1、4万有引力理论的成就知识点一计算天体的质量1地球质量的计算利用地球表面的物体：若不考虑地球自转的影响，地面上质量为m的物体受到的重力等于地球对物体的引力，即mg，则M，由于g、R已经测出，因此可计算出地球的质量2计算太阳的质量利用某一行星：将行星绕太阳的运动近似看做匀速圆周运动，向心力由它们之间的万有引力提供，其牛顿第二定律方程是Gm()2r，由此可得太阳的质量为M.3其他行星的质量计算利用绕行星运转的卫星，若测出该卫星与行星间的距离和转动周期，同样可得出行星的质量在牛顿之前，要称出太阳的质量，一定被认为是天方夜谭现在根据万有引力定律，结合圆周运动的知识就可估算出太阳的质量，应该知道哪些条件就
2、可测出太阳的质量呢？提示：行星绕太阳运行的周期、半径等知识点二发现未知天体1已发现天体的轨道推算18世纪，人们观测到太阳系第七个行星天王星的轨道和用万有引力定律计算出来的轨道有一些偏差2未知天体的发现根据已发现的天体的运行轨道结合万有引力定律推算出未知天体的位置，如海王星和冥王星就是这样发现的考点一计算天体的质量求天体质量的方法主要有两大类，一类是利用此天体的一个卫星(或行星)绕它做匀速圆周运动的有关规律来求，另一类是利用天体表面处的重力加速度来求1已知某星体绕天体做匀速圆周运动，利用万有引力充当向心力列出相关方程即可求出中心天体的质量一般有以下三种形式：(1)若已知星体绕天体做匀速圆周运动的
3、周期T，半径r，根据万有引力等于向心力，即Gmr，可求得中心天体质量M.(2)若已知星体绕天体做匀速圆周运动的半径r和线速度v，根据万有引力等于向心力，即Gm，可求中心天体质量M.(3)若已知星体绕天体做匀速圆周运动的线速度v和周期T，根据万有引力等于向心力，有Gmr2mv和Gm，两式消去r得M.2若已知天体表面的重力加速度g和天体半径R，根据重力近似等于万有引力，得Gmg，故M(黄金代换)【例1】(多选)下列几组数据中能算出地球质量的是(引力常量G是已知的)()A已知地球绕太阳运动的周期和地球中心与太阳中心之间的距离B已知月球绕地球运动的周期和地球的半径C已知月球绕地球运动的角速度和月球中心
4、与地球中心之间的距离D已知月球绕地球运动的周期和轨道半径解答本题时，必然涉及万有引力定律的公式，应把式中各字母的含义弄清楚，区分清天体半径和天体做圆周运动的轨道半径，然后根据已知量与未知量选用恰当的公式进行分析求解【解析】已知地球绕太阳运动的周期和地球的轨道半径，只能求出太阳的质量，而不能求出地球的质量，选项A错误；已知月球绕地球运动的周期和地球的半径，而不知道月球绕地球运动的轨道半径，不能求出地球的质量，选项B错误；已知月球绕地球运动的角速度和轨道半径，由Gmr2可以求出地球的质量，选项C正确；已知月球绕地球运动的周期和轨道半径，由Gmr可求得地球质量为M，所以选项D正确【答案】CD总结提能
5、 根据万有引力定律求天体质量时，一般有两种思路：1根据重力加速度求天体质量，即由gG，得M.2根据环绕天体的圆周运动规律求中心天体的质量，即万有引力提供天体做匀速圆周运动的向心力，列方程Gmr，求得M.注意该思路只能求出中心天体的质量在某一星球上，宇航员用一弹簧测力计测得一个质量为m的物体的重力为F.乘宇宙飞船在靠近该星球表面空间飞行，测得其环绕周期为T，已知万有引力常量为G，试由以上数据求出该星球的质量解析：设星球半径为R，飞船质量为m1，星球质量为M，在星球表面，物体重力等于万有引力，有：FG对宇宙飞船，由万有引力提供向心力，有：Gm1R联立以上两式，消去R得：M.答案：考点二计算天体的密
6、度1利用天体的卫星求天体的密度设星体绕天体运动的轨道半径为r，周期为T，天体的半径为R，则有Gmr和MR3，由两式得.当星体是近天体运动时，rR，上式变为.2利用天体表面的重力加速度来求天体的密度，设天体表面重力加速度为g，天体的半径为R，则有mgG和MR3，由两式得.【例2】人类发射的火星探测器已经在火星上着陆，正在进行着激动人心的科学探索(如发现了冰)，为我们将来登上火星、开发和利用火星奠定了坚实的基础如果火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动，并测得它运动的周期为T，则火星的平均密度的表达式为(k为某个常量)()AkTBCkT2 D求火星的平均密度，必须用火星的质量除以火星的体积其实，
7、在求某天体的密度时，不能死记硬背之前推导出的密度公式，而要根据题目的已知条件，先求出天体的质量和体积表达式，然后得出密度的计算式【解析】根据万有引力定律得GmR可得火星质量M又火星的体积VR3故火星的平均密度(k)，选项D正确【答案】D总结提能 对于本类题目，前提条件是根据万有引力提供向心力来求天体的质量，即Gmr，得出M；再根据 和VR3可得，式子中的r为宇宙飞船的轨道半径，R为天体自身的半径，当宇宙飞船在行星表面运动时，rR，.天文学家新发现了太阳系外的一颗行星这颗行星的体积是地球的4.7倍，质量是地球的25倍已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为1.4小时，引力常量G6.671011 Nm
8、2/kg2，由此估算该行星的平均密度约为(D)A1.8103 kg/m3B5.6103 kg/m3C1.1104 kg/m3 D2.9104kg/m3解析：首先根据近地卫星绕地球运动的向心力由万有引力提供Gm，可求出地球的质量；然后根据，可求出地球密度，则行星密度，可得该行星的密度约为2.9104 kg/m3.考点三应用万有引力定律认识未知天体1海王星的发现(1)天王星的“偏轨”：1781年，人们通过望远镜发现了天王星，经过仔细的观测发现天王星的运动轨道与由万有引力定律计算出来的轨道之间存在明显的偏差由此一些人对万有引力定律产生了怀疑，而另一些人则认为可能在天王星附近存在未知天体，偏差是由于未
9、知天体对天王星的引力作用引起的(2)海王星的发现：在1843年到1845年间，英国大学生亚当斯、法国年轻的天文学家勒维耶同时独立地预言了在天王星轨道之外有一颗当时还未知的行星并计算了这颗未知星体的质量、轨道和位置勒维耶将他的计算结果写信告诉了柏林天文台的伽勒，伽勒于1846年9月23日夜间在预定的区域发现了这颗神秘的行星海王星，它的发现，被认为是牛顿引力理论的伟大胜利(3)冥王星的发现：1930年，汤姆博夫根据海王星自身运动不规则性的记载又发现了一颗新星冥王星，这可以说是前一成就的历史回声，进一步提高了万有引力定律的权威性2预言彗星回归哈雷利用万有引力定律解释了1531年、1607年和1682
10、年三次出现的彗星，实际上是同一颗彗星的三次回归，它出现的周期约为76年【例3】如图为宇宙中一个恒星系的示意图，A为该星系的一颗行星，它绕中央恒星O运行轨道近似为圆，天文学家观测得到A行星运动的轨道半径为R0，周期为T0.长期观测发现，A行星实际运动的轨道与圆轨道总存在着一些偏离，且周期性地每隔t0时间发生一次最大的偏离，天文学家认为形成这种现象的原因可能是A行星外侧还存在着一颗未知的行星B(假设其运行轨道与A在同一平面内，且与A的绕行方向相同)，它对A行星的万有引力引起A轨道的偏离根据上述现象及假设，你能对未知行星B的运动得到哪些定量的预测行星A发生最大偏离时，应该是行星B距行星A最近的时候，
11、因此可由行星A的周期T0及A、B相遇的时间间隔t0求得B的周期，进而可求得B的轨道半径【解析】设中央恒星质量为M，A行星质量为m，则有Gm2R0由题意可知：A、B相距最近时，B对A的影响最大，且每隔t0时间相距最近设B行星周期为TB，则有1，解得TB设B行星的质量为m1，运动的轨道半径为RB，则有Gm12RB由可得：RBR0.【答案】可估算周期为：TB，未知行星B绕中央恒星O运动轨道半径为RBR0.总结提能 发现未知天体是万有引力的重要应用之一，通过对比环绕天体轨道的变化或假定存在未知天体、对比参数等判定天体的存在“黑洞”是爱因斯坦的广义相对论中预言的一种特殊天体，它的密度极大，对周围的物质(
12、包括光子)有极强的吸引力，根据爱因斯坦理论，光子是有质量的，光子到达黑洞表面时也被吸入，恰能绕黑洞表面做圆周运动根据天文观测，银河系中心可能有一个黑洞，距该黑洞6.01012 m远的星体正以2.0106 m/s的速度绕它旋转，据此估算该黑洞的最大半径R是多少？(保留一位有效数字)解析：根据爱因斯坦理论，光子有质量，所以黑洞对光子的引力就等于它做圆周运动时的向心力，则：Gm，其中M为黑洞质量，m为光子质量，c为光速，r为轨道半径，即黑洞的最大可能半径银河系中的星体绕黑洞旋转时，也可认为做的是匀速圆周运动，其向心力为二者之间的万有引力，所以有Gm，其中m为星体质量，R为星体的轨道半径由式可得黑洞的
13、最大可能半径为：rR261012 m3108 m.答案：3108 m考点四解决天体运动问题的两条基本思路1解决天体运动问题的两条思路(1)所有做圆周运动的天体，所需的向心力都来自万有引力因此，向心力等于万有引力，这是我们研究天体运动建立方程的基本依据，即Gma，式中的a是向心加速度(2)物体在地球(天体)表面时受到的引力等于物体的重力，即Gmg，式中的R为地球(天体)的半径，g为地球(天体)表面的重力加速度2几个常用的关系式设质量为m的天体绕另一质量为M的中心天体做半径为r的匀速圆周运动，则：(1)由Gm得v，可知r越大，天体的v越小(2)由Gm2r得，可知r越大，天体的越小(3)由Gm()2
14、r得T2，可知r越大，天体的T越大(4)由Gma得a，可知r越大，天体的a越小说明：从以上四个关系式我们可以得出，在描述某一天体绕另一中心天体做圆周运动的四个物理量线速度、角速度、向心加速度和周期中，只有周期随半径增大而增大，其他三个物理量都随半径的增大而减小这一结论在很多定性判断中很有用，因此要理解记忆3解决天体运动问题时应注意的问题(1)在用万有引力等于向心力的关系列式求天体的质量时，只能求出中心天体的质量，而环绕天体的质量在方程式中被消掉了(2)应用万有引力定律求解问题时要注意挖掘题目中的隐含条件如地球公转一周是365天，自转一周是24小时，其表面的重力加速度约为9.8 m/s2等(3)
15、由Gmg可以得到GMgR2，此式称为黄金代换式，通常情况下，利用此式可以使问题很容易得到解决【例4】已知地球半径R6.4106 m，地球附近重力加速度g9.8 m/s2，计算在距离地面高为h2.0106 m的圆形轨道上的卫星做匀速圆周运动的线速度v和周期T.解答本题的思路为：【解析】根据万有引力提供卫星做圆周运动的向心力，即Gm，知v由地球表面附近万有引力近似等于重力，即Gmg，得GMgR2，故线速度v，代入数据得v6.9103 m/s，运动周期T7.6103 s.【答案】6.9103 m/s7.6103 s总结提能 解决该类问题要紧扣两个关键：一是紧扣一个物理模型，就是将天体(或卫星)的运动
16、看成是匀速圆周运动；二是紧扣一个物体做圆周运动的动力学特征，即天体(或卫星)的向心力由万有引力提供还要记住一个结论：在向心加速度、线速度、角速度和周期四个物理量中，只有周期的值随着轨道半径的变大而增大，其余的三个都随轨道半径的变大而减小“嫦娥一号”卫星刚开始绕地球做椭圆轨道运动，经过变轨、制动后，成为一颗绕月球做圆轨道运动的卫星设卫星距月球表面的高度为h，做匀速圆周运动的周期为T.已知月球半径为R，引力常量为G.(球的体积公式Vr3，其中r为球的半径)求：(1)月球的质量M；(2)月球表面的重力加速度g；(3)月球的密度.解析：(1)万有引力提供向心力，有Gm(Rh)解得月球的质量M(Rh)3
17、；(2)在月球表面，万有引力等于重力，有Gmg解得月球表面的重力加速度g(Rh)3；(3)月球的密度，VR3，M(Rh)3联立解得(Rh)3.答案：(1)(2)(Rh)3(3)(Rh)31(多选)下列说法正确的是(AC)A海王星和冥王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现的B天王星是人们依据万有引力定律计算出轨道发现的C天王星的运行轨道偏离根据万有引力定律计算出来的轨道，其原因是天王星受到轨道外面其他行星的引力作用D以上说法都不对解析：海王星和冥王星都是人们先根据万有引力定律计算出轨道，然后又被天文工作者观察到的天王星是人们通过望远镜观察发现的在发现海王星的过程中，天王星的运行轨道偏离根据万
18、有引力定律计算出来的轨道引起了人们的思考，推测天王星外面存在其他行星综上所述，选项A，C正确2若知道太阳的某一颗行星绕太阳运转的轨道半径为r，周期为T，引力常量为G，则可求得(B)A该行星的质量B太阳的质量C该行星的平均密度 D太阳的平均密度解析：知道行星的运动轨道半径r和周期T，再利用引力常量G，根据，只能算出太阳的质量，无法求出行星的质量，故选项A错误，B正确；不知道行星的质量和体积，也就无法知道该行星的平均密度，故选项C错误；不知道太阳的体积，也就不知道太阳的平均密度，故选项D错误3(多选)科学家们推测，太阳系的第十颗行星就在地球的轨道上从地球上看，它永远在太阳的背面，人类一直未能发现它
19、，可以说它是“隐居”着的，它是地球的“孪生兄弟”，由以上信息可以推知(ABC)A这颗行星的公转周期与地球相等B这颗行星的轨道半径等于地球的轨道半径C这颗行星的线速度等于地球的线速度D这颗行星的自转周期与地球相同解析：始终和地球保持在太阳的正背面上，这说明公转周期与地球相等，选项A正确；由于它们周期相等，则它们的轨道半径相等、线速度相等，选项B，C正确；题目中无法判断这颗行星自转周期与地球的关系，选项D错误4(多选)火星直径约为地球直径的一半，质量约为地球质量的十分之一，它绕太阳公转的轨道半径约为地球绕太阳公转半径的1.5倍根据以上数据，下列说法中正确的是(AB)A火星表面重力加速度的数值比地球
20、表面小B火星公转的周期比地球的长C火星公转的线速度比地球的大D火星公转的向心加速度比地球的大解析：由Gmg得gG，计算得火星表面的重力加速度约为地球表面的，选项A正确；由Gm2r得T2，公转轨道半径大的周期长，选项B正确；周期大的线速度小(或由v判断轨道半径大的线速度小)，选项C错误；公转向心加速度aG，则火星公转的向心加速度比地球的小，选项D错误5如图所示，两个星球A，B组成双星系统，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动已知A，B星球质量分别为mA，mB，引力常量为G.求(其中L为两星中心距离，T为两星的运动周期)解析：设A，B两个星球做圆周运动的半径分别为r
21、A，rB.则rArBL，对星球A：GmArA对星球B：GmBrB联立以上三式求得.答案：双星问题的分析思路方法解读(1)双星中两颗子星做匀速圆周运动的向心力来源双星中两颗子星相互绕着旋转可看做是匀速圆周运动，其向心力由两颗子星间的万有引力提供由于力的作用是相互的，所以两颗子星做圆周运动的向心力大小是相等的，利用万有引力定律可以求得其大小(2)双星中两颗子星做匀速圆周运动的运动参量的关系两子星绕着连线上的一点做圆周运动，所以它们的运动周期是相等的，角速度也是相等的，所以线速度与两子星的轨道半径成正比(3)两子星做圆周运动的动力学关系设双星的两子星的质量分别为M1和M2，相距L，M1和M2的线速度
22、分别为v1和v2，角速度为，由万有引力定律和牛顿第二定律得M1：GM1M1r12，M2：GM2M2r22警示：在求两子星间的万有引力时两子星间的距离不是两子星做圆周运动的轨道半径【例】双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为()A.TB.TC.T D.T解答本题时需要把握以下两点：(1)两颗恒星没有被强大的引力吸引到一起而保持一定的距
23、离不变，这是因为它们围绕共同的圆心做匀速圆周运动(2)两恒星之间的万有引力提供各自做圆周运动的向心力，两恒星做圆周运动的周期相等解析如图所示，设两恒星的质量分别为M1和M2，轨道半径分别为r1和r2.根据万有引力定律及牛顿第二定律可得M1()2r1M2()2r2，解得2(r1r2)，即2，当两星的总质量变为原来的k倍，它们之间的距离变为原来的n倍时，有2，联立两式可得TT，故选项B正确答案B变式训练(多选)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s时，它们相距约400 km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈，将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星(BC)A质量之积 B质量之和C速率之和 D各自的自转角速度解析：双中子星做匀速圆周运动的频率f12 Hz(周期T s)，由万有引力等于向心力，可得，Gm1r1(2f)2，Gm2r2(2f)2，r1r2r400 km，联立解得：(m1m2)，选项B正确，A错误；由v1r12fr1，v2r22fr2，联立解得：v1v22fr，选项C正确；不能得出各自自转的角速度，选项D错误
