1、3.2导数与函数的单调性最新考纲考情考向分析了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次).考查函数的单调性，利用函数的单调性求参数范围；强化分类讨论思想；题型以解答题为主，一般难度较大.函数的单调性与导数的关系条件恒有结论函数yf(x)在区间(a，b)上可导f(x)0f(x)在(a，b)内单调递增f(x)0在(a，b)上恒成立”，这种说法是否正确？提示不正确，正确的说法是：可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对x(a，b)，都有f(x)0(f(x)0)且f(x)在(a，b)上的任一非空子区间内都不恒为零题组一思考辨
2、析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f(x)0，则f(x)在此区间内没有单调性()(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f(x)0，则f(x)在此区间内单调递增()(3)在(a，b)内f(x)0且f(x)0的根有有限个，则f(x)在(a，b)内是减函数()题组二教材改编2.如图是函数yf(x)的导函数yf(x)的图象，则下列判断正确的是()A在区间(2,1)上f(x)是增函数B在区间(1,3)上f(x)是减函数C在区间(4,5)上f(x)是增函数D在区间(3,5)上f(x)是增函数答案C解析在(4,5)上f(x)0恒成立，f(x)是增函数3函
3、数f(x)cos xx在(0，)上的单调性是()A先增后减 B先减后增C增函数 D减函数答案D解析因为在(0，)上恒有f(x)sin x10，解得x0，故其单调递增区间是(0，)；由f(x)0，解得x0)在2，)上是增函数，则a的取值范围是_答案(0,2解析由y10，得xa或xa.yx的单调递增区间为(，a，a，)函数在2，)上单调递增，2，)a，)，a2.又a0，0a2.6已知函数f(x)x2(xa)(1)若f(x)在(2,3)上单调，则实数a的取值范围是_；(2)若f(x)在(2,3)上不单调，则实数a的取值范围是_答案(1)(，3(2)解析由f(x)x3ax2，得f(x)3x22ax3x
4、.(1)令f(x)0，得x0或x，若f(x)在(2,3)上单调递减，则有3，解得a；若f(x)在(2,3)上单调递增，则有2，解得a3，所以若f(x)在(2,3)上单调，实数a的取值范围是(，3.(2)若f(x)在(2,3)上不单调，则有可得3a0)，当x(0,1)时，f(x)0，f(x)为增函数2函数f(x)(x3)ex的单调递增区间是()A(，2) B(0,3)C(1,4) D(2，)答案D解析f(x)(x3)ex(x3)(ex)(x2)ex，令f(x)0，解得x2，故选D.3函数f(x)x2的单调递增区间是_；单调递减区间是_答案(，0)(0,1)解析f(x)的定义域为x|x1，f(x)
5、1.令f(x)0，得x0.当0x1时，f(x)0.当x0.f(x)的单调递增区间为(，0)，单调递减区间为(0,1)4已知定义在区间(，)上的函数f(x)xsin xcos x，则f(x)的单调递增区间是_答案和解析f(x)sin xxcos xsin xxcos x.令f(x)xcos x0，则其在区间(，)上的解集为，即f(x)的单调递增区间为和.思维升华确定函数单调区间的步骤(1)确定函数f(x)的定义域(2)求f(x)(3)解不等式f(x)0，解集在定义域内的部分为单调递增区间(4)解不等式f(x)0，试讨论函数yf(x)的单调性解函数的定义域为(0，)，f(x)ax(a1).当0a1
6、，x(0,1)和时，f(x)0；x时，f(x)1时，00；x时，f(x)0，函数f(x)在和(1，)上单调递增，在上单调递减综上，当0a1时，函数f(x)在和(1，)上单调递增，在上单调递减若将本例中参数a的范围改为aR，其他条件不变，试讨论f(x)的单调性？解a0时，讨论同上；当a0时，ax10；x(1，)时，f(x)0，函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减综上，当a0时，函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减；当0a1时，函数f(x)在和(1，)上单调递增，在上单调递减思维升华(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论(2
7、)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点跟踪训练1已知函数f(x)xa(2ln x)，a0.试讨论f(x)的单调性解由题意知，f(x)的定义域是(0，)，f(x)1.设g(x)x2ax2，关于x的二次方程g(x)0的判别式a28.当0即0a0都有f(x)0.此时f(x)是(0，)上的单调递增函数当0即a2时，仅对x有f(x)0，对其余的x0都有f(x)0.此时f(x)也是(0，)上的单调递增函数当0即a2时，方程g(x)0有两个不同的实根x1，x2，0x1x2.则当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0，x1)x1(x1，x2)x2(x2，
8、)f(x)00f(x)此时f(x)在，上单调递增，在上单调递减综上，当0f(1)fBf(1)ffCff(1)fDfff(1)答案A解析因为f(x)xsin x，所以f(x)(x)sin(x)xsin xf(x)，所以函数f(x)是偶函数，所以ff.又当x时，f(x)sin xxcos x0，所以函数f(x)在上是增函数，所以ff(1)f(1)f，故选A.(2)已知定义在(0，)上的函数f(x)满足xf(x)f(x)(m2 020)f(2)，则实数m的取值范围为_答案(2 020,2 022)解析令h(x)，x(0，)，则h(x).xf(x)f(x)0，h(x)(m2 020)f(2)，m2 0
9、200，即h(m2 020)h(2)m2 0200，解得2 020m2 022.实数m的取值范围为(2 020,2 022)命题点2根据函数单调性求参数例3已知函数f(x)ln xax22x(a0)在1,4上单调递减，求a的取值范围解因为f(x)在1,4上单调递减，所以当x1,4时，f(x)ax20恒成立，即a恒成立设G(x)，x1,4，所以aG(x)max，而G(x)21，因为x1,4，所以，所以G(x)max(此时x4)，所以a，又因为a0，所以a的取值范围是(0，)本例中，若f(x)在1,4上存在单调递减区间，求a的取值范围解因为f(x)在1,4上存在单调递减区间，则f(x)有解，又当x
10、1,4时，min1(此时x1)，所以a1，又因为a0，所以a的取值范围是(1,0)(0，)本例中，若f(x)在1,4上单调递增，求a的取值范围解因为f(x)在1,4上单调递增，所以当x1,4时，f(x)0恒成立，所以当x1,4时，a恒成立，又当x1,4时，min1(此时x1)，所以a1，即a的取值范围是(，1思维升华根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：yf(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集(2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x(a，b)都有f(x)0(f(x)0)且在(a，b)内的任一非空子区间上，f(x)不恒为零，应注意此时式
11、子中的等号不能省略，否则会漏解(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题跟踪训练2(1)已知函数f(x)x32xex，其中e是自然对数的底数，若f(a1)f(2a2)0，则实数a的取值范围是_答案解析由f(x)x32xex，得f(x)x32xexf(x)，所以f(x)是R上的奇函数，又f(x)3x22ex3x2223x2，当且仅当x0时取等号，所以f(x)0，所以f(x)在其定义域内单调递增，所以不等式f(a1)f(2a2)0f(a1)f(2a2)f(2a2)a12a2，解得1a，故实数a的取值范围是.(2)若函数f(x)xsin 2xasin x在R上单调递增，则a的取值范围是
12、()A1,1 B.C. D.答案C解析函数f(x)xsin 2xasin x在R上单调递增，等价于f(x)1cos 2xacos xcos2xacos x0在R上恒成立设cos xt，则g(t)t2at0在1,1上恒成立，所以解得a.故选C.1函数f(x)3xln x的单调递减区间是()A. B.C. D.答案B解析因为函数f(x)的定义域为(0，)，且f(x)ln xxln x1，令f(x)0，解得0x0恒成立，yxcos xsin x在(，2)上是增函数3函数f(x)ln xax(a0)的单调递增区间为()A. B.C. D(，a)答案A解析由f(x)a0，x0，得0x0的解集对应yf(x
13、)的增区间，f(x)0的解集对应yf(x)的减区间，验证只有D选项符合5.在R上可导的函数f(x)的图象如图所示，则关于x的不等式xf(x)0，使xf(x)0的范围为(，1)；在(1,1)上，f(x)单调递减，所以f(x)0，使xf(x)0的范围为(0,1)综上，关于x的不等式xf(x)0的解集为(，1)(0,1)6若0x1x2ln x2ln x1 Bln x2ln x1CD答案C解析设f(x)，则f(x).当0x1时，f(x)0，即f(x)在(0,1)上单调递减，0x1x21，f(x2)0)(1)若f(x)的单调递减区间是(0,4)，则实数k的值为_；(2)若f(x)在(0,4)上为减函数，
14、则实数k的取值范围是_答案(1)(2)解析(1)f(x)3kx26(k1)x，由题意知f(4)0，解得k.(2)由f(x)3kx26(k1)x0(k0)，并结合导函数的图象可知，必有4，解得k，故0k.8(2020西安八校联考)函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)f(2x)，且(x1)f(x)ac解析由已知可得f(x)的图象关于直线x1对称，且f(x)在(，1)上是增函数，ac，bac.9若函数f(x)x3x22ax在上存在单调递增区间，则a的取值范围是_答案解析对f(x)求导，得f(x)x2x2a22a.由题意知，f(x)0在上有解，当x时，f(x)的最大值为f2a.令2a0，解得a，所
15、以a的取值范围是.10设函数f(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数，f(1)0，当x0时，xf(x)f(x)0成立的x的取值范围是_答案(，1)(0,1)解析因为f(x)(xR)为奇函数，f(1)0，所以f(1)f(1)0.当x0时，f(x)0；当x0时，令g(x)，则g(x)为偶函数，g(1)g(1)0.则当x0时，g(x)0，故g(x)在(0，)上为减函数，在(，0)上为增函数所以在(0，)上，当0xg(1)0，得0，所以f(x)0；在(，0)上，当x1时，由g(x)g(1)0，得0.综上知，使得f(x)0成立的x的取值范围是(，1)(0,1)11已知函数f(x)(k为常数)，曲线yf(
16、x)在点(1，f(1)处的切线与x轴平行(1)求实数k的值；(2)求函数f(x)的单调区间解(1)f(x)(x0)又由题意知f(1)0，所以k1.(2)f(x)(x0)设h(x)ln x1(x0)，则h(x)0，所以h(x)在(0，)上单调递减由h(1)0知，当0x0，所以f(x)0；当x1时，h(x)0，所以f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递增；当a0时，f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递减；当0a1时，令f(x)0，解得x，则当x时，f(x)0，故f(x)在上单调递减，在上单调递增综上，当a1时，f(x)在(0，)上单调递增；当a0时，f(x)在(0，)上单调递减；当0a0)，
17、f(x)x3，函数f(x)x23x4ln x在(t，t1)上不单调，f(x)x3在(t，t1)上有变号零点，0在(t，t1)上有解，x23x40在(t，t1)上有解，由x23x40得x1或x4(舍去)，1(t，t1)，t(0,1)，故实数t的取值范围是(0,1)14已知函数f(x)(xR)满足f(1)1，f(x)的导数f(x)，则不等式f(x2)的解集为_答案x|x1解析设F(x)f(x)x，F(x)f(x)，f(x)，F(x)f(x)0，即函数F(x)在R上单调递减f(x2)，f(x2)f(1)，F(x2)1，即不等式的解集为x|x115定义在区间(0，)上的函数yf(x)使不等式2f(x)
18、xf(x)3f(x)恒成立，其中yf(x)为yf(x)的导函数，则()A816 B48C34 D20，x0，0，令g(x)，g(x)在(0，)上单调递增，g(2)g(1)，即，又由2f(x)0，即4.xf(x)3f(x)0，0，令h(x)，h(x)在(0，)上单调递减，h(2)h(1)，即，即8.综上，40时，f(x)的递增区间为(0,1)，递减区间为(1，)；当a0)g(x)x3x22x，g(x)3x2(m4)x2.g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数，即g(x)在区间(t,3)上有变号零点由于g(0)2，当g(t)0时，即3t2(m4)t20对任意t1,2恒成立，由于g(0)0，故只要g(1)0且g(2)0，即m5且m9，即m0，即m.m9.即实数m的取值范围是.
