1、4.1任意角、弧度制及任意角的三角函数1角的概念(1)任意角：定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角(2)象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴，建立平面直角坐标系这样，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限(3)所有与角终边相同的角，连同角在内，构成的角的集合是S|k360，kZ2弧度制(1)定义：长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.
2、(2)角度制和弧度制的互化：180 rad,1 rad，1 rad.(3)扇形的弧长公式：lr，扇形的面积公式：Slrr2.其中r是半径，(01.()题组二教材改编2一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为_弧度答案3若角的终边经过点Q，则sin _，cos _.答案题组三易错自纠4集合中的角所表示的范围(阴影部分)是() 答案C解析当k2n(nZ)时，2n2n，此时表示的范围与表示的范围一样；当k2n1 (nZ)时，2n2n，此时表示的范围与表示的范围一样，故选C.5(多选)已知角2的终边在x轴的上方，那么角可能是()A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角答案AC解析因为角
3、2的终边在x轴的上方，所以k3602k360180，kZ，则有k180k18090，kZ.故当k2n，nZ时，n360n36090，nZ，为第一象限角；当k2n1，nZ时，n360180n360270，nZ，为第三象限角故选AC.6在0到2范围内，与角终边相同的角是_答案解析与角终边相同的角是2k(kZ)，令k1，可得与角终边相同的角是.7已知角的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，若A(1，y)是角终边上的一点，且sin ，则y_.答案3解析因为sin 0，A(1，y)是角终边上一点，所以y0，由三角函数的定义，得.解得y3. 角及其表示1下列与角的终边相同的角的表达式中正确的是 ()A
4、2k45(kZ) Bk360(kZ)Ck360315(kZ) Dk(kZ)答案C解析与角的终边相同的角可以写成2k(kZ)或k36045(kZ)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确2设集合M，N，那么()AMN BMN CNM DMN答案B解析由于M中，x18045k9045(2k1)45，2k1是奇数；而N中，x18045k4545(k1)45，k1是整数，因此必有MN，故选B.3终边在直线yx上，且在2，2)内的角的集合为_答案解析如图，在坐标系中画出直线yx，可以发现它与x轴的夹角是，在0,2)内，终边在直线yx上的角有两个：，；在2，0)内满足条件的角有两个：，故满足条件的
5、角构成的集合为.4若是第四象限角，则是第_象限角答案三解析是第四象限角，2k2k，kZ，2k2k，kZ，2k2k，kZ，故是第三象限角思维升华(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k(kZ)赋值来求得所需的角(2)确定k，(kN*)的终边位置的方法先写出k或的范围，然后根据k的可能取值确定k或的终边所在位置 弧度制及其应用例1一扇形的圆心角为，半径为R，弧长为l.已知，R10 cm，求扇形的面积解由已知得，R10 cm，S扇形R2102(cm2)若本例条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积解lR10(cm)，
6、S弓形S扇形S三角形lRR2sin 10102(cm2)若本例已知条件改为：“扇形周长为20 cm”，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？解由已知得，l2R20，则l202R(0R10)所以SlR(202R)R10RR2(R5)225，所以当R5 cm时，S取得最大值25 cm2，此时l10 cm，2 rad.思维升华应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形跟踪训练1(1)若扇形的面积为、半径为1，则扇形的圆心角
7、为()A. B. C. D.答案B解析设扇形的圆心角为，扇形的面积为、半径为1，12，.(2)一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的，面积等于圆面积的，则扇形的弧长与圆周长之比为_答案解析设圆的半径为r，则扇形的半径为，记扇形的圆心角为，由扇形面积等于圆面积的，可得，解得.所以扇形的弧长与圆周长之比为. 三角函数的概念例2(1)(2019潍坊模拟)已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，且cos ，若点M(x,8)是角终边上一点，则x等于()A12 B10 C8 D6答案D解析由任意角的三角函数的定义可得，cos ，解得x6.(2)已知角的终边与单位圆的交点为P，则sin ta
8、n 等于()A B C D答案C解析由OP2y21，得y2，y.当y时，sin ，tan ，此时，sin tan .当y时，sin ，tan ，此时，sin tan .所以sin tan .(3)若sin tan 0，且0，则角是()A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角答案C解析由sin tan 0可知sin ，tan 为异号，则角为第二或第三象限角由0可知cos ，tan 为异号，则角为第三或第四象限角综上可知，角为第三象限角思维升华(1)利用三角函数的定义，已知角终边上一点P的坐标可求的三角函数值；已知角的三角函数值，也可以求出角终边的位置(2)根据三角函数的定义，可以直接判定各象限角的三角函数值的符号跟踪训练2(1)(2019临沂模拟)已知角的终边过点P(8m，6sin 30)，且cos ，则m的值为()A B C. D.答案C解析由题意得点P(8m，3)，r，所以cos ，解得m，又cos 0，所以8m0，所以m.(2)设是第三象限角，且cos，则是()A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角答案B解析由是第三象限角知，为第二或第四象限角，cos ，cos 0，综上可知，为第二象限角
