1、江苏省南通市四校联盟2020届高三数学模拟考试试题（含解析）一、填空题1.已知集合，则_【答案】【解析】【分析】根据题意，解可得，即可得集合，解可得集合，由交集的定义，即可得答案【详解】解：根据题意，对于集合，则，对于集合，由或，则或，则，故答案为：【点睛】本题考查集合交集的计算，关键是正确解出不等式，得到集合、，属于基础题2.复数（为虚数单位）的共轭复数是_【答案】【解析】复数,其共轭复数为,故填.3.设向量，若，则实数的值为_.【答案】【解析】【分析】根据共线向量的坐标表示得出关于实数的方程，解出即可.【详解】向量，且，则，解得.因此，实数的值为.故答案为：.【点睛】本题考查利用向量共线求
2、参数的值，解题的关键就是利用共线向量的坐标表示列出方程求解，考查计算能力，属于基础题.4.如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为_【答案】【解析】由题设提供的算法流程图可知:，应填答案5.函数的定义域为_【答案】【解析】试题分析：根据题意，由于函数，则使得原式有意义的x的取值范围满足4x-31,4x-3,故可知所求的定义域为考点：函数的定义域点评：主要是考查了对数的定义域的运用，以及函数的定义域的求解，属于基础题6.已知命题，命题，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是_【答案】【解析】【分析】首先求出命题，再根据是的充分不必要条件，得到，从而得到不等式组，解得即可；【详解】解：命题，
3、解得命题，解得因为是的充分不必要条件，所以所以，解得，即故答案为：【点睛】本题考查根据充分条件必要条件求参数的取值范围，属于中档题.7.在正四棱锥中，点是底面中心，侧棱，则该棱锥的体积为_.【答案】【解析】【分析】根据题意，利用勾股定理算出底面中心到顶点的距离为2，利用正方形的性质得出底面边长为4，再由锥体的体积公式加以计算，即可得到该棱锥的体积【详解】在正四棱锥SABCD中，侧棱SA=2，高SO=2，底面中心到顶点的距离AO=2因此，底面正方形的边长AB=AO=4，底面积S=AB2=16该棱锥的体积为V=SABCDSO=162=故答案为【点睛】本题给出正四棱锥的高和侧棱长，求它的体积着重考查
4、了正四棱锥的性质、正方形中的计算和锥体体积公式等知识，属于基础题8.若函数（）的图象关于直线对称，则_【答案】【解析】【分析】由题意利用余弦函数的图象的对称性，求得的值【详解】解：函数的图象关于直线对称，函数，故答案为：【点睛】本题主要考查余弦函数的图象的对称性，属于基础题9.已知椭圆的离心率，A,B是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A,B的一点，直线PA,PB倾斜角分别为，则 .【答案】【解析】试题分析：由题意，设，则，椭圆的离心率，考点：（1）椭圆的简单性质；（2）两角和与差的余弦函数.10.在所在的平面上有一点，满足，则=_【答案】【解析】【分析】，代入即可得到，所以三点，共线，所以可
5、画出图形，根据向量的数量积的定义式并结合图形即可求得【详解】解：；，三点共线，如图所示：；故答案为：【点睛】考查向量的减法运算，共线向量基本定理，向量的数量积，属于中档题11.已知，则的最小值_.【答案】【解析】【分析】将函数解析式变形为，然后在代数式上乘以，展开后利用基本不等式可求出该函数的最小值.【详解】，由基本不等式得.当且仅当时，即当时，等号成立，因此，函数的最小值为.故答案为：.【点睛】本题考查利用基本不等式求函数的最小值，解题的关键在于将函数解析式配凑，考查计算能力，属于中等题.12.若函数，存在零点，则实数a的取值范围为_【答案】【解析】【分析】函数，存在零点，等价于，在上有解，
6、即函数与在上有交点，令求出函数在上的值域，即可得到参数的取值范围.【详解】解：因为函数，存在零点，等价于，在上有解，即在上有解，即函数与在上有交点，令当时，即在上单调递增，所以；当时，令，解得，即在上单调递增，在上单调递减，所以；故在上的值域为，所以故答案为：【点睛】本题考查函数的零点，利用导数研究函数的最值，属于中档题.13.已知，若同时满足条件：或；.则m的取值范围是_.【答案】【解析】根据可解得x1,由于题目中第一个条件限制，导致f(x)在是必须是，当m=0时，不能做到f(x)在时，所以舍掉，因此，f(x)作为二次函数开口只能向下，故m0,且此时2个根为，为保证条件成立，只需，和大前提m
7、0)的右焦点为F(1，0)，且过点(1，)，过点F且不与轴重合的直线与椭圆C交于A，B两点，点P在椭圆上，且满足.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若，求直线AB的方程.【答案】(1) ；(2) .【解析】【分析】（1）代入椭圆方程，结合关系，即可求出椭圆标准方程；（2）设直线方程，与椭圆联立，利用韦达定理，得出两点的坐标关系，进而求出点坐标，代入椭圆方程，即可求出直线方程.【详解】(1)由题意可知，=1，且又因为，解得，所以椭圆C的标准方程为；(2)若直线AB的斜率不存在，则易得，得P(，0)，显然点P不在椭圆上，舍去；因此设直线的方程为，设，将直线的方程与椭圆C的方程联立，整理得，则由得將P
8、点坐示代入椭圆C的方程，得(*)；将代入等式(*)得因此所求直线AB的方程为.【点睛】本题考查椭圆的标准方程，椭圆与直线的位置关系，,用设而不求的方法解决有关相交弦的问题，属于中档题.17.某校要在一条水泥路边安装路灯，其中灯杆的设计如图所示，AB为地面，CD，CE为路灯灯杆，CDAB，DCE=，在E处安装路灯，且路灯的照明张角MEN=.已知CD=4m，CE=2m.(1)当M，D重合时，求路灯在路面的照明宽度MN；(2)求此路灯在路面上的照明宽度MN的最小值.【答案】(1) ；(2) .【解析】【分析】（1）用余弦定理求出，进而求出，结合已知条件，求出，用正弦定理求出；（2）由面积公式，余弦定
9、理结合基本不等式，即可求出结果.【详解】(1)当M，D重合时，由余弦定理知，在EMN中，由正弦定理可知，解得；(2)易知E到地面的距离=5m由三角形面积公式可知，又由余弦定理可知，当且仅当EM=EN时，等号成立，解得答:(1)路灯在路面的照明宽度为m；(2)照明宽度MV最小值为.【点睛】本题考查解三角形的实际应用，涉及到正弦定理，余弦定理，面积公式，基本不等式，是一道综合题.18.已知函数（）的图象为曲线（）求曲线上任意一点处的切线的斜率的取值范围；（）若曲线上存在两点处的切线互相垂直，求其中一条切线与曲线的切点的横坐标的取值范围；（）试问：是否存在一条直线与曲线C同时切于两个不同点？如果存在
10、，求出符合条件的所有直线方程；若不存在，说明理由【答案】(1)(2)(3) 不存在一条直线与曲线C同时切于两点【解析】【详解】试题分析：解：（），则，即曲线上任意一点处的切线的斜率的取值范围是； （）由（1）可知， 解得或，由或得：；（）设存在过点A的切线曲线C同时切于两点，另一切点为B，则切线方程是：，化简得：，而过B的切线方程是，由于两切线是同一直线，则有：，得， 又由，即，即即，得，但当时，由得，这与矛盾所以不存在一条直线与曲线C同时切于两点. 考点：本试题考查了导数几何意义的运用点评：对于切线方程的求解主要抓住两点：第一是切点，第二就是切点出的切线的斜率然后结合点斜式方程来得到以及利用
11、函数的思想求解斜率的范围，或者确定方程的解即为切线的条数问题19.设各项均为正数的数列的前项和为，已知，且对一切都成立.(1)当时. 求数列的通项公式；若，求数列的前项的和；(2)是否存在实数，使数列是等差数列.如果存在，求出的值；若不存在，说明理由.【答案】(1)；(2)存在，0.【解析】【分析】(1) 时，可得到，即，然后用累乘法可得，进而可得出数列是首项为1，公比为2的等比数列，用错位相减法算出即可(2)先由算出，然后再证明即可【详解】(1)若，因为则，.又，化简，得. 当时，. ，得，.当时，时上式也成立，数列是首项为1，公比为2的等比数列，.因为，所以所以将两式相减得：所以(2)令，
12、得.令，得.要使数列是等差数列，必须有，解得.当时，且.当时，整理，得，从而，化简，得，所以. 综上所述，所以时，数列是等差数列.【点睛】1.常见数列求和方法：公式法、裂项相消法、分组求和法、错位相减法2.数列当中的一些推断求值问题，可先由特殊的算出来，然后再证明.20.已知矩阵，其中、，点在矩阵的变换下得到的点.（1）求实数、的值；（2）求矩阵的逆矩阵【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据题意得出，可得出关于实数、的方程组，解出即可；（2）计算出矩阵的行列式的值，然后利用求二阶逆矩阵的方法可求出.【详解】（1）因为，所以，所以；（2），【点睛】本题考查利用矩阵变换求参数，同时也考查
13、了二阶逆矩阵的计算，考查计算能力，属于基础题.21.在极坐标系中，已知，线段的垂直平分线与极轴交于点，求的极坐标方程及的面积【答案】的极坐标方程及,.【解析】【分析】将转化为直角坐标系下的坐标形式，然后求出线段的中点与直线的斜率，进而求出直线l在直角坐标系下的方程，再转化为极坐标方程；在直角坐标系下，求出点C到直线AB的距离、线段AB的长度，从而得出的面积.【详解】解：以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系xoy在平面直角坐标系xoy中， 的坐标为线段的中点为，故线段中垂线的斜率为，所以的中垂线方程为：化简得：，所以极坐标方程为，即，令，则，故在平面直角坐标系xoy中，C（10,
14、0）点C到直线AB：的距离为，线段，故的面积为.【点睛】本题考查了直线的极坐标方程问题，解题时可以将极坐标系下的问题转化为平面直角坐标系下的问题，从而转化为熟悉的问题.22.已知函数是奇函数.（1）求实数，的值；（2）若对任意实数，都有成立.求实数的取值范围.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根据为奇函数，即可求解实数的值. （2）利用换元法，转化为二次函数的问题讨论最值恒成立即可求解实数的取值范围.【详解】（1）当时，因为为奇函数，即总成立.，又当时，同理可得，综上.（2），原不等式化为，令，则，原不等式进一步化为在上恒成立.记，.当时，即时，合理；当时，即时，显然矛盾.综上实数的取值范围为：.【点睛】本题考查了分段函数的奇偶性求参数值，一元二次不等式恒成立求参数的取值范围，属于中档题.23.已知，记（1）求的值；（2）化简的表达式，并证明：对任意的，都能被整除【答案】（1）；（2），证明见解析.【解析】【分析】（1）由二项式定理得，利用公式计算的值；（2）由组合数公式化简，把化为的整数倍即可【详解】由二项式定理，得；（1）； （2）因为，所以，因为，所以能被整除.【点睛】本题考查了二项式定理与组合数公式的应用问题，也考查了整除问题，是难题