1、江苏省南通市2020届四校联盟高三数学模拟测试卷一、填空题（共14题,每题5分,计70分.不写解答过程,把答案写在答题纸指定位置上）1已知集合，则 2.复数，（其中是虚数单位），则复数的共轭复数为 3设向量(l，k)，(2，k3)，若，则实数k的值为 14如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为5函数f(x) = 的定义域为 .(-3/4,16已知命题p：1xa0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 5，7 7在正四棱锥SABCD中，点O是底面中心，SO2，侧棱SA2，则该棱锥的体积为 32/38若函数()的图象关于直线对称，则 9已知椭圆(ab0)的离心率，A、B分别是椭圆的左、右
2、顶点，P是椭圆上不同于A、B的一点，直线PA、PB的倾斜角分别为、，则的值为 10在所在的平面上有一点，满足，则= 11.如图，将数列中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成数表.已知表中的第一列构成一个公比为2的等比数列，从第2行起，每一行都是一个公差为的等差数列，若，则= 312己知x(0，3)，则的最小值为 13.若函数f(x) = x3-ax, x0存在零点，则实数a的取值范围为.2,+)14已知，若同时满足条件：，或；，则的取值范围是二、解答题（共6小题，共90分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16（本题满分14分）如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，已知底面A
3、BCD是菱形，点P是侧棱C1C的中点（1）求证：AC1平面PBD；（2）求证：BDA1P（1）证明：连结交于点，连结，因为四边形是正方形，对角线交于点，所以点是的中点，所以又因为点是侧棱的中点，所以在中，,所以4分又因为，所以平面7分（2）证明：连结.因为为直四棱柱，所以侧棱垂直于底面，又平面，所以因为底面是菱形，所以又，,所以10分又因为,所以，因为，所以，所以14分16（本小题满分14分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cosB（1）若c2a，求的值；（2）若CB，求sinA的值解：（1）解法1：在ABC中，因为cosB，所以2分因为c2a，所以，即，所以4分又由正弦定
4、理得，所以6分解法2：因为cosB，B(0，)，所以sinB2分因为c2a，由正弦定理得sinC2sinA，所以sinC2sin(BC)cosCsinC，即sinC2cosC4分又因为sin2Ccos2C1，sinC0，解得sinC， 所以6分（2）因为cosB，所以cos2B2cos2B18分又0B，所以sinB，所以sin2B2sinBcosB210分因为CB，即CB，所以A(BC)2B，（第17题）所以sinAsin(2B)sincos2Bcossin2B14分17（14分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的右焦点为，且过点过点且不与轴重合的直线与椭圆交于两点，点在椭圆上，且满足（1）求椭圆
5、的标准方程；（2）若，求直线的方程.解：（1）由题意可知，且，又因为，解得，2分所以椭圆的标准方程为4分；（2）若直线的斜率不存在，则易得，得，显然点不在椭圆上，舍去5分；因此设直线的方程为，设，将直线的方程与椭圆的方程联立，整理得7分，因为，所以8分，则由，得10分将点坐标代入椭圆的方程，得11分;将带入等式得，12分，因此所求直线的方程为14分设直线的方程为求解亦可（第18题）18（16分）某校要在一条水泥路边安装路灯，其中灯杆的设计如图所示，为地面，为路灯灯杆，在处安装路灯，且路灯的照明张角已知（1）当重合时，求路灯在路面的照明宽度；（2）求此路灯在路面上的照明宽度的最小值解：（1）当重
6、合时，由余弦定理知，所以2分，因为，所以，因为，所以，4分因为，所以6分在中，由正弦定理可知，解得8分；（2）易知到地面的距离，10分由三角形面积公式可知，所以,12分又由余弦定理可知，13分当且仅当时，等号成立，所以，解得14分；答：（1）路灯在路面的照明宽度为；（2）照明宽度的最小值为.16分19（本小题满分16分）已知函数（）的图象为曲线（1）求曲线上任意一点处的切线的斜率的取值范围；（2）若曲线上存在两点处的切线互相垂直，求其中一条切线与曲线的切点的横坐标的取值范围；（3）试问：是否存在一条直线与曲线C同时切于两个不同点？如果存在，求出符合条件的所有直线方程；若不存在，说明理由 【解】
7、（1），则， -4分（2）由（1）可知，-6分得：；-9分（3）设存在过点A的切线曲线C同时切于两点，另一切点为B，过A的切线方程是： ，-11分同理：过B的切线方程是， 则有：，得，-13分 又由， 即 ，即 即， 得，由得，这与矛盾，所以不存在-16分20（本小题满分16分）设各项均为正数的数列的前项和为，已知，且对一切都成立（1） ，求数列的通项公式；若求数列的前项的和（2） 是否存在实数，使数列是等差数列.如果存在，求出的值；若不存在，说明理由.【详解】(1)若，因为则，.又，化简，得. 当时，. ，得，.当时，时上式也成立，数列是首项为1，公比为2的等比数列，.4分因为，所以所以将两
8、式相减得：所以8分(2)令，得.令，得.要使数列是等差数列，必须有，解得.当时，且.10分当时，整理，得，从而，化简，得，所以. 综上所述，所以时，数列是等差数列. 16分数学附加试卷（满分40分，考试时间30分钟）21A（本小题满分10分）己知矩阵，其中，点P(2，2)在矩阵的变换下得到的点Q(2，4)（1)求实数a，b的值：（2）求矩阵A的逆矩阵解：（1）因为，所以所以5分（2），10分21B在极坐标系中，已知 1， 9，线段的垂直平分线与极轴交于点，求的极坐标方程及的面积解：由题意，线段的中点坐标为，设点为直线上任意一点，在直角三角形中，所以，的极坐标方程为，5分令，得，即（8分）所以，的面积为：10分22.(本小题満分10分)（1）求实数m，n的值：（2）若对任意实数x，都有成立.求实数的取值范围.23（本小题满分10分）已知，记（1）求的值；（2）化简的表达式，并证明：对任意的，都能被整除解：（1）3分（2）7分，能被整除10分