1、第二讲二项式定理 1.多选题若(1-ax+x2)4的展开式中x5的系数为-56,则下列结论正确的是()A.a的值为-2B.展开式中各项系数之和为0C.展开式中x的系数为4D.展开式中二项式系数最大的为702.2020四川五校联考(3x3+x4)(2-1x)8的展开式中x2的系数为()A.-1 280 B.4 864C.-4 864 D.1 2803.2020安徽省示范高中名校联考在二项式(x+3x)n的展开式中,各项系数和为M,二项式系数和为N,且M+N=72,则展开式中常数项为()A.18B.12C. 9D.64.2020山西忻州高三模拟设m为正整数,(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值
2、为a,(x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a=7b,则m=() A.5B.6C.7D.85.2019江西红色七校第一次联考二项式(1+x+x2)(1-x)10的展开式中x4的系数为()A.120 B.135C.140D.1006.2019武汉市高三调研测试若(x4-1xx)n的展开式中含有常数项,则n的最小值等于()A.8B.10C.11D.127.2020 重庆南开中学模拟已知(ax+1)n(nN*)的展开式中,二项式系数和为32,且各项系数和为243,则a=.8.2020武汉市部分学校质量监测若(2x+13x)n的展开式中所有项系数和为81,则展开式中的常数项为. 9.
3、2020唐山市摸底考试在(x+y)(x-y)5的展开式中,x3y3的系数是()A.-10B.0C.10D.2010.2020深圳高级中学高三适应性考试已知(1+ax)(2x - 1x)5的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中的常数项为()A.-80B.-40C.40D.8011.2019江淮十校联考已知(x+1)(2x+a)5的展开式中各项系数和为2,则其展开式中含x3的项的系数是()A.-40B.-20C.20D.4012.2019江苏四校联考已知(1+x)n(nN*)的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为()A.212B.211 C.210D.2913.202
4、0江西红色七校第一次联考(x-2y+1)(2x+y)6的展开式中x4y3的系数为.14.2019江淮十校联考若(x+a)9 =a0 +a1(x+1)+a2(x+1)2+a9(x+1)9,当a5=126时,实数a的值为.15.2019上海市普陀区模拟如果(x2- 1 2x)n(nN*)的展开式中只有第4项的二项式系数最大,那么展开式中的所有项的系数之和是.16.2019闽粤赣三省十校联考若(x3+1x2)n(nN*)的展开式中只有第6项的系数最大,则该展开式的常数项为.17.新角度题(x+2y-3z)9的展开式中含x4y2z3项的系数为 ()A.-136 000B.-136 080 C.-136
5、 160D.-136 28018.多选题已知(2x-m)7=a0+a1(1-x)+a2(1-x)2+a7(1-x)7,若a0+a12+a222+a727=-128,则有()A.m=2 B.a3=-280C.a0=-1 D.-a1+2a2-3a3+4a4-5a5+6a6-7a7=14 19. 双空题若二项式(ax2+1x)5的展开式中的常数项为10,则实数a的值为,展开式中所有无理项的系数之和为.20.2019河北衡水质量测评易错题二项式(ax+bx)n(a0,b0)的展开式中,设所有二项式系数的和为A,所有项的系数的和为B,常数项为C,若A=B=256,C=70,则展开式中含x6的项为.第二讲
6、二项式定理1.BD因为(1- ax+x2)4=(1- ax)+x24,C43C33(- ax)3x2+C42C21(- ax)(x2)2=(- 4a3- 12a)x5,所以- 4a3- 12a=- 56,解得a=2.(1- ax+x2)4=(x- 1)8,令x=1,则展开式中各项系数之和为0,展开式中x的系数为C87(- 1)7=- 8,展开式中二项式系数最大的为C84=70.故选BD.2.A由(2- 1x)8的展开式的通项Tr+1=C8r28- r(- 1x)r可得,要想得到x2项,需第一个括号里取3x3,第二个括号里取C8127(- 1x),或者第一个括号里取x4,第二个括号里取C8226
7、(- 1x)2,故展开式中的x2项为3x3C8127(- 1x)+x4C8226(- 1x)2,化简得- 1 280x2.故选A.3.C解法一令x=1,得展开式中各项系数和M=4n,因为二项式系数和N=2n,M+N=72,所以2n+4n=72,解得n=3.则展开式的通项公式为Tk+1=C3k(x)3- k(3x)k=3kC3kx3- 3k2,令3- 3k=0,得k=1,所以常数项为9.故选C.解法二令x=1,得展开式中各项系数和M=4n,因为二项式系数和N=2n,M+N=72,所以2n+4n=72,解得n=3.(x+3x)3可看作三个(x+3x)相乘,其展开式中的常数项为C313x(x)2=9
8、.故选C.4.B根据二项式系数的性质知,(x+y)2m的展开式中二项式系数最大的项有一项,易知C2mm=a,(x+y)2m+1的展开式中二项式系数最大的项有两项,易知C2m+1m=C2m+1m+1=b.又13a=7b,所以13C2mm=7C2m+1m,将各选项中m的取值逐个代入验证,知m=6满足等式,故选B.5.B(1- x)10的展开式的通项Tr+1=C10r(- x)r=(- 1)rC10rxr,分别令r=4,r=3,r=2,可得展开式中x4的系数为(- 1)4C104+(- 1)3C103+(- 1)2C102=135.故选B.6.C(x4- 1xx)n的展开式的通项Tr+1=Cnr(x
9、4)n- r(- 1xx)r=(- 1)rCnrx4n- 112r,当4n- 112r=0,即n=118r时展开式中含有常数项,所以n的最小值为11.故选C.7.2依题意得,二项式系数和为2n=32,解得n=5.令x=1,得各项系数和为(a+1)5=243,所以a+1=3,所以a=2.8.8令x=1,得展开式中所有项系数和为3n=81,解得n=4.(2x+13x)4的展开式的通项公式为Tr+1=C4r(2x)4- r(13x)r=24- rC4rx4- 43r,令4- 43r=0,得r=3,所以展开式中的常数项为24- 3C43=8.9.B解法一(x- y)5展开式的通项Tk+1=Ck5x5-
10、 k(- y)k=(- 1)kC5kx5- kyk,所以(x+y)(x- y)5的展开式的通项为(- 1)kC5kx6- kyk或(- 1)kC5kx5- kyk+1,则当k=3时,有(- 1)kC5kx6- kyk=- 10x3y3,当k=2时,有(- 1)kC5kx5- kyk+1=10x3y3,所以x3y3的系数为0,故选B.解法二(x+y)(x- y)5=(x+y)(x- y)(x- y)(x- y)(x- y)(x- y),要想出现x3y3,有两种情况:(1)先在第一个多项式中取x,再在后五个多项式中任选两个多项式,在这两个多项式中取x,最后在余下的三个多项式中取- y,所以有xC5
11、2x2(- y)3=- 10x3y3;(2)先在第一个多项式中取y,再在后五个多项式中任选三个多项式,在这三个多项式中取x,最后在余下的两个多项式中取- y,所以有yC53x3(- y)2=10x3y3.所以x3y3的系数为0,故选B.10.D令x=1,得展开式中各项系数和为(1+a1)(2- 11)5=1+a,所以1+a=2,所以a=1,所以(1+ax)(2x- 1x)5=(1+1x)(2x- 1x)5=(2x- 1x)5+1x(2x- 1x)5,所求展开式中常数项为(2x- 1x)5的展开式中的常数项与含x的项的系数和,(2x- 1x)5的展开式的通项Tr+1=C5r(2x)5- r(-
12、1)r(1x)r=(- 1)r25- rC5rx5- 2r.令5- 2r=1,得r=2;令5- 2r=0,无整数解.所以展开式中的常数项为8C52=80.故选D.11.D已知(x+1)(2x+a)5的展开式中各项系数和为2,令x=1,得2(2+a)5=2,解得a=- 1.解法一因为(x+1)(2x+a)5=(x+1)(2x- 1)5=(x+1)(32x5- 80x4+80x3- 40x2+10x- 1),故展开式中含x3的项的系数为80- 40=40.故选D.解法二由(x+1)(2x+a)5=(x+1)(2x- 1)5,易知(2x- 1)5的展开式的通项Tr+1=C5r(2x)5- r(- 1
13、)r=(- 1)rC5r25- rx5- r.当x+1中取x时,令r=3,则含x3的项的系数为1(- 1)3C5322=- 40.当x+1中取1时,令r=2,则含x3的项的系数为1(- 1)2C5223=80.故展开式中含x3的项的系数为80- 40=40.故选D.12.D因为(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,所以Cn3=Cn7,解得n=10.从而C100+C101+C102+C1010=210,所以奇数项的二项式系数和为C100+C102+C1010=29.故选D.13.- 320(x- 2y+1)(2x+y)6=x(2x+y)6- 2y(2x+y)6+(2x+y)6,(
14、2x+y)6的展开式的通项Tr+1=C6r(2x)6- ryr=C6r26- rx6- ryr.x(2x+y)6的展开式中x4y3的系数为C6323=160;- 2y(2x+y)6的展开式中x4y3的系数为- 2C6224=- 480;(2x+y)6的展开式中无x4y3项.综上,(x- 2y+1)(2x+y)6的展开式中x4y3的系数为- 320.14.0或2因为x+a=(x+1)+(a- 1),所以(x+a)9=(x+1)+(a- 1)9,其展开式的通项Tr+1=C9r(a- 1)9- r(x+1)r,所以a5=C95(a- 1)4=126,所以(a- 1)4=1,解得a=0或2.15.16
15、4因为(x2- 12x)n的展开式中只有第4项的二项式系数最大,所以展开式中共有24- 1=7(项),所以n=6,所以(x2- 12x)n=(x2- 12x)6.令x=1,可得展开式中所有项的系数之和是(1- 12)6=164.16.210由于(x3+1x2)n的展开式中只有第6项的系数最大,所以展开式中共有11项,所以n=10.所以(x3+1x2)n=(x3+1x2)10,展开式的通项Tr+1=C10r(x3)10- rx- 2r=C10rx30- 5r,所以当r=6时,C10rx30- 5r为常数项,所以常数项为210.17.B由(x+2y- 3z)9=x+(2y- 3z)9,得其展开式的
16、通项Tr+1=C9rx9- r(2y- 3z)r=C9rx9- rCrt(2y)r- t(- 3z)t=C9rCrt2r- t(- 3)tx9- ryr- tzt(0tr9),令t=3,r- t=2,9- r=4,解得t=3,r=5.故含x4y2z3项的系数为C95C5322(- 3)3=- 136 080.18.BCD令1- x=12,即x=12,可得(212- m)7=(1- m)7=a0+a12+a222+a727=- 128,解得m=3,故A错误;令x=1,得a0=(- 1)7=- 1,(2x- 3)7=- 1- 2(1- x)7,所以a3=C73(- 1)4(- 2)3=- 280,
17、故B,C正确;对(2x- 3)7=a0+a1(1- x)+a2(1- x)2+a7(1- x)7两边求导得14(2x- 3)6=- a1- 2a2(1- x)- - 7a7(1- x)6,令x=2得- a1+2a2- 3a3+4a4- 5a5+6a6- 7a7=14,故D正确.故选BCD.19.2121易知(ax2+1x)5的展开式的通项Tr+1=C5r(ax2)5- r(1x)r=C5ra5- rx10- 5r2.令10- 5r2=0,解得r=4,所以常数项为T5=C54a5- 4=10,解得a=2.由10- 5r2Z,且0r5,可得r=1,3,5,因此展开式中的所有无理项为T2,T4,T6
18、,其中T2=C5125- 1x10- 52=80x152,T4=C5325- 3x10- 152=40x52,T6=C5525- 5x10- 252=x- 52,故展开式中所有无理项的系数之和为80+40+1=121.20.8x6依题得2n=256,所以n=8.在(ax+bx)8的展开式中,令x=1,则有(a+b)8=256,所以a+b=2.(ax+bx)8的展开式的通项Tr+1=C8r(ax)8- r(bx)r=C8ra8- rbrx8- 2r,令8- 2r=0,得r=4,可得常数项为C84a4b4=70,解得ab=1或ab=- 1(舍),则由ab=1,a+b=2,解得a=1,b=1.所以Tr+1=C8rx8- 2r.令8- 2r=6,得r=1.所以T2=C81x6=8x6,故展开式中含x6的项为8x6.【易错警示】解题时易将“二项式系数和”与“所有项的系数和”混淆,解题的关键是弄清两者的概念.二项展开式中二项式系数和为2n,而求解二项展开式中所有项的系数和时常用赋值法.
