1、练案30第四讲平面向量的综合应用A组基础巩固一、单选题1若O为ABC内一点，|，则O是ABC的(B)A内心B外心C垂心D重心解析由向量模的定义知O到ABC的三顶点距离相等，故O是ABC的外心，故选B.2已知点A(2,0)，B(3,0)，动点P(x，y)满足x26，则点P的轨迹是(D)A圆B椭圆C双曲线D抛物线解析因为(2x，y)，(3x，y)，所以(2x)(3x)y2x26，所以y2x，即点P的轨迹是抛物线故选D.3已知A，B是圆心为C半径为的圆上两点，且|，则等于(A)ABC0D解析由于弦长|AB|与半径相等，则ACB60|cos ACBcos 60.4已知向量a(1，sin )，b(1，c
2、os )，则|ab|的最大值为(B)A1BCD2解析a(1，sin )，b(1，cos )，ab(0，sin cos )|ab|.|ab|最大值为.故选B.5(2020河北省深州中学期中)已知不共线向量，夹角为，|1，|2，(1t)，t，(0t1)，|在tt0处取最小值，当0t0时，的取值范围为(C)A(0，)B(，)C(，)D(，)解析依题意可得12cos 2cos ，t(1t)，2t22(1t2)22t(1t)4t2(1t)24t(1t)cos (54cos )t2(24cos )t1，且0，由二次函数性质知，当上式取得最小值时，t0，依题意可得0，求得cos 0，0)的部分图象如图所示，
3、A，B分别是这部分图象上的最高点、最低点，O为坐标原点，若0，则函数f(x1)是(AD)A周期为4的函数B周期为2的函数C奇函数D偶函数解析由题图可得A(，)，B(，)，由0得30，又0，所以，所以f(x)sin x，所以f(x1)sin (x1)cos x，它是周期4的偶函数故选A、D.三、填空题9在ABC中，若2，则边AB的长等于_2_.解析由题意知4，即()4，即4，所以|2.10已知|a|2|b|，|b|0，且关于x的方程x2|a|xab0有两相等实根，则向量a与b的夹角是.解析由已知可得|a|24ab0，即4|b|242|b|2cos 0，所以cos ，又因为0，所以.11已知向量m
4、(sin ，1)，n(cos ，cos2)若mn1，则cos (x).解析mnsin cos cos2sin sin ()，因为mn1，所以sin ().因为cos (x)12sin2()，所以cos (x)cos (x).故填.12(2020蚌埠模拟)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点.的最大值为_1_.解析(1)解法一：如图所示，以AB，AD所在的直线分别为x，y轴建立直角坐标系，设E(t,0)，0t1，则D(0,1)，C(1,1)，(t，1)，(1,0)，t1.解法二：选取，作为基底，设t，0t1，则(t)t1.解法三：设t，则|1cos AED|t|t|1.四、解答题1
5、3(2020河南洛阳期中)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量m(c2b，a)，n(cos A，cos C)，且mn.(1)求角A的大小；(2)若a，bc3，求ABC的面积解析(1)由mn，得mn0，即(c2b)cos Aacos C0.由正弦定理，得(sin C2sin B)cos Asin Acos C0，所以2sin Bcos Asin Acos Csin Ccos A，2sin Bcos Asin (AC)，2sin Bcos Asin B.因为0B，所以sin B0，所以cos A，因为0A，所以A.(2)在ABC中，由余弦定理，得a2b2c22bccos (b
6、c)23bc，又a，bc3，所以393bc，解得bc2.所以，ABC的面积Sbcsin 2.14(2020甘肃会宁一中高三上第二次月考)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m(2sin B，)，n(cos 2B,2cos21)，且mn.(1)求锐角B的大小；(2)如果b2，求ABC的面积SABC的最大值解析(1)mn，2sin B(2cos21)cos 2B，sin 2Bcos 2B，即tan 2B.又B为锐角，2B(0，)，2B，B.(2)B，b2，由余弦定理cos B，得a2c2ac40.又a2c22ac，ac4(当且仅当ac2时等号成立)，SABCacsin Bac(当
7、且仅当ac2时等号成立)ABC的面积的最大值为.B组能力提升1已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m(a，b)与n(cos A，sin B)平行，则A(B)ABCD解析因为mn，所以asin Bbcos A0，由正弦定理，得sin Asin Bsin Bcos A0，又sin B0，从而tan A，由于0A，所以A.2(2020邵阳大联考)在ABC中，角A，B，C对应边分别为a，b，c，已知三个向量m(a，cos )，n(b，cos )，p(c，cos )共线，则ABC的形状为(A)A等边三角形B等腰三角形C直角三角形D等腰直角三角形解析由题意得acos bcos ，aco
8、s ccos ，由正弦定理得sin Acos sin Bcos sin sin BA，同理可得CA，所以ABC为等边三角形故选A.3已知点M(3,0)，N(3,0)动点P(x，y)满足|0，则点P的轨迹的曲线类型为(B)A双曲线B抛物线C圆D椭圆解析(3,0)(3,0)(6,0)，|6，(x，y)(3,0)(x3，y)，(x，y)(3,0)(x3，y)，所以|66(x3)0，化简可得y212x.故点P的轨迹为抛物线故选B.4(2020南昌摸底调研)已知A，B，C是圆O：x2y21上的动点，且ACBC，若M的坐标是(1,1)，则|的最大值为(D)A3B4C31D31解析因为A，B，C是圆O：x2
9、y21上的动点，且ACBC，所以设A(cos ，sin )，B(cos ，sin )，C(cos ，sin )，其中02，02，因为M(1,1)，所以(cos 1，sin 1)(cos 1，sin 1)(cos 1，sin 1)(cos 3，sin 3)，所以|，当且仅当sin ()1时，|取得最大值，最大值为31.故选D.一题多解：连接AB，因为ACBC，所以AB为圆O的直径，所以2，所以|2|2|2|，易知点M与圆上动点C的距离的最大值为1，所以|1，所以|31.5(2020湖南五市十校联考)已知向量m(cos x，sin x)，n(cos x，cos x)，xR，设函数f(x)mn.(1)求函数f(x)的解析式及单调递增区间；(2)设a，b，c分别为ABC的内角A，B，C的对边，若f(A)2，bc2，ABC的面积为，求a的值解析(1)由题意知f(x)cos2xsin xcos xsin (2x)1，令2x2k，2k，kZ，解得xk，k，kZ，函数f(x)的单调递增区间为k，k，kZ.(2)f(A)sin (2A)12，sin (2A)1.0A，2A，2A，即A.由ABC的面积Sbcsin A，得bc2.又bc2，a2b2c22bccos A(bc)22bc(1cos A)，解得a1.