1、1.3.1推出与充分条件、必要条件课堂探究探究一 充分条件、必要条件的判断要判断p是q的充分条件、必要条件首先应分清条件p和结论q，然后按下面的一般步骤进行判断(1)判定“若p，则q”的真假(2)尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件(3)尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件【典型例题1】 在下列各题中，判断p是q的什么条件(1)p：x20，q：(x2)(x3)0；(2)p：m2，q：方程x2xm0无实根；(3)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等思路分析：解决此类问题就是要判定命题“如果p，则q”和命题“如果q，则
2、p”的真假解：(1)因为x20(x2)(x3)0，而(x2)(x3)0x20，所以p是q的充分不必要条件(2)因为m2方程x2xm0无实根，而方程x2xm0无实根m2，所以p是q的充分不必要条件(3)因为pq，而qp，所以p是q的充分不必要条件探究二 利用充分条件、必要条件求参数的范围解答有关利用充分条件、必要条件求参数范围问题的关键是将充分条件、必要条件等价转化为集合之间的关系，利用集合之间的包含关系来解决【典型例题2】 已知p：x28x200，q：x22x1m20(m0)，若q是p的充分不必要条件，求实数m的取值范围思路分析：根据q是p的充分不必要条件，找出p和q对应的集合间的关系，列出不
3、等式组，求出m的范围解：令命题p对应的集合为A，命题q对应的集合为B，由x28x200，得(x10)(x2)0，解得2x10，所以Ax|2x10又由x22x1m20，得x(1m)x(1m)0，因为m0，所以1mx1m，所以Bx|1mx1m，m0因为q是p的充分不必要条件，所以BA.所以且两等号不能同时成立解得0m3.经检验知m3时符合题意所以m的取值范围是(0,3规律小结 用集合的观点理解充分条件、必要条件和充要条件：首先建立与p，q相对应的集合，即p：Ax|p(x)，q：Bx|q(x).若AB，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件若BA，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的
4、必要不充分条件若AB，则p，q互为充要条件若AB，BA，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件探究三 充要条件的证明与探求要证明一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真在证明的过程中也可以利用集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论而要探求一个命题成立的充要条件一般有两种处理方法：(1)先由结论成立推出命题成立的必要条件，然后再证明其充分性；(2)等价性：将一个命题等价转化为另一个命题，列出使该命题成立的充要条件【典型例题3】 已知ab0，求证：ab1
5、的充要条件是a3b3aba2b20.思路分析：(1)证明题的步骤一定要规范严谨；(2)分清题目的条件与结论证明：先证必要性：因为ab1，即b1a，所以a3b3aba2b2a3(1a)3a(1a)a2(1a)2a313a3a2a3aa2a212aa20.再证充分性：因为a3b3aba2b20，即(ab)(a2abb2)(a2abb2)0，所以(ab1)(a2abb2)0.由ab0，即a0，且b0，所以a2abb20，只有ab1.综上可知，当ab0时，ab1的充要条件是a3b3aba2b20.【典型例题4】 求关于x的方程ax22x10至少有一个负实根的充要条件思路分析：结合一元二次方程的判别式，
6、利用韦达定理列出不等式组求解解：a0时，方程有一个负实根a0时，显然方程没有零根若方程有两个异号的实根，则a0；若方程有两个负实根，则解得0a1.综上可知：若方程至少有一个负实根，则a1；反之，若a1，则方程至少有一个负实根因此，关于x的方程ax22x10至少有一个负实根的充要条件是a1.点评 若令f(x)ax22x1，由f(0)10，可排除方程一个根为负根，另一根为0的情形，并要注意，不能忽视对a0的特殊情况进行讨论探究四易错辨析易错点充分条件、必要条件与集合关系的转化不等价【典型例题5】 已知p：Ax|x25x60，q：Bx|1x2a，且p是q的充分条件，求a的取值范围错解：由x25x60，得1x6.因为p是q的充分条件，故2a6，即a3.所以a的取值范围为a3.错因分析：“p是q的充分条件AB”，而错解用了“p是q的充分条件AB”，导致丢掉等号的错误正解：由x25x60，得1x6，因为p是q的充分条件，即AB，故2a6，即a3，所以a的取值范围为a3.
