21.(2 分)2y123b26(byb)(3 分)当b1，即 b1，dmax 63b23 得 b1；b1，a 3，(5 分)故所求椭圆 C 的方程为x23 y21.(6 分)(2)存在点 M 满足要求，使OAB 的面积最大(7 分)假设存在满足条件的点 M，因为直线 l：mxny1 与圆 O：x2y21 相交于不同的两
13、点 A，B，则圆心 O 到 l 的距离 d1m2n21.(8 分)因为点 M(m，n)在椭圆 C 上，所以m23 n21m2n2，于是 0m23.因为|AB|21d22 n2n21m2n2，(10 分)揭秘3年高考所以 SOAB12|AB|d m2n21m2n223|m|123m223|m|2 123m212，当且仅当 123m2 时等号成立所以 m232(0,3因此当 m 62，n 22 时等号成立(12 分)所 以 满 足 要 求 的 点 M 的 坐 标 为 62，22，62，22，62，22和 62，22，此时对应的三角形的面积均达到最大值12.(14 分)(1)本题是圆锥曲线中的探索性
14、问题，也是最值问题，求圆锥曲线的最值问题是高考考查的一个重点，通常是先建立一个目标函数，然后利用函数的单调性或基本不等式求最值【模板构建】第一步第二步第三步假设结论存在 结合已知条件进行推理求解 第四步 揭秘3年高考(2)本题的第一个易错点是，表达不出椭圆 C 上的点到 Q(0,2)的距离的最大值第二个易错点是，没有掌握探索性问题的解题步骤第三个易错点是，没有正确使用基本不等式 探索性问题答题模板：若能推出合理结果，经验证成立即可肯定正确；若推出矛盾，即否定假设反思回顾，查看关键点、易错点及解题规范如本题中易忽略直线 l 与圆 O 相交d1m2n21 这一隐含条件(1）通过本节课的学习，你收获了什么？（2）对于直线与圆锥曲线的问题处理应注重哪些方面？你有何感想？（3）本节课你还有哪些问题？总结反思-提高认识