1、专题三 解析几何2013年2月（杨浦区2013届高三一模 理科）17若、为双曲线: 的左、右焦点，点在双曲线上，=，则到轴的距离为 （ ） 17；（青浦区2013届高三一模）15设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（ ）. . . （嘉定区2013届高三一模 理科）9点是曲线上的一个动点，且点为线段的中点，则动点的轨迹方程为_9 （崇明县2013届高三一模）17、等轴双曲线：与抛物线的准线交于两点，则双曲线的实轴长等于（）ABC4D8 17、 （黄浦区2013届高三一模 理科）13已知F是双曲线：的右焦点，O是双曲线的中心，直线是双曲线的一条渐近线以线段OF为边作正三角形MOF
2、，若点在双曲线上，则的值为 13； （松江区2013届高三一模 理科）7抛物线的焦点为椭圆 的右焦点，顶点在椭圆的中心，则抛物线方程为 7 （虹口区2013届高三一模）14、设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值等于 14、；（松江区2013届高三一模 理科）14定义变换将平面内的点变换到平面内的点若曲线经变换后得到曲线，曲线经变换后得到曲线，依次类推，曲线经变换后得到曲线，当时，记曲线与、轴正半轴的交点为和某同学研究后认为曲线具有如下性质：对任意的，曲线都关于原点对称；对任意的，曲线恒过点；对任意的，曲线均在矩形（含边界）的内部，其中的坐标为；记矩形的面积为，则其中所有正确结论的序号是 14
3、（杨浦区2013届高三一模 理科）3抛物线的焦点到准线的距离为 . 32；（黄浦区2013届高三一模 理科）11已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，该抛物线的顶点到直线MF的距离为d，则d的值为 11； （奉贤区2013届高三一模）13、（文）等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点，；则的实轴长为_文 （青浦区2013届高三一模）3抛物线的焦点坐标是_ （奉贤区2013届高三一模）14、（文）椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于点、，当的周长最大时，的面积是_ 文（杨浦区2013届高三一模 理科）5若直线:，则该直线的倾斜角是 . 5；（金山区2013届高三一模）11双曲线C：
4、x2 y2 = a2的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A、B两点，则双曲线C的方程为_11 （虹口区2013届高三一模）4、双曲线的两条渐近线的夹角大小等于 4、； （嘉定区2013届高三一模 理科）21（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分已知椭圆：（）经过与两点，过原点的直线与椭圆交于、两点，椭圆上一点满足OABMxy（1）求椭圆的方程；（2）求证：为定值21（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）OABMxy（1）将与代入椭圆的方程，得，（2分）解得，（5分）所以椭圆的方程为（6分）（2）由，知在线段的垂直平分线上，由椭圆的
5、对称性知、关于原点对称若点、在椭圆的短轴顶点上，则点在椭圆的长轴顶点上，此时（1分）同理，若点、在椭圆的长轴顶点上，则点在椭圆的短轴顶点上，此时（2分）若点、不是椭圆的顶点，设直线的方程为（），则直线的方程为设，由，解得，（4分）所以，同理可得，所以（7分）综上，为定值（8分） （黄浦区2013届高三一模 理科）22（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分给定椭圆C：，称圆心在原点O、半径是的圆为椭圆C的“准圆”已知椭圆C的一个焦点为，其短轴的一个端点到点的距离为（1）求椭圆C和其“准圆”的方程；（2）若点是椭圆C的“准圆”与轴正半轴的交点，是椭
6、圆C上的两相异点，且轴，求的取值范围；（3）在椭圆C的“准圆”上任取一点，过点作直线，使得与椭圆C都只有一个交点，试判断是否垂直？并说明理由22（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分解：（1）由题意知，且，可得，故椭圆C的方程为，其“准圆”方程为 4分（2）由题意，可设，则有，又A点坐标为，故，故, 8分又，故， 所以的取值范围是 10分（3）设，则当时，则其中之一斜率不存在，另一斜率为0，显然有当时，设过且与椭圆有一个公共点的直线的斜率为，则的方程为，代入椭圆方程可得，即，由， 13分可得，其中， 设的斜率分别为，则是上述方程的两个根，故，即
7、综上可知，对于椭圆上的任意点，都有 16分（虹口区2013届高三一模）21、（本题满分14分）已知圆（1）直线：与圆相交于、两点，求；（2）如图，设、是圆上的两个动点，点关于原点的对称点为，点关于轴的对称点为，如果直线、与轴分别交于和，问是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由 21、（14分）解：（1）圆心到直线的距离圆的半径，4分（2），则，8分：，得：，得12分14分来源:学科网（金山区2013届高三一模）22（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1、F2，线段OF1、OF2的中点分别为B1、B
8、2，且AB1B2是面积为的直角三角形过1作直线l交椭圆于P、Q两点(1) 求该椭圆的标准方程；(2) 若，求直线l的方程；(3) 设直线l与圆O：x2+y2=8相交于M、N两点，令|MN|的长度为t，若t，求B2PQ的面积的取值范围22解：（1）设所求椭圆的标准方程为,右焦点为. 因AB1B2是直角三角形，又|AB1|=|AB2|，故B1AB2=90，得c=2b1分在RtAB1B2中，从而.3分因此所求椭圆的标准方程为： 4分(2)由(1)知,由题意知直线的倾斜角不为0,故可设直线的方程为：,代入椭圆方程得,6分设P(x1, y1)、Q(x2, y2)，则y1、y2是上面方程的两根，因此， ，
9、又，所以 8分由，得=0，即，解得； 所以满足条件的直线有两条,其方程分别为：x+2y+2=0和x2y+2=010分 (3) 当斜率不存在时，直线，此时，11分当斜率存在时，设直线，则圆心到直线的距离，因此t=，得13分联立方程组：得，由韦达定理知，所以，因此. 设，所以，所以15分综上所述：B2PQ的面积16分 （宝山区2013届期末）22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分设抛物线C：的焦点为F，经过点F的直线与抛物线交于A、B两点(1)若，求线段中点M的轨迹方程； (2) 若直线AB的方向向量为，当焦点为时，求的面积； (3) 若M是
10、抛物线C准线上的点，求证：直线的斜率成等差数列解：(1) 设，焦点，则由题意，即2分所求的轨迹方程为，即4分(2) ，直线，5分由得，7分， 8分 9分(3)显然直线的斜率都存在，分别设为点的坐标为设直线AB：，代入抛物线得，11分所以，12分又，因而，因而14分而，故16分（崇明县2013届高三一模）23、（本题18分，第(1)小题6分；第(2)小题12分）如图，椭圆的左焦点为，右焦点为，过的直线交椭圆于两点，的周长为8，且面积最大时，为正三角形（1）求椭圆的方程；（2）设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点试探究： 以为直径的圆与轴的位置关系？ 在坐标平面内是否存在定点，使得以
11、为直径的圆恒过点？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由yxABOF1F223、解：（1）当三角形面积最大时，为正三角形，所以 ，椭圆E的方程为 （2）由，得方程由直线与椭圆相切得 求得，中点到轴距离 。所以圆与轴相交。 （2）假设平面内存在定点满足条件，由对称性知点在轴上，设点坐标为， 。由得所以，即所以定点为。 （青浦区2013届高三一模）22(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分，第3小题满分2分.设直线交椭圆于两点，交直线于点（1）若为的中点，求证：；（2）写出上述命题的逆命题并证明此逆命题为真；（3）请你类比椭圆中（1）、（2）的结论，写出双曲线中类
12、似性质的结论（不必证明）解：（1）解法一：设2分 ，4分又7分解法二（点差法）：设，两式相减得即3分 7分（2）逆命题：设直线交椭圆于两点，交直线于点若，则为的中点9分证法一：由方程组10分因为直线交椭圆于两点，所以，即，设、则 ，12分又因为，所以，故E为CD的中点14分证法二：设则，两式相减得即9分又，即 12分得，即为的中点14分（3）设直线交双曲线于两点，交直线于点则为中点的充要条件是16分（松江区2013届高三一模 理科）23（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分对于双曲线，定义为其伴随曲线，记双曲线的左、右顶点为、.（1）当时，记双
13、曲线的半焦距为，其伴随椭圆的半焦距为，若，求双曲线的渐近线方程；（2）若双曲线的方程为，弦轴，记直线与直线的交点为，求动点的轨迹方程；（3）过双曲线的左焦点，且斜率为的直线与双曲线交于、两点，求证：对任意的，在伴随曲线上总存在点，使得.23解：（1）， 1分由，得，即 可得 3分 的渐近线方程为 4分（2）设，又、，直线的方程为直线的方程为 6分由得 8分 在双曲线上 10分（3）证明：点的坐标为，直线的方程为，设、的坐标分别为、 11分则由 得，即，当时， 13分 由 知 ， 16分双曲线的伴随曲线是圆，圆上任意一点到的距离， 17分 对任意的，在伴随曲线上总存在点， 使得18分（杨浦区20
14、13届高三一模 理科）21（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 椭圆的中心为坐标原点，右焦点为，且椭圆过点. 若的三个顶点都在椭圆上，设三条边的中点分别为. （1）求椭圆的方程； （2）设的三条边所在直线的斜率分别为，且.若直线的斜率之和为0，求证：为定值.21（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 解：（1）设椭圆的方程为，由题意知：左焦点为所以， 4分解得， 故椭圆的方程为 6分（方法2、待定系数法）（2）设，由：， 8分两式相减，得到所以，即， 11分同理，所以，又因为直线的斜率之和为0，所以 14分方法2、(可参照方法1给分)设直线：，代入椭圆，得到，化简得(以下略)
