1、第三章33.1 几何概型思路方法技巧命题方向1与长度有关的几何概型问题 与长度有关的几何概型问题综述：(1)如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为：P(A)构成事件A的区域长度试验的全部结果所构成的区域长度.(2)将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解(3)几何概型的计算步骤：判断是否为几何概型；确定并计算基本事件空间；计算事件A所含基本事件对应的区域的几何度量；代入公式计算(4)在求解与长度有关的几何概型时，
2、首先找到几何区域D，这时区域D可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A发生对应的区域d，在找d的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件A的概率特别提醒 解几何概型问题时，常常需要寻找不等关系要找不等关系，先找等量关系，再借助图形分析寻找不等关系例1 如图，A、B两盏路灯之间的距离是30米，由于光线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯C、D，问A与C、D，B与C、D之间的距离都不小于10米的概率是多少？分析 在A、B之间每一位置安装路灯C、D都是一个基本事件，基本事件有无限多个，且每一个基本事件的发生都是等可能的，因此事件发生的概率只与长度有关，符合几何概型条件解析 记
3、事件E：“A与C、D，B与C、D之间的距离都不小于10米”，把AB三等分，由于中间长度为301310(米)，所以P(E)103013.规律总结：将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一样随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解某汽车站每隔15分钟就有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一位乘客到达车站后等车时间大于10分钟的概率分析 把时刻抽象为点，时间就抽象为线段，故可用几何概型求解解析 设上辆车于时刻T1到达，而下一辆车于时刻T2到达，线段T1T2的长度为15，设T是线段
4、T1T2上的点，且T1T5，T2T10.如图所示记等车时间大于10分钟为事件A，则当乘客到达车站的时刻t落在线段T1T上时，事件A发生，区域T1T2的长度为15，区域T1T的长度为5.所以P(A)T1T的长度T1T2的长度 51513.答：乘客等车时间大于10分钟的概率是13.规律总结：本题把时间用一条线段表示，使问题变得直观，本题也可以用区间表示，即公式的分母为区间(0,15，分子为区间(0,5).命题方向2与面积有关的几何概型问题 与面积有关的几何概型问题解法：(1)如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示，则其概率的计算公式为：P(A)构成事件A的区域面积试验的全部结果所构成的区
5、域面积.(2)解几何概型问题的关键点：根据题意确认是否是与面积有关的几何概型问题找出或构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征计算相关面积，套用公式从而求得随机事件的概率例2 如图在墙上挂着一块边长为16cm的正方形木板，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为2cm,4cm,6cm，某人站在3m远向此板投镖设投镖击中线上或没有击中木板时都不算，可重投，问：(1)投中大圆内的概率是多少？(2)投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少？(3)投中大圆之外的概率是多少？解析 投中正方形木板上每一点(投中线上或没投中不算)都是一个基本事件，这一点可以是正方形木板上任意一点，因而基本事件有无限多个
6、，且每个基本事件发生的可能性都相等所以，投中某一部分的概率只与这部分的几何度量(面积)有关，这符合几何概型的条件设事件A“投中大圆内”；B“投中小圆与中圆形成的圆环”，C“投中大圆之外”S正方形162256(cm2)AS大圆6236(cm2)BS中圆S小圆422212(cm2)CS正方形S大圆25636(cm2)由几何概率公式得：(1)P(A)A36256964，(2)P(B)B12256364，(3)P(C)C256362561964.向面积为S的ABC内任投一点P，则PBC的面积小于S2的概率是_答案 34解析 如图，设ABC的边BC上的高为AD，EF为ABC的中位线，则当P点到底边BC的
7、距离小于12AD，即P点落在梯形BEFC中时，PBC的面积小于 S2，记“PBC的面积小于 S2”为事件A，则由几何概型的概率公式得P(A)34134.命题方向3与体积有关的几何概型问题 体积型几何概型问题解法探秘：1如果试验的全部结果所构成的区域可用体积来度量，我们要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出基本事件所占的体积及事件A占的体积其概率的计算公式为：P(A)构成事件A的体积试验的全部结果构成的体积.2解决此类问题一定要注意几何概型的条件，并且要特别注意所求的概率是与体积有关还是与长度有关，不要将二者混淆例3 有一杯1升的水，其中含有1个细菌，用一个小杯从这杯水中取出0.1升，求小杯
8、水中含有这个细菌的概率分析 细菌在这1升水中的分布可以看作是随机的，所以基本事件的个数是无限且等可能的，故该问题为几何概型问题又取得0.1升水可作为事件的区域，所以该问题是与体积有关的几何概型问题解析 记“小杯水中含有这个细菌”为事件A，则事件A的概率只与取出的水的体积有关，符合几何概型的条件.小瓶中有0.1升水，原瓶中有2升水，是几何概型求概率的公式得P(A)0.12 0.05.在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，在正方体内随机取点M.(1)求M与面ABCD的距离大于a3的概率；(2)求M与面ABCD及面A1B1C1D1的距离都大于a3的概率分析 解本题的关键是确定界面解析 V正方
9、体a3.(1)所求概率为23a3a3 23.(2)所求概率为13a3a3 13.规律总结：本题综合考查了立体几何的体积计算及几何概型概率的计算名师辩误做答例 4 在等腰 RtABC 中，过直角顶点 C 在ACB 内部任作一条射线 CM，与线段 AB 交于点 M，求|AM|AC|的概率命题方向4几何概型应用 错解 在AB上取点C，使ACAC.在ACB内作射线CM看作在线段AC上任取一点M，过C、M作射线CM，则概率为ACAB ACAB 22.辨析 虽然在线段AC上任取一点M是等可能的，但过点C和任取的点所作的射线是不均匀的，因而不能把等可能取点看作等可能作射线，尽管点与射线是一一对应的，因此在确定基本事件时，一定要注意选择好观察角度，注意判断基本事件发生的等可能性正解 在ACB内的射线CM是均匀分布的，所以射线CM在任何位置都是等可能的在AB上取ACAC，则ACC67.5，故满足条件的概率为67.590 0.75.点评 如图在角AOB内任意作射线，则射线落在BOR内的概率是一定的，但CMAC，DRAD，BNBE的值是变化的