1、第2课时 互斥事件习题课 关键能力合作学习 类型一 对立事件公式的应用(逻辑推理)【典例】一个袋中装有4个形状、大小完全相同的球,球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机抽取2个球,求取出的球的编号之和不大于4的概率;(2)先从袋中随机取1个球,该球的编号为m,将球放回袋中,再从袋中随机取1个球,该球的编号为n,求nm+2的概率.四步 内容 理解 题意 条件:一个袋中装有4个球,编号分别为1,2,3,4.结论:(1)随机抽取2个球,求取出的球的编号之和不大于4的概率;(2)先随机取1个球,该球的编号为m,将球放回袋中,再从袋中随机取1个球,该球的编号为n,求nm+2的概率.思路 探求(1
2、)利用列举法求出基本事件的总数,进而求出概率;(2)是有放回抽样,所取的编号有先后次序之分,基本事件的总数为16,利用“正难则反”思想求解.书写 表达(1)从袋子中随机取2个球,其一切可能的结果组成的基本事件有1和 2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4,共6个.从袋中随机取出的球的编号之和不大于4的事件有1和2,1和3,共2个.因此所求事件的概率为 .21=63书写 表达(2)先从袋中随机取1个球,记下编号为m,放回后,再从袋中随机取1个球,记下编号为n,其一切可能的结果(m,n)有:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1
3、),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共16个.满足条件nm+2的结果为(1,3),(1,4),(2,4),共3个.所以满足条件 nm+2的事件的概率P=,故满足条件nm+2的事件的概率为1-P=1-.注意书写的规范性:第(1)问中,按照古典概型步骤求解;第(2)问中,满足nm+2的基本事件较多,可考虑其对立事件.316313=1616四步 内容 题后 反思 对立事件也是互斥事件,所以可运用概率加法公式,此时公式可变 为P(A)+P()=1,即P(A)=1-P().AA【解题策略】1.当直接计算符合条件的事件个数较多时,可先计算其对立事件的概率
4、,再由公 式P(A)=1-P()间接地求出符合条件的事件的概率,培养正难则反的思想.2.应用公式时,一定要分清事件的对立事件到底是什么事件,不能重复或遗漏.A【跟踪训练】1.有4位同学,他们各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为_.【解析】每位同学有2种选法,基本事件的总数为24=16,其中周六、周日中有一 天无人参加的基本事件有2个,根据对立事件的概率公式知,周六、周日都有同 学参加公益活动的概率为1-.答案:27=168782.学生的视力下降是十分严峻的问题,通过随机抽样调查某校1 000名在校生,其中有200名学生裸眼视力在0.6以下,有45
5、0名学生祼眼视力在0.61.0,剩下的能达到1.0及以上,问:(1)这个学校在校生眼睛需要配镜或治疗(视力不足1.0)的概率为多少?(2)这个学校在校生视力合格(视力达到1.0及以上)的概率为多少?类型二 含有“至多”“至少”的事件(逻辑推理)【典例】1.从包含甲、乙的4名同学中任选2名参加植树节的义务劳动,则甲和乙至多有1人入选的概率为_.2.某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有10名队员,某些队员不只参加了一支球队,具体情况如图所示.现从中随机抽取一名队员,求:(1)该队员只属于一支球队的概率;(2)该队员最多属于两支球队的概率.【思路导引】1.明确“甲和乙至多有一人入选”的对立事件是“
6、甲和乙两人都入选”,然后应用对立事件的概率公式计算.2.结合Venn图,运用古典概型求概率即可.【解题策略】1.含有“至多”“至少”等词语的事件的对立事件 原事件对立事件至少有一个一个也没有至少有n个至多有n-1个至多有一个至少有两个至多有n个至少有n+1个都不都2.含有“至多”“至少”等词语的复杂事件的概率的常用解法(1)将所求事件转化成彼此互斥的事件的和,一定要将事件分拆成若干互斥的事件,不能重复和遗漏.(2)先求其对立事件的概率,然后再运用公式求解.一定要找准其对立事件,否则容易出现错误.【跟踪训练】某医院一天内派出医生下乡医疗,派出医生的人数及其概率如下:医生人数 0 1 2 3 4
7、5及其以上 概率 0.18 0.25 0.36 0.1 0.1 0.01(1)求派出至多2名医生的概率;(2)求派出至少3名医生的概率.类型三 概率加法公式的综合应用(数学建模)角度1 概率加法公式的实际应用 【典例】在数学考试中,小明的成绩在90分及90分以上的概率是0.18,在8089分(包括80分与89分,下同)的概率是0.51,在7079分的概率是0.15,在6069分的概率是0.09,60分以下的概率是0.07.计算下列事件的概率:(1)小明在数学考试中取得80分及80分以上的成绩;(2)小明考试及格(60分及60分以上为及格).【思路导引】(1)将所求事件“取得80分及80分以上的
8、成绩”表示为已知概率的事件的和,然后运用公式求解;(2)将所求事件表示为已知概率的事件的和,也可以考虑所求事件的对立事件.角度2 与古典概型综合问题 【典例】为积极配合世界大运会志愿者招募工作,某大学数学学院拟成立由4名同学组成的志愿者招募宣传队,经过初步选定,2名男同学,4名女同学共6名同学成为候选人,每位候选人当选宣传队队员的机会是相同的.(1)求当选的4名同学中恰有1名男同学的概率;(2)求当选的4名同学中至少有3名女同学的概率.【思路导引】“当选的4名同学中至少有3名女同学”包括两种情况:(1)3女1男;(2)4女.【解题策略】解决互斥事件、对立事件与古典概型的综合问题的方法 解决此类
9、问题的关键是理解题目的实际含义,把实际问题转化为概率模型,必要时将所求的事件转化成彼此互斥的事件的和,或者先求其对立事件的概率,进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求解.【题组训练】1.近年来,某市为促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱,为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000吨生活垃圾,数据统计如下(单位:吨):“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱 厨余 垃圾 400 100 100 可回 收物 30 240 30 其他 垃圾 20 20 60(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率;
10、(2)试估计生活垃圾投放错误的概率.2.一盒中装有各色球12个,其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球.从中随机取出1球,求:(1)取出1球是红球或黑球的概率;(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率.【补偿训练】甲、乙两名考生在填报志愿时都选中了A,B,C,D四所需要面试的院校,这四所院校的面试安排在同一时间.因此甲、乙都只能在这四所院校中选择一所,假设每位同学选择各个院校是等可能的,试求:(1)甲、乙选择同一所院校的概率;(2)院校A,B至少有一所被选择的概率.1.先后抛掷硬币三次,则至少一次正面朝上的概率是()【解析】选D.先后抛掷硬币三次,共8种基本事件,其中“三次反面朝上”包含 基
11、本事件个数为1,所以“三次反面朝上”的概率为 ,又“至少一次正面朝 上”的对立事件是“三次反面朝上”,所以至少一次正面朝上的概率是 .课堂检测素养达标 1357A.B.C.D.888818782.某产品分一、二、三级,其中一、二级是正品,若生产中出现正品的概率是0.98,二级品的概率是0.21,那么出现一级品与三级品的概率分别是()A.0.77,0.21 B.0.98,0.02 C.0.77,0.02 D.0.78,0.22【解析】选C.因为生产中出现正品的概率是0.98,二级品的概率是0.21,一、二级是正品,所以出现一级品的概率是0.98-0.21=0.77,因为产品分一、二、三级,一、二
12、级是正品,出现正品的概率是0.98,所以出现三级品的概率是1-0.98=0.02.3.某产品共有三个等级,分别为一等品、二等品和不合格品.从一箱产品中随机抽取1件进行检测,若“抽到一等品”的概率为0.65,“抽到二等品”的概率为0.3,则“抽到不合格品”的概率为_.【解析】记“抽到一等品”为事件A,抽到“二等品”为事件B,抽到“不合格品”为事件C,则 P(A+B)=0.65+0.3=0.95.P(C)=1-P(A+B)=0.05.答案:0.05 4.掷一枚骰子的试验,事件A表示“小于5的偶数点出现”,事件B表示“小于5的点数出现”,则事件A+发生的概率为_.B5.高一(2)班数学兴趣小组有男生和女生各3名,现从中任选2名学生去参加数学竞赛,计算下列事件的概率:(1)恰有一名参赛学生是男生;(2)至少有一名参赛学生是男生;(3)至多有一名参赛学生是男生.【解题指南】(1)利用古典概型知识求解,(2)(3)利用对立事件处理较为简单.