1、7.3直线、平面垂直的判定与性质1直线与平面垂直(1)定义如果直线a与平面内的任意一条直线都垂直，则直线a与平面互相垂直，记作a，直线a叫做平面的垂线，平面叫做直线a的垂面垂线和平面的交点即为垂足(2)判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面l性质定理如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行ab2.直线和平面所成的角(1)定义平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角若一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0的角(2)范围：.
2、3平面与平面垂直(1)二面角的有关概念二面角：一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角(2)平面和平面垂直的定义如果两个平面所成的二面角是直二面角，那么就说这两个平面互相垂直(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面l概念方法微思考1若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面吗
3、？提示垂直若两平行线中的一条垂直于一个平面，那么在平面内可以找到两条相交直线与该直线垂直，根据异面直线所成的角，可以得出两平行直线中的另一条也与平面内的那两条直线成90的角，即垂直于平面内的这两条相交直线，所以垂直于这个平面2两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面吗？提示垂直在两个相交平面内分别作与第三个平面交线垂直的直线，则这两条直线都垂直于第三个平面，那么这两条直线互相平行由线面平行的性质定理可知，这两个相交平面的交线与这两条垂线平行，所以该交线垂直于第三个平面题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)直线l与平面内的无数条直线都垂直，则l
4、.()(2)垂直于同一个平面的两平面平行()(3)若，a，则a.()(4)若直线a平面，直线b，则直线a与b垂直()题组二教材改编2(多选)下列命题中正确的有()A如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面B如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面C如果平面平面，平面平面，l，那么l平面D如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面答案ABC解析对于D，若平面平面，则平面内的直线可能不垂直于平面，即与平面的关系还可以是斜交、平行或在平面内，其他选项均是正确的3在三棱锥PABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.(1)若PAPBPC，则点O是ABC的_心；(2)若PAPB，P
5、BPC，PCPA，则点O是ABC的_心答案(1)外(2)垂解析(1)如图1，连结OA，OB，OC，OP，在RtPOA，RtPOB和RtPOC中，PAPCPB，所以OAOBOC，即O为ABC的外心(2)如图2，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，AB于点H，D，G.PCPA，PBPC，PAPBP，PA，PB平面PAB，PC平面PAB，又AB平面PAB，PCAB，ABPO，POPCP，PO，PC平面PGC，AB平面PGC，又CG平面PGC，ABCG，即CG为ABC边AB上的高同理可证BD，AH分别为ABC边AC，BC上的高，即O为ABC的垂心题组三易错自纠4若l，m为两条不同的直线，为平面，且l
6、，则“m”是“ml”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析由l且m能推出ml，充分性成立；若l且ml，则m或者m，必要性不成立，因此“m”是“ml”的充分不必要条件，故选A.5.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点O，M，N分别是线段BD，DD1，D1C1的中点，则直线OM与AC，MN的位置关系是()A与AC，MN均垂直B与AC垂直，与MN不垂直C与AC不垂直，与MN垂直D与AC，MN均不垂直答案A解析因为DD1平面ABCD，所以ACDD1，又因为ACBD，DD1BDD，所以AC平面BDD1B1，因为OM平面BDD1B1，所以OMAC.
7、设正方体的棱长为2，则OM，MN，ON，所以OM2MN2ON2，所以OMMN.故选A.6(多选)如图所示，AB是半圆O的直径，VA垂直于半圆O所在的平面，点C是圆周上不同于A，B的任意一点，M，N分别为VA，VC的中点，则下列结论正确的是()AMN平面ABCB平面VAC平面VBCCMN与BC所成的角为45DOC平面VAC答案AB解析易知MNAC，又AC平面ABC，MN平面ABC，MN平面ABC，又由题意得BCAC，因为VA平面ABC，BC平面ABC，所以VABC.因为ACVAA，所以BC平面VAC.因为BC平面VBC，所以平面VAC平面VBC.故选AB. 直线与平面垂直的判定与性质例1(201
8、9全国)如图，长方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BEEC1.(1)证明：BE平面EB1C1；(2)若AEA1E，AB3，求四棱锥EBB1C1C的体积(1)证明由已知得B1C1平面ABB1A1，BE平面ABB1A1，故B1C1BE.又BEEC1，B1C1EC1C1，B1C1，EC1平面EB1C1，所以BE平面EB1C1.(2)解由(1)知BEB190.由题设知RtABERtA1B1E，所以AEBA1EB145，故AEAB3，AA12AE6.如图，作EFBB1，垂足为F，则EF平面BB1C1C，且EFAB3.所以四棱锥EBB1C1C的体积V36318.思维升华
9、证明线面垂直的常用方法及关键(1)证明线面垂直的常用方法：判定定理垂直于平面的传递性面面垂直的性质(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直，则需借助线面垂直的性质跟踪训练1(2019贵阳模拟)如图，在三棱锥ABCD中，ABAD，BCBD，平面ABD平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EFAD.求证：(1)EF平面ABC；(2)ADAC.证明(1)在平面ABD内，因为ABAD，EFAD，则ABEF.又因为EF平面ABC，AB平面ABC，所以EF平面ABC.(2)因为平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，BC平面BCD，BCBD，所以BC平面ABD
10、.因为AD平面ABD，所以BCAD.又ABAD，BCABB，AB平面ABC，BC平面ABC，所以AD平面ABC.又因为AC平面ABC，所以ADAC. 平面与平面垂直的判定与性质例2(2019栖霞模拟)如图，多面体ABCDEF中，ABCD是菱形，ABC60，FA平面ABCD，EDFA，且ABFA2ED2.(1)求证：平面FAC平面EFC；(2)求多面体ABCDEF的体积(1)证明连结BD交AC于O，设FC中点为P，连结OP，EP，O，P分别为AC，FC的中点，OPFA，且OPFA，OPED且OPED，四边形OPED为平行四边形，ODEP，即BDEP，FA平面ABCD，BD平面ABCD，FABD，
11、四边形ABCD是菱形，BDAC，FAACA，FA，AC平面FAC，BD平面FAC，即EP平面FAC，又EP平面EFC，平面FAC平面EFC.(2)解VFABCSABCFA42，FA平面ABCD，FA平面ADEF，平面ADEF平面ABCD，作CGAD于点G，又平面ADEF平面ABCDAD，CG平面ADEF，C到平面ADEF的距离CGCD，VCADEF，VABCDEFVFABCVCADEF.思维升华(1)判定面面垂直的方法面面垂直的定义面面垂直的判定定理(a，a)(2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直跟踪训练2(2018全
12、国)如图，在平行四边形ABCM中，ABAC3，ACM90.以AC为折痕将ACM折起，使点M到达点D的位置，且ABDA.(1)证明：平面ACD平面ABC；(2)Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BPDQDA，求三棱锥QABP的体积(1)证明由已知可得，BAC90，即BAAC.又BAAD，ADACA，AD，AC平面ACD，所以AB平面ACD.又AB平面ABC，所以平面ACD平面ABC.(2)解由已知可得，DCCMAB3，DA3.又BPDQDA，所以BP2.如图，过点Q作QEAC，垂足为E，则QEDC且QEDC.由已知及(1)可得，DC平面ABC，所以QE平面ABC，QE1.因此，三棱锥QA
13、BP的体积为VQABPSABPQE32sin 4511. 垂直关系的综合应用例3如图，AB是O的直径，PA垂直于O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一动点(1)证明：PBC是直角三角形；(2)若PAAB2，且当直线PC与平面ABC所成角的正切值为 时，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值(1)证明AB是O的直径，C是圆周上不同于A，B的一动点BCAC，PA平面ABC，BCPA，又PAACA，PA，AC平面PAC，BC平面PAC，BCPC，BPC是直角三角形(2)解如图，过A作AHPC于H，BC平面PAC，BCAH，又PCBCC，PC，BC平面PBC，AH平面PBC，ABH是直线AB与平面PB
14、C所成的角，PA平面ABC，PCA即是PC与平面ABC所成的角，tanPCA，又PA2，AC，在RtPAC中，AH，在RtABH中，sinABH，即直线AB与平面PBC所成角的正弦值为.思维升华(1)证明垂直关系时，要充分利用定义、判定和性质实现线线垂直、线面垂直、面面垂直关系的相互转化(2)线面角的计算，首先要利用定义和题目中的线面垂直作出所求角，然后在一个直角三角形中求解跟踪训练3如图所示，在四边形ABCD中，ABADCD1，BD，BDCD.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体ABCD，使平面ABD平面BCD，则下列结论中正确的结论个数是()ACBD；BAC90；CA与平面ABD所成的角
15、为30；四面体ABCD的体积为.A0 B1 C2 D3答案B解析ABADCD1，BD，ABAD，平面ABD平面BCD，BDCD，平面ABD平面BCDBD，CD平面ABD，取BD的中点O，连结OA(图略)，ABAD，AOBD.又平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，AO平面ABD，AO平面BCD.BDCD，OC不垂直于BD.假设ACBD，OC为AC在平面BCD内的射影，OCBD，矛盾，故错误；CDBD，平面ABD平面BCD，且平面ABD平面BCDBD，CD平面ABD，AB平面ABD，CDAB.ABAD1，BD，ABAD，又CDADD，CD，AD平面ACD，AB平面ACD，又AC平面ACD，ABAC，故正确；CAD为直线CA与平面ABD所成的角，CAD45，故错误；VABCDVCABDSABDCD，故错误故选B.
