1、2.1.2两条直线平行和垂直的判定基础过关练题组一两条直线平行 1.过点A(2,5)和点B(-4,5)的直线与直线y=3的位置关系是()A.相交 B.平行C.重合 D.以上都不对2.若直线l1的倾斜角为135,直线l2经过点P(-2,-1),Q(3,-6),则直线l1与l2的位置关系是(易错)A.垂直 B.平行C.重合 D.平行或重合3.若过点P(3,2m)和点Q(-m,2)的直线与方向向量为a=(-5,5)的直线平行,则实数m的值是()A.1 3 B.-13 C.2 D.-24.(多选)l1、l2为两条直线,则下列说法中正确的是()A.若直线l1与l2的斜率相等,则l1l2B.若直线l1l2
2、,则两直线的斜率相等C.若直线l1,l2的斜率均不存在,则l1l2D.若两直线的斜率都存在且不相等,则两直线不平行题组二两条直线垂直5.若直线l经过点(a-2,-1)和(-a-2,1),且与斜率为-23的直线垂直,则实数a的值是()A.-23 B.-32 C.23 D.326.已知两条直线l1,l2的斜率是方程3x2+mx-3=0(mR)的两个根,则l1与l2的位置关系是()A.平行 B.垂直C.可能重合 D.无法确定7.下列条件中,使得l1l2的是()l1的斜率为-23,l2经过点A(1,1),B0,-12;l1的倾斜角为45,l2经过点P(-2,-1),Q(3,-5);l1经过点M(1,0
3、),N(4,-5),l2经过点R(-6,0),S(-1,3).A.B.C.D.8.若不同两点P,Q的坐标分别为(a,b),(3-b,3-a),则线段PQ的垂直平分线的斜率为.题组三两条直线平行和垂直的应用9.已知两点A(2,0),B(3,4),直线l过点B,且交y轴于点C(0,y),O是坐标原点,且O,A,B,C四点共圆,则y的值是()A.19 B.194 C.5 D.410.在平面直角坐标系中,以O(0,0),A(1,1),B(3,0)为顶点构造平行四边形,下列各项中不能作为平行四边形第四个顶点坐标的是()A.(-3,1) B.(4,1) C.(-2,1) D.(2,-1)11.已知点A(-
4、3,-2),B(6,1),点P在y轴上,且BAP=90,则点P的坐标是.12.已知ABC的三个顶点分别是A(2,2+22),B(0,2-22),C(4,2),则ABC是.(填“直角三角形”“锐角三角形”或“钝角三角形”)13.已知正方形ABCD的边长为4,若E是BC的中点,F是CD的中点,求证:BFAE.14.已知在平行四边形ABCD中,A(1,2),B(5,0),C(3,4).(1)求点D的坐标;(2)试判断平行四边形ABCD是不是菱形.能力提升练题组一直线的平行与垂直1.()已知直线l与过点M(-3,2),N(2,-3)的直线l垂直,则直线l的倾斜角是()A.3 B.23 C.4 D.34
5、2.()直线l1过点A(m,1)和点B(-1,m),直线l2过点C(m+n,n+1)和点D(n+1,n-m).则直线l1与l2的位置关系是()A.重合B.平行C.垂直D.无法确定3.(多选)()若A(-4,2),B(6,-4),C(12,6),D(2,12),下面结论中正确的是()A.ABCD B.ABADC.|AC|=|BD| D.ACBD4.()已知四边形MNPQ的顶点M(1,1),N(3,-1),P(4,0),Q(2,2),则四边形MNPQ的形状为.5.()如图,在平面直角坐标系中,设三角形ABC的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C(c,0),点P(0,p)是线段AO上的一点(异于
6、端点),这里a,b,c,p均为非零实数,设直线BP,CP分别与边AC,AB交于点E,F.若BEAC,求证:CFAB.题组二直线平行与垂直的综合应用6.()已知A(1,2),B(-1,0),C(2,-1),若存在一点D满足CDAB,且CBAD,则点D的坐标为()A.(-2,-3) B.(2,-3)C.(2,3) D.(-2,3)7.()已知ABC的两个顶点坐标为B(2,1),C(-6,3),其垂心为H(-3,2),则顶点A的坐标为()A.(-19,-62) B.(19,-62)C.(-19,62) D.(19,62)8.()在平面直角坐标系中,矩形OABC,O(0,0),A(2,0),C(0,1
7、),将矩形折叠,使O点落在线段BC上,设折痕所在直线的斜率为k,则k的取值范围为.9.()如图所示,一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路,已知矩形花园长AD=5 m,宽AB=3 m,其中一条小路定为AC,另一条小路过点D,问在BC上能否找到一点M,使得两条小路所在直线AC与DM相互垂直?深度解析10.(2021山东枣庄八中高二上月考,)在平面直角坐标系中,已知点A(-2,0),B(4,3),C(1,-3),且AM=tAB(tR).(1)若CMAB,求t的值;(2)当0t1时,求直线CM的斜率k的取值范围.答案全解全析基础过关练1.B由题意得过点A(2,5)和点B(-4,5)的直线为y=5,与直线
8、y=3的斜率都为0且不重合,所以平行.2.D由题意得,直线l1的斜率为tan 135=-1,直线l2的斜率为-6-(-1)3-(-2)=-1,直线l1与l2平行或重合.易错警示当两直线斜率都存在时,两直线平行可以推出两直线的斜率相等;反之不成立,即两直线的斜率相等推不出两直线平行,此时还有可能重合.解题时要注意验证.3.B由a=(-5,5)得直线的斜率为5-5=-1,因此直线PQ的斜率为2m-23-(-m)=-1,解得m=-13.经检验,m=-13符合题意,故选B.4.CD在A中,两直线平行或重合,故A错误;在B中,若直线l1l2,则两直线的斜率相等或斜率均不存在,因此B错误;易知C、D正确.
9、5.A依题意得kl=1-(-1)-a-2-(a-2)=-1a,因为直线l与斜率为-23的直线垂直,所以-1a-23=-1,解得a=-23,故选A.6.B由方程3x2+mx-3=0,知=m2-43(-3)=m2+360恒成立,故方程有两个相异实根,即l1与l2的斜率k1,k2均存在,且不相等.设方程的两根分别为x1,x2,则k1k2=x1x2=-1,所以l1l2,故选B.7.B中,易求得l2的斜率为-12-10-1=32,32-23=-1,故l1l2;中,l1的斜率为tan 45=1,l2的斜率为-5-(-1)3-(-2)=-45,1-45-1,故l1与l2不垂直;中,l1的斜率为-5-04-1
10、=-53,l2的斜率为3-0-1-(-6)=35,-5335=-1,故l1l2.故正确.故选B.8.答案-1解析由题意得kPQ=3-a-b3-b-a=1,所以线段PQ的垂直平分线的斜率为-1.9.B由O,A,B,C四点共圆可以得出四边形OABC的对角互补,又由题意得COA=90,所以CBA=90,所以ABBC,所以kABkBC=-1,即4-03-24-y3-0=-1,解得y=194.故选B.10.A由题意得,kOA=1,kAB=-12,kOB=0.设第四个顶点为C,当点C的坐标为(-3,1)时,kOC=-13kAB,所以四边形OBAC不是平行四边形;当点C的坐标为(4,1)时,kAC=0=kO
11、B,kBC=1=kOA,所以四边形OBCA是平行四边形,同理可验证点C坐标为(-2,1)或(2,-1)时,满足题意.故选A.11.答案(0,-11)解析设P(0,y),由BAP=90知,kABkAP=1-(-2)6-(-3)y+23=y+29=-1,解得y=-11.所以点P的坐标是(0,-11).12.答案直角三角形解析因为AB边所在直线的斜率kAB=2-22-(2+22)0-2=22,CB边所在直线的斜率kCB=2-22-20-4=22,AC边所在直线的斜率kAC=2-(2+22)4-2=-2,所以kCBkAC=-1,所以CBAC,所以ABC是直角三角形.13.证明建立平面直角坐标系,如图所
12、示,则B(4,0),E(4,2),F(2,4),A(0,0),所以kAE=24=12,kBF=4-02-4=-2.又kAEkBF=12(-2)=-1,所以AEBF.14.解析 (1)设D(a,b),四边形ABCD为平行四边形,kAB=kCD,kAD=kBC,0-25-1=b-4a-3,b-2a-1=4-03-5,解得a=-1,b=6.D(-1,6).(2)kAC=4-23-1=1,kBD=6-0-1-5=-1,kACkBD=-1,ACBD,平行四边形ABCD为菱形.能力提升练1.C设直线l与直线l的斜率分别为k,k,直线l过点M(-3,2),N(2,-3),直线l的斜率k=2-(-3)-3-2
13、=-1,由ll得,kk=-1,k=1,直线l的倾斜角满足tan =1,0,),=4,故选C.2.C当m=1时,直线l1过点A(1,1)和点B(-1,1),直线l2过点C(1+n,n+1)和点D(n+1,n-1).此时直线l1的斜率k1=0,直线l2的斜率不存在,因此l1l2.当m=-1时,直线l1过点A(-1,1)和点B(-1,-1),直线l2过点C(-1+n,n+1)和点D(n+1,n+1).此时直线l1的斜率不存在,直线l2的斜率k2=0,因此l1l2.当m1时,直线l1的斜率k1=m-1-1-m,直线l2的斜率k2=-m-11-m.此时k1k2=-1,l1l2.综上可知,直线l1与l2的
14、位置关系是垂直,故选C.3.ABCkAB=-4-26+4=-35,kCD=12-62-12=-35,且C不在直线AB上,ABCD,故A正确;又kAD=12-22+4=53,kABkAD=-1,ABAD,故B正确;AC=(16,4),BD=(-4,16),|AC|=417,|BD|=417,|AC|=|BD|,故C正确;又kAC=6-212+4=14,kBD=12+42-6=-4,kACkBD=-1,ACBD,故D错误.故选ABC.4.答案矩形解析kMN=1-(-1)1-3=-1,kPQ=2-02-4=-1,且P不在直线MN上,MNPQ.又kMQ=2-12-1=1,kNP=0-(-1)4-3=1
15、,且N不在直线MQ上,MQNP,四边形MNPQ为平行四边形.又kMNkMQ=-1,MNMQ.平行四边形MNPQ为矩形.5.证明由题意得,直线BP的斜率为-pb,直线AC的斜率为-ac,BEAC,-pb-ac=-1,即pa=-bc.又直线CP的斜率为-pc,直线AB的斜率为-ab,-pc-ab=pabc=-bcbc=-1,CFAB.6.D设D(x,y),由CDAB,且CBAD,知kCDkAB=-1,kCB=kAD,则y-(-1)x-20-2-1-1=-1,-1-02-(-1)=y-2x-1,解得x=-2,y=3,所以D(-2,3).故选D.7.A设A的坐标为(x,y),由已知得,AHBC,BHA
16、C,且直线AH,BH的斜率存在,所以kAHkBC=-1,kBHkAC=-1,即y-2x+3-14=-1,-15y-3x+6=-1,解得x=-19,y=-62,即顶点A的坐标为(-19,-62).8.答案-2,0解析设O点折叠后落在线段BC上的点为D点,点O与点D关于折痕所在直线对称,点O与点D的连线与折痕所在直线垂直,又kOB=12,直线OC的斜率不存在, O、D两点连线的斜率的取值范围是12,+,折痕所在直线的斜率k的取值范围为-2,0),当折痕所在直线的斜率为0时,符合题意,k的取值范围为-2,0.9.信息提取矩形花园ABCD;ACDM,且M在BC上.数学建模本题以实际生活中在花园铺设小路
17、为背景,通过建立平面直角坐标系,将几何问题代数化,然后利用直线的斜率之积为-1建立方程求解.解析如图所示,以点B为坐标原点,BC、BA所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系.由AD=5,AB=3,可得C(5,0),D(5,3),A(0,3).设点M的坐标为(x,0),因为ACDM,所以kACkDM=-1,所以3-00-53-05-x=-1,即x=165=3.2,所以当BM=3.2 m时,两条小路所在直线AC与DM相互垂直.解题模板利用解析法解决几何问题,首先建立平面直角坐标系,写出相关点的坐标,然后利用题设中的条件列出方程(组)解决问题.10.解析(1)由题意可得AB=(6,3),AC=(3,-3),则AM=tAB=(6t,3t),CM=AM-AC=(6t-3,3t+3),CMAB,CMAB=6(6t-3)+3(3t+3)=45t-9=0,解得t=15.(2)由0t1,AM=tAB,可得点M在线段AB上,由题中A、B、C点坐标,易求得kAC=-1,kCB=2,则由图形可知,直线CM的斜率k的取值范围为k-1或k2.