1、单元质检四三角函数、解三角形(B)(时间:45分钟满分:100分)单元质检卷第8页一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)1.(2019山东潍坊统一考试)已知函数y=3sin 2x-cos 2x的图象向右平移02个单位长度,得到函数g(x)的图象,若函数g(x)为偶函数,则的值为()A.12B.6C.4D.3答案:B解析:由题意知,y=3sin 2x-cos 2x=2sin2x-6,其图象向右平移个单位长度,得到函数g(x)=2sin2x-2-6的图象.因为g(x)为偶函数,所以2+6=2+k,kZ,所以=6+k2,kZ.又因为0,2,所以=6.2.已知tan +1tan=4,则co
2、s2+4=()A.15B.14C.13D.12答案:B解析:由tan +1tan=4,得sincos+cossin=4,即sin2+cos2sincos=4,sin cos =14,cos2+4=1+cos2+22=1-sin22=1-2sincos2=1-2142=14.3.将函数f(x)=sin 2x的图象向右平移02个单位后得到函数g(x)的图象.若对满足|f(x1)-g(x2)|=2的x1,x2,有|x1-x2|min=3,则=()A.512B.3C.4D.6答案:D解析:由题意可知,g(x)=sin(2x-2).由|f(x1)-g(x2)|=2,可知f(x1)和g(x2)分别为f(x
3、)和g(x)的最大值和最小值(或最小值和最大值).不妨令2x1=2+2k(kZ),2x2-2=-2+2m(mZ),则x1-x2=2-+(k-m)(kZ,mZ).因为|x1-x2|min=3,0a=1,a+b+c2.故ABC的周长的取值范围是(2,3.6.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若ABC为锐角三角形,且满足sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,则下列等式成立的是()A.a=2bB.b=2aC.A=2BD.B=2A答案:A解析:sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,sin B+2sin Bcos
4、 C=(sin Acos C+cos Asin C)+sin Acos C,sin B+2sin Bcos C=sin B+sin Acos C,2sin Bcos C=sin Acos C,又ABC为锐角三角形,2sin B=sin A,由正弦定理,得a=2b.故选A.二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)7.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=45,cos C=513,a=1,则b=.答案:2113解析:因为cos A=45,cos C=513,且A,C为ABC的内角,所以sin A=35,sin C=1213,sin B=sin-(A+C)=sin(A
5、+C)=sin Acos C+cos Asin C=6365.又因为asinA=bsinB,所以b=asinBsinA=2113.8.已知ABC,AB=AC=4,BC=2.点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则BDC的面积是,cosBDC=.答案:152104解析: 如图,取BC中点E,DC中点F,由题意知AEBC,BFCD.在RtABE中,cosABE=BEAB=14,cosDBC=-14,sinDBC=1-116=154.SBCD=12BDBCsinDBC=152.cosDBC=1-2sin2DBF=-14,且DBF为锐角,sinDBF=104.在RtBDF中,cosBDF=sin
6、DBF=104.综上可得,BCD的面积是152,cosBDC=104.三、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)(2019北京,理15)在ABC中,a=3,b-c=2,cos B=-12.(1)求b,c的值;(2)求sin(B-C)的值.解:(1)由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,得b2=32+c2-23c-12.因为b=c+2,所以(c+2)2=32+c2-23c-12.解得c=5,所以b=7.(2)由cos B=-12得sin B=32.由正弦定理得sin C=cbsin B=5314.在ABC中,B是钝角,所以C为锐角.所以cos C=1-sin2C=1114.所以
7、sin(B-C)=sin Bcos C-cos Bsin C=437.10.(15分)已知函数f(x)=3sin 2x-cos 2x的图象关于直线x=3对称,其中-12,52.(1)求函数f(x)的解析式;(2)在ABC中,a,b,c分别为三个内角A,B,C的对边,锐角B满足fB2+12=253,b=2,求ABC面积的最大值.解:(1)因为f(x)=3sin 2x-cos 2x=2sin2x-6的图象关于直线x=3对称,所以23-6=k+2(kZ),所以=3k2+1(kZ).因为-12,52,所以-123k2+152(kZ),所以-1k1(kZ),所以k=0,=1,所以f(x)=2sin2x-
8、6.(2)因为fB2+12=2sin B=253,所以sin B=53.因为B为锐角,所以0B2,所以cos B=23.因为cos B=a2+c2-b22ac,所以a2+c2-b22ac=23,所以43ac=a2+c2-22ac-2,所以ac3,当且仅当a=c=3时,ac取到最大值3,所以ABC面积的最大值为12353=52.11.(15分)(2019河北衡水高三四调)在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若2a1-sin2B2=a+2bsin A2cos A2,c=12,ABC的面积为36.(1)求a的值;(2)若点M,N分别在边AB,BC上,且AM=8,ANCM,求AN的长.解
9、:(1)由题意知,2acos2B2=a+bsin A,则2a1+cosB2=a+bsin A,化简得,acos B=bsin A,由正弦定理得,sin Acos B=sin Bsin A.因为sin A0,所以tan B=1.因为B(0,),所以B=4.因为c=12,SABC=36,所以12a12sin 4=36,解得a=62.(2)由(1)及余弦定理可知,b=a2+c2-2accosB=62,故ABC为等腰直角三角形.所以BAC=4,ACB=2.在ACM中,CM=AC2+AM2-2ACAMcosBAC=210,则cosACM=AC2+CM2-AM22ACCM=55.又ANCM,所以ANC=ACM,所以sinANC=sinACM=1-cos2ACM=255.在RtACN中,AN=ACsinANC=310.
