1、第四节古典概型考点要求1.理解古典概型及其概率计算公式.2.会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率.3.了解随机数的意义，能运用随机模拟的方法估计概率.4.了解几何概型的意义(对应学生用书第193页)1基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和2古典概型的特点3古典概型的概率计算公式：P(A).一、思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率()(2)从区间1，10内任取一个数，取到1的概率是.()(3)概率为0的事件一定是不可能事件()(4)从市场上出售的标准为5005 g的袋装食盐中
2、任取一袋测其重量，属于古典概型()答案(1)(2)(3)(4)二、教材改编1一枚硬币连掷2次，只有一次出现正面的概率为()ABC DD一枚硬币连掷2次可能出现(正，正)、(反，反)、(正，反)、(反，正)四种情况，只有一次出现正面的情况有两种，故P.2(2019唐山模拟)抛掷两枚质地均匀的骰子，向上的点数之差的绝对值为3的概率是()A BC DB抛掷两枚质地均匀的骰子，向上的点数之差的绝对值为3的情况有：1，4；4，1；2，5；5，2；3，6；6，3，共6种，而抛掷两枚质地均匀的骰子的情况有36种，所以所求概率P，故选B.3袋中装有6个白球，5个黄球，4个红球，从中任取一球，则取到白球的概率为
3、()A BC DA从袋中任取一球，有15种取法，其中取到白球的取法有6种，则所求概率为P.4同时掷两个骰子，向上点数不相同的概率为_掷两个骰子一次，向上的点数共6636(种)可能的结果，其中点数相同的结果共有6种，所以点数不相同的概率P1.(对应学生用书第193页)考点1简单的古典概型计算古典概型事件的概率可分3步(1)计算基本事件总个数n；(2)计算事件A所包含的基本事件的个数m；(3)代入公式求出概率P.提醒：解题时可根据需要灵活选择列举法、列表法或树形图法(1)甲在微信群中发布6元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁三人抢完若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则乙获得“手气最佳”(即乙领
4、取的钱数不少于其他任何人)的概率是()ABCD(2)(2017全国卷)从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为()A B C D(3)(2019全国卷)我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是()A B C D(1)D(2)D(3)A(1)用(x，y，z)表示乙、丙、丁抢到的红包分别为x元、y元、z元乙、丙、丁三人抢完6元钱的所有不同的可能结果有10种，分别为(1，1，4)，(
5、1，4，1)，(4，1，1)，(1，2，3)，(1，3，2)，(2，1，3)，(2，3，1)，(3，1，2)，(3，2，1)，(2，2，2).乙获得“手气最佳”的所有不同的可能结果有4种，分别为(4，1，1)，(3，1，2)，(3，2，1)，(2，2，2).根据古典概型的概率计算公式，得乙获得“手气最佳”的概率P.(2)从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的情况如图：基本事件总数为25，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为10，所求概率P.故选D.(3)由6个爻组成的重卦种数为2664，在所有重卦中随机取一重卦，该重卦恰有3个阳爻的种数为C20.根据古典概型的概率计算公式得
6、，所求概率P.故选A.古典概型中基本事件个数的探求方法(1)枚举法：适合于给定的基本事件个数较少且易一一列举出的问题(2)树状图法：适合于较为复杂的问题，注意在确定基本事件时(x，y)可看成是有序的，如(1，2)与(2，1)不同，有时也可看成是无序的，如(1，2)与(2，1)相同(3)排列组合法：在求一些较复杂的基本事件个数时，可利用排列或组合的知识教师备选例题1设平面向量a(m，1)，b(2，n)，其中m，n1，2，3，4，记“a(ab)”为事件A，则事件A发生的概率为()ABCDA有序数对(m，n)的所有可能结果为：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(
7、2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共16个由a(ab)，得m22m1n0，即n(m1)2，由于m，n1，2，3，4，故事件A包含的基本事件为(2，1)和(3，4)，共2个，所以所求的概率P(A).2用1，2，3，4，5组成无重复数字的五位数，若用a1，a2，a3，a4，a5分别表示五位数的万位、千位、百位、十位、个位，则出现a1a2a3a4a5特征的五位数的概率为_1，2，3，4，5可组成A120个不同的五位数，其中满足题目条件的五位数中，最大的5必须排在中间，左、右各两个数字只要选出，则排列位置就随之而定，满
8、足条件的五位数有CC6个，故出现a1a2a3a4a5特征的五位数的概率为.1.(2019武汉模拟)将7个相同的小球投入甲、乙、丙、丁4个不同的小盒中，每个小盒中至少有1个小球，那么甲盒中恰好有3个小球的概率为()A B C DC将7个相同的小球投入甲、乙、丙、丁4个不同的小盒中，每个小盒中至少有1个小球有C种放法，甲盒中恰好有3个小球有C种放法，结合古典概型的概率计算公式得所求概率为.故选C.2已知a0，1，2，b1，1，3，5，则函数f(x)ax22bx在区间(1，)上为增函数的概率是()A B C DAa0，1，2，b1，1，3，5，基本事件总数n3412.函数f(x)ax22bx在区间(
9、1，)上为增函数，当a0时，f(x)2bx，符合条件的只有(0，1)，即a0，b1；当a0时，需要满足1，符合条件的有(1，1)，(1，1)，(2，1)，(2，1)，共4种函数f(x)ax22bx在区间(1，)上为增函数的概率是P.考点2古典概型与统计的综合求解古典概型的交汇问题，关键是把相关的知识转化为事件，然后利用古典概型的有关知识解决，其解题流程为： (2019天津高考)2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除某单位老、中、青员工分别有72，108，120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员
10、工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？(2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，B，C，D，E，F.享受情况如下表，其中“”表示享受，“”表示不享受现从这6人中随机抽取2人接受采访员工项目ABCDEF子女教育继续教育大病医疗住房贷款利息住房租金赡养老人()试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；()设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率解(1)由已知，老、中、青员工人数之比为6910，由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人(2)()
11、从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为A，B，A，C，A，D，A，E，A，F，B，C，B，D，B，E，B，F，C，D，C，E，C，F，D，E，D，F，E，F，共15种()由表格知，符合题意的所有可能结果为A，B，A，D，A，E，A，F，B，D，B，E，B，F，C，E，C，F，D，F，E，F，共11种所以，事件M发生的概率P(M).有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点，概率与统计的结合题，无论是直接描述还是利用概率分布表、频率分布直方图、茎叶图等给出信息，准确从题中提炼信息是解题的关键1.移动公司拟在国庆期间推出4G套餐，对国庆节当日办理套餐的客户进
12、行优惠，优惠方案如下：选择套餐1的客户可获得优惠200元，选择套餐2的客户可获得优惠500元，选择套餐3的客户可获得优惠300元国庆节当天参与活动的人数统计结果如图所示，现将频率视为概率(1)求从中任选1人获得优惠金额不低于300元的概率；(2)若采用分层抽样的方式从参加活动的客户中选出6人，再从该6人中随机选出2人，求这2人获得相等优惠金额的概率解(1)设事件A为“从中任选1 人获得优惠金额不低于300元”，则P(A).(2)设事件B为“从这6人中选出2人，他们获得相等优惠金额”，由题意按分层抽样方式选出的6人中，获得优惠200元的有1人，获得优惠500元的有3人，获得优惠300元的有2人，
13、分别记为a1，b1，b2，b3，c1，c2，从中选出2人的所有基本事件如下：a1b1，a1b2，a1b3，a1c1，a1c2，b1b2，b1b3，b1c1，b1c2，b2b3，b2c1，b2c2，b3c1，b3c2，c1c2，共15个其中使得事件B成立的有b1b2，b1b3，b2b3，c1c2，共4个则P(B).故这2人获得相等优惠金额的概率为.2某县共有90个农村淘宝服务网点，随机抽取6个网点统计其元旦期间的网购金额(单位：万元)的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数(1)根据茎叶图计算样本数据的平均数；(2)若网购金额(单位：万元)不小于18的服务网点定义为优秀服务网点，其余为非优秀
14、服务网点，根据茎叶图推断这90个服务网点中优秀服务网点的个数；(3)从随机抽取的6个服务网点中再任取2个作网购商品的调查，求恰有1个网点是优秀服务网点的概率解(1)由题意知，样本数据的平均数12.(2)样本中优秀服务网点有2个，概率为，由此估计这90个服务网点中优秀服务网点有9030(个).(3)样本中优秀服务网点有2个，分别记为a1，a2，非优秀服务网点有4个，分别记为b1，b2，b3，b4，从随机抽取的6个服务网点中再任取2个的可能情况有：(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，b4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)，(b1，
15、b2)，(b1，b3)，(b1，b4)，(b2，b3)，(b2，b4)，(b3，b4)，共15种，记“恰有1个是优秀服务网点”为事件M，则事件M包含的可能情况有：(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，b4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)，共8种，故所求概率P(M).课外素养提升数学建模数学文化与概率(对应学生用书第195页)数学文化是国家文化素质教育的重要组成部分，纵观近几年高考，概率统计部分以数学文化为背景的问题，层出不穷，让人耳目一新同时它也使考生们受困于背景陌生，阅读受阻，使思路无法打开下面通过对典型例题的剖析，让同学们增加对数学文化的
16、认识，进而加深对数学文化的理解，提升数学核心素养以古代文化经典为素材【例1】中国古代四大艺术，琴棋书画，源远流长，相传尧舜以棋教子，在春秋、战国时期，围棋已广为流行围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是，则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是()A.BCD1C设“从中取出2粒都是黑子”为事件A，“从中取出2粒都是白子”为事件B，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C，则CAB，且事件A与B互斥所以P(C)P(A)P(B).即任意取出2粒恰好是同一色的概率为.评析以中国古代四大艺术为载体，渗透中国传统文化艺术，涉及世界人文知识，可将实际问题转化为数学中的古典
17、概型问题，结合古典概型及互斥事件的概率给与解答【素养提升练习】1.(2019贵阳一模)齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为()A. B C DA分别用A，B，C表示齐王的上、中、下等马，用a，b，c表示田忌的上、中、下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛有Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc共9场比赛，其中田忌马获胜的有Ba，Ca，Cb共3场比赛，所以田忌马获胜的概率为.2.五行学说是华夏民族创造的哲学思
18、想，是华夏文明重要组成部分古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系若从5类元素中任选2类元素，则2类元素相生的概率为()A. B C DA金、木、水、火、土任取两类，共有：金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土10种结果，其中两类元素相生的有火木、火土、木水、水金、金土共5结果，所以2类元素相生的概率为，故选A.3生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六
19、艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排的概率为()A. B C DC基本事件总数nA720，满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排包含的基本事件个数：第一节是数，有：AA72种排法，第二节是数，有：ACACA84种排法，m7284156，则满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排的概率p.故选C.4(2019宝鸡模拟)洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数如图，若从四个阴数和五个阳数中
20、随机选取3个不同的数，其和等于15的概率是()A. B C DA先计算从四个阴数和五个阳数共9个数字中随机选取3个不同的数，总共有C种选法，在计算符合条件和等于15的三个数的种类，即可算出概率从四个阴数和五个阳数共9个数字中随机选取3个不同的数，总共有C84种选法，其和等于15的三个数的种类共有8种，即：(图形中各横，各列，对角线所在的三个数字之和均为15).故其和等于15的概率是：，故选A.以数学家为素材【例2】(2018全国卷)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723.在不超过30的素数中，随机选取两个
21、不同的数，其和等于30的概率是()A. B C DC 不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，从中随机选取两个不同的数有C种不同的取法，这10个数中两个不同的数的和等于30的有3对，所以所求概率P，故选C.评析以我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得的成果为载体，展现了我国数学家在数学领域中的地位，可将实际问题转化为数学中的古典概型问题，结合古典概型解答【素养提升练习】1.我国数学家邹元治利用如图证明了勾股定理，该图中用勾(a)和股(b)分别表示直角三角形的两条直角边，用弦(c)来表示斜边，现已知该图中勾为3，股为4，若从图中随机取一点，则此点不落在
22、中间小正方形中的概率是()A. B C DBa3，b4，由题意得c5，因为大正方形的边长为ab347，小正方形的边长为c5，则大正方形的面积为49，小正方形的面积为25，所以满足题意的概率值为1.故选B.2费马素数是法国大数学家费马命名的，形如22n1的素数(如：22013)为费马素数，在不超过30的正偶数中随机选取一数，则它能表示为两个不同费马素数的和的概率是()A. B C DB在不超过30的正偶数中随机选取一数，基本事件总数n15，能表示为两个不同费马素数的和的只有835，20317，22517，共有3个则它能表示为两个不同费马素数的和的概率是P.以新时代气息为背景【例3】现有三张识字卡
23、片，分别写有“中”、“国”、“梦”这三个字将这三张卡片随机排序，则能组成“中国梦”的概率是()A. B C DD把这三张卡片排序有“中国梦”，“中梦国”，“国中梦”，“国梦中”，“梦中国”，“梦国中”，共有6种，能组成“中国梦” 的只有1种，故所求概率为.评析以“中国梦”为载体，展现了中国特色社会主义新时代的气息，将数学落实在中华传统美德，贯彻“弘扬正能量”的精神风貌中，可结合古典概型解答【素养提升练习】1.2019年，河北等8省公布了高考改革综合方案将采取“312”模式，即语文、数学、英语必考，然后考生先在物理、历史中选择1门，再在思想政治、地理、化学、生物中选择2门一名同学随机选择3门功课
24、，则该同学选到物理、地理两门功课的概率为()A. B C DB由题意可知总共情况为CC12，满足情况为C3，该同学选到物理、地理两门功课的概率为P.故选B.2(2019甘肃天水一中模拟)为了弘扬我国优秀传统文化，某中学广播站在中国传统节日：春节，元宵节，清明节，端午节，中秋节五个节日中随机选取两个节日来讲解其文化内涵，那么春节和端午节至少有一个被选中的概率是()A.0.3 B0.4 C0.6 D0.7D由题意得，从五个节日中随机选取两个节日的所有情况有C10种，设“春节和端午节至少有一个被选中”为事件A，则事件A包含的基本事件的个数为2CC7.由古典概型概率公式可得P(A)0.7.故选D.3电视台组织中学生知识竞赛，共设有5个版块的试题，主题分别是“中华诗词”“社会主义核心价值观”“依法治国理念”“中国戏剧”“创新能力”某参赛队从中任选2个主题作答，则“中华诗词”主题被该队选中的概率是_由于知识竞赛有五个板块，所以共有C10种结果，某参赛队从中任选2个主题作答，选中的结果为C4种，则“中华诗词”主题被选中的概率为P(A).
