1、练案57第八讲曲线与方程A组基础巩固一、单选题1(2019云南质量检测)已知M(2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程为(D)Ax2y22Bx2y24Cx2y22(x)Dx2y24(x2)解析MN的中点为原点O，易知|OP|MN|2，P的轨迹是以原点O为圆心，2为半径的圆，除去与x轴的两个交点，即P的轨迹方程为x2y24(x2)，故选D.2方程lg(x2y21)0所表示的曲线图形是(D)3已知点F(1,0)，直线l：x1，点B是l上的动点若过B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是(D)A双曲线B椭圆C圆D抛物线解析连接MF，由中垂线性
2、质知|MB|MF|，即M到定点F的距离与它到直线x1距离相等点M的轨迹是抛物线，D正确4(2019金华模拟)已知点P是直线2xy30上的一个动点，定点M(1,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|MQ|，则Q点的轨迹方程是(D)A2xy10B2xy50C2xy10D2xy50解析设Q(x，y)，|PM|MQ|，M为线段PQ的中点，则P为(2x,4y)，代入2xy30，得Q点的轨迹方程为2xy50.5(2019四川雅安调研)设动点P在直线x1上，O为坐标原点，以OP为直角边、点O为直角顶点作等腰RtOPQ，则动点Q的轨迹是(B)A圆B两条平行直线C抛物线D双曲线解析设P(1，a)，Q(x，
3、y)以点O为直角顶点作等腰直角三角形OPQ，1，xay，|OP|OQ|，1a2x2y2a2y2y2(a21)y2，而a210，y21，y1或y1，动点Q的轨迹是两条平行于x轴的直线6若曲线C上存在点M，使M到平面内两点A(5,0)，B(5,0)距离之差的绝对值为8，则称曲线C为“好曲线”，以下曲线不是“好曲线”的是(B)Axy5Bx2y29C.1Dx216y解析M点的轨迹是双曲线 1，依题意，是“好曲线”的曲线与M点的轨迹必有公共点四个选项中，只有圆x2y29与M点的轨迹没有公共点，其他三个曲线与M点的轨迹都有公共点，所以圆x2y29不是“好曲线”7(2019大同模拟)设点A为圆(x1)2y2
4、1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|1，则P点的轨迹方程为(D)Ay22xB(x1)2y24Cy22xD(x1)2y22解析如图，设P(x，y)，圆心为M(1,0)，连接MA，则MAPA，且|MA|1.又|PA|1，|PM|，即|PM|22，(x1)2y22.8已知F是抛物线yx2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是(A)Ax22y1Bx22yCx2yDx22y2解析把抛物线方程yx2化成标准形式x24y，可得焦点F(0,1)，设P(x0，y0)，PF的中点为M(x，y)由中点坐标公式得，又P(x0，y0)在抛物线yx2上，2y1(2x)2，即x22y1，故选A.9(20
5、19江西省萍乡市模拟)已知动圆C经过点A(2,0)，且截y轴所得的弦长为4，则圆心C的轨迹是(D)A圆B椭圆C双曲线D抛物线解析设圆心C(x，y)，弦为BD，过点C作CEy轴，垂足为E，则|BE|2，|CA|2|BC|2|BE|2|CE|2，(x2)2y222x2，化为y24x，y24x为抛物线二、多选题10当(，)时，方程x2sin y2cos 1表示的轨迹可以是(ACD)A两条直线B圆C椭圆D双曲线解析当(，)时，sin (，1)，(1，)，cos (0，)，(，)，0.方程x2sin y2cos 1可化为1，表示焦点在y轴上的椭圆当时，sin 1，cos 0，方程x2sin y2cos
6、1化为x21，x1，表示两条直线当(，)时，sin (，1)，(1，)，cos (，0)，(，)，方程x2sin y2cos 1可化为1，表示焦点在x轴上的双曲线所以曲线不可能表示圆，故选A、C、D.11已知双曲线C过点(3，)且渐近线为yx，则下列结论正确的是(AC)AC的方程为y21BC的离心率为C曲线yex21经过C的一个焦点D直线xy10与C有两个公共点解析对于选项A：由已知可设所求双曲线方程为x2y2，又双曲线C过点(3，)，从而32()2，即1，从而A正确；对于选项B：由双曲线方程可知a，b1，c2，从而离心率为e，所以B错误；对于选项C：双曲线的右焦点坐标为(2,0)，满足yex
7、21，从而C正确；对于选项D：联立，整理，得y22y20，由(2)2420，知直线与双曲线C只有一个交点，D错误故选A、C.三、填空题12已知圆的方程为x2y24，若抛物线过点A(1,0)，B(1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是1(y0).解析设抛物线焦点为F，过A，B，O作准线的垂线AA1，BB1，OO1，则|AA1|BB1|2|OO1|4，由抛物线定义得|AA1|BB1|FA|FB|，|FA|FB|4，故F点的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)，所以抛物线的焦点轨迹方程为1(y0)13(2019江西九江联考)设F(1,0)，点M在x轴上，点P在y轴上
8、，且2，当点P在y轴上运动时，则点N的轨迹方程为_y24x_.解析设M(x0,0)，P(0，y0)，N(x，y)，由2，得即因为，(x0，y0)，(1，y0)，所以(x0，y0)(1，y0)0，所以x0y0，即xy20，所以点N的轨迹方程为y24x.四、解答题14(2019四川成都诊断)已知长度为4的线段AB的两个端点A，B分别在x轴和y轴上运动，动点P满足3，记动点P的轨迹方程为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)设不经过点H(0,1)的直线y2xt与曲线C相交于M，N若直线HM与HN的斜率之和为1，求实数t的值解析(1)设P(x，y)，A(m,0)，B(0，n)，3，(x，yn)3(mx，
9、y)(3m3x，3y)，即，.又|AB|4，m2n216.从而16y216.曲线C的方程为y21.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立，消去y，得37x236tx9(t21)0，由(36t)24379(t21)0，可得t.又直线y2xt不经过点H(0,1)，且直线HM与HN的斜率存在，t1.t8|C1C2|，所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a16,2c8，所以a8，c4，b4.故所求的轨迹方程为1.故选D.2ABC的顶点A(5,0)，B(5,0)，ABC的内切圆圆心在直线x3上，则顶点C的轨迹方程是(C)A1B1C.1(x3)D1(x4)解析如图，|AD|AE|8，|B
10、F|BE|2，|CD|CF|，所以|CA|CB|826.根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为1(x3)3已知A(0,7)，B(0，7)，C(12,2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是(A)Ay21(y1)By21Cy21Dx21解析显然|AC|13，|BC|15，又|AF|AC|BF|BC|，|AF|BF|2.F的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的下支，故选A.4过抛物线y24x的焦点作直线与其交于M、N两点，作平行四边形MONP，则点P的轨迹方程为_y24(x2)_.解析设直线方程为yk(x1)，点M(x1，y1)，N(x2，
11、y2)，P(x，y)，由，得(x1，y1)(xx2，yy2)得x1x2x，y1y2y.由联立得xx1x2.yy1y2，消去参数k，得y24(x2)5(2019课标，21)已知点A(2,0)，B(2,0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为.记M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PEx轴，垂足为E，连接QE并延长交C于点G.证明：PQG是直角三角形；求PQG面积的最大值解析(1)由题设得，化简得1(|x|2)，所以C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点(2)设直线PQ的斜率为k，则其方程为ykx(k0)，由得x.记u，则P(u，uk)，Q(u，uk)，E(u,0)于是直线QG的斜率为，方程为y(xu)由得(2k2)x22uk2xk2u280.设G(xG，yG)，则u和xG是方程的解，故xG，由此得yG.从而直线PG的斜率为.所以PQPG，即PQG是直角三角形由得|PQ|2u，|PG|，所以PQG的面积S|PQ|PG|设tk，则由k0得t2，当且仅当k1时取等号，因为S在2，)单调递减，所以当t2，即k1时，S取得最大值，最大值为.因此，PQG面积的最大值为.
