1、高考资源网（） 您身边的高考专家33一元二次不等式及其解法1.了解一元二次不等式的概念2.理解一元二次不等式、一元二次方程与二次函数的关系3掌握一元二次不等式的解法及有关问题1一元二次不等式(1)定义：含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式不等式，叫做一元二次不等式(2)一般表达形式：ax2bxc0(a0)或ax2bxc000)的图象ax2bxc0(a0)的根有两个不相等的实数根(x10(a0)的解集x|xx2或xx1x|xx1Rax2bxc0)的解集x|x1xx21不等式(x1)(2x)0的解集是()Ax|1x2Bx|x1或x2Cx|1x2 Dx|x2答案：A2不等式mx2x10(a0
2、)何时解集为R，何时解集为？解：当a0，0时，解集为R；当a0；(2)x22x3；(3)9x26x10；(4)x24x80，解得方程两根分别为x13，x25.所以原不等式的解集是x|x5法二：作函数yx28x15的图象，如图所示由图可知yx28x15的图象在x轴上方(即函数值大于零)的点的横坐标的取值范围是x5.故原不等式的解集为x|x5法三：原不等式可化为(x3)(x5)0，即或，解得x5.故原不等式的解集为x|x5(2)原不等式可化为x22x30.法一：方程x22x30的判别式224(3)16，解得方程两根分别为x13，x21.所以原不等式的解集为x|3x1法二：不等式x22x30可化为(
3、x3)(x1)0.所以或，解得3x1或x.所以原不等式的解集为x|3x1(3)因为0，方程9x26x10有两个相等的实数根：x1x2.函数y9x26x1的图象是开口向上的抛物线(如图)，与x轴仅有一个交点(，0)由图象可得不等式的解集为x|xR且x(4)因为1632160；(2)3x22x23x；(3)2x2x10，所以方程2x27x40有两个实数根：x1，x2.画出二次函数y2x27x4的图象如图所示，由图象得原不等式的解集为.(2)原不等式移项整理，得3x25x20.因为490，所以方程3x25x20有两个实数根，即x12，x2.画出函数y3x25x2的图象如图所示，由图象得原不等式的解集
4、为x|x(3)法一：因为90，方程2x2x10的两个根为x1，x21.函数y2x2x1的图象是开口向下的抛物线(如图)，与x轴交于点(，0)和(1，0)观察图象得不等式的解集为x|x1法二：不等式两边同乘以1，可得2x2x10.方程2x2x10的解为x1，x21，函数y2x2x1的图象是开口向上的抛物线，所以不等式的解集为x|x1含参数的一元二次不等式的解法学生用书P47解关于x的不等式(ax1)(x1)0.【解】若a0，则原不等式为一元一次不等式，解集为(，1)当a0时，方程(ax1)(x1)0的两根为x1，x21.当a0时，解集为(，1)；当1a0，即1时，解集为；当a1时，解集为；当a1
5、时，解集为.解含参数的一元二次不等式的一般步骤注意对解含参数的一元二次不等式，要注意分类讨论思想的应用 1.不等式x2ax12a20(其中a0)的解集为()A(3a，4a)B(4a，3a)C(3，a) D(2a，6a)解析：选B.方程x2ax12a20的两根为4a，3a，且4a3a，所以所求不等式的解集为x|4ax3a2设mR，解关于x的不等式m2x22mx30.解：(1)当m0时，30时，不等式变为(mx3)(mx1)0.即0，解得x.(3)当m0时，原不等式变为0.解得x0时，原不等式的解集为；当m；(3)0; (4)0.【解】(1)0x|4x2(2)绝对值大于本身，值为负数，故0x(x2
6、)0x|0x00(x3)(x2)(x1)0.将上式的三个根2，1，3在数轴上标出来，然后用一条曲线穿根(在最大根的右上方穿过)，所以原不等式的解集为x|2x3(4)00(x2)(x1)(x2)0，把各因式的根在数轴上标出，所以原不等式的解集为x|2x2解分式不等式注意的问题在分式转化为整式的过程中注意分母不为零，对于“”“”型的，转化后应变为不等式组用穿根法时应注意根的实虚 1.不等式3的解集是_解析：原不等式等价于3000x(2x1)0，且x0，解得x或x0的解集为(1，)，求关于x的不等式0的解集解：由于axb0的解集为(1，)所以a0，且1，则ab.故不等式0可化为0，又因为a0，所以原
7、式等价于0(x1)(x2)0.解得x2或x2或x0对xR恒成立问题，应结合二次函数的图象等价于或 a0，b0，c0.(2)对于含参数的不等式恒成立问题，若参数的次数是一次且易于分离，可以变换主元，借助于一次函数的单调性求解 1.若函数f(x)的定义域为R，则实数k的取值范围是_解析：由题意得，不等式x26kxk80的解集为R，所以函数yx26kxk8的图象在x轴上方，且与x轴至多有一个公共点所以(6k)241(k8)0，整理得9k2k80，(k1)(9k8)0，解得k1.所以实数k的取值范围是.答案：2对任意a1，1，函数f(x)x2(a4)x42a的值恒大于零，求x的取值范围解： 因为f(x
8、)0，所以x2(a4)x42a0，即(x2)a(x244x)0，设g(a)(x2)a(x24x4)，由题意知，即所以x3.所以x的取值范围为(，1)(3，).1一元二次不等式的解集与二次函数的图象、一元二次方程的根密切相联系解一元二次不等式要从函数、方程、不等式的统一角度来认识，利用数形结合的方法，画出二次函数的图象，写出不等式的解集对于二次项系数为正，且对应方程存在两个根的情况下，不等式的解是：大于取两边，小于取中间2解含参数的不等式时，对于二次项系数，与两根大小这三个方面，哪个不确定，就讨论哪个，多个不确定按顺序有层次的展开讨论3分式不等式要注意同解变形，做到两个确定，一要确定不等式的一端
9、为零，二要确定每个因式的最高次项系数为正4含参数的二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：是利用二次函数在区间上的最值来处理是分离出参数再求函数的最值对于含参数的不等式问题，一般要进行分类讨论，分类讨论时，应做到不重不漏，才能正确解答尤其要注意对x2系数的讨论，这一点容易忽略1不等式x22x10的解集是()ARBx|xR，且x1Cx|x1 Dx|x1答案：B2设集合Mx|x2x0，Nx|x|2，则()AMN BMNMCMNM DMNR解析：选B.因为x2x0，所以0x1，所以Mx|0x1因为|x|2，所以2x2，所以Nx|2x2所以MNM.3不等式x2(a)x10的解集为x|ax，则
10、a的取值范围是_解析：由题意可知a0时，a21，所以0a1；当a1，所以a1，所以所求a的取值范围为0a1或a0的解集为R，则实数m的取值范围是()A(2，) B(，2)C(，0)(2，) D(0，2)解析：选D.由题意知原不等式对应方程的0，即m2410，即m22m0，解得0m0，Bx|x22ax10，a0若AB中恰含有一个整数，则实数a的取值范围是()A BC D(1，)解析：选B.Ax|x22x30x|x1或x0，f(3)6a80，根据对称性可知，要使AB中恰含有一个整数，则这个整数解为2，所以有f(2)0且f(3)0，即所以即a.6不等式组的解集为_解析：原不等式组可化为解得0x1.答
11、案：x|0x0的解集为(，1)(4，)，则实数a_解析：注意到0等价于(xa)(x1)0，而解为x4，从而a4.答案：48若关于x的不等式x23xt0的解集为x|1xm，xR，则tm_解析：因为不等式x23xt0的解集为x|1xm，xR，所以1，m是方程x23xt0的两根，所以，解得.所以tm4.答案：49关于x的不等式(1m)x2mxmx21对xR恒成立，求实数m的取值范围解：原不等式等价于mx2mxm10对xR恒成立当m0时，0x20x10对xR恒成立当m0时，由题意，得m0.综上，m的取值范围为m0.10已知不等式mx2nx0，其中a是实数解：(1)由不等式mx2nx0的解集为，得方程m
12、x2nx0的两根为，2，且m0，即x(2a1)(x1)0，而方程x(2a1)(x1)0的两根为x12a1，x21，当2a11，即a1时，原不等式的解集为x|2a1x1，即a1时，原不等式的解集为x|1x2a1综上，当a1时，原不等式的解集为x|1x2a1，当a1时，原不等式的解集为，当a1时，原不等式的解集为x|2a1x1B能力提升11关于x的方程x2mx2m0的两个实根中，一个比1大，另一个比1小，则实数m的取值范围是()A(1，)B(，8)(1，)C(，1)D(，8)解析：选A.记f(x)x2mx2m，则依题意有f(1)12m12mm11，即m的取值范围是(1，)，选A.12若不等式ax2
13、bxc0的解集为x|1xbx的解集为_解析：依题意，1和2都是方程ax2bxc0的根，且abx可化为2aax.因为a0，所以2x，即0，当x1时，不等式不成立；当x1时，得x0.所以，所求不等式的解集为x|x0答案：x|x0时，原不等式化为(x)(x1)0x或x1(1)；(3)当a1，即a2时，原不等式等价于1x；当1，即a2时，原不等式等价于x1；当2时，原不等式等价于x1.综上所述：当a2时，原不等式的解集为1，；当a2时，原不等式的解集为1；当2a0时，原不等式的解集为(，1，).14.(选做题)已知不等式mx2mx10.(1)若xR时不等式恒成立，求实数m的取值范围；(2)若x1，3时不等式恒成立，求实数m的取值范围解：(1)若m0，原不等式可化为10，显然恒成立；若m0，则不等式mx2mx10恒成立解得4m0.综上可知，实数m的取值范围是(4，0(2)令f(x)mx2mx1，当m0时，f(x)10时，若对于x1，3不等式恒成立，只需即可，所以，解得m，所以0m.当m0时，函数f(x)的图象开口向下，对称轴为x，若x1，3时不等式恒成立，结合函数图象知只需f(1)0即可，解得mR，所以m0符合题意综上所述，实数m的取值范围是.高考资源网版权所有，侵权必究！