1、二项式定理的应用一、 单选题1、（2020届山东省滨州市高三上期末）展开式中项的系数为（ ）ABCD【答案】B【解析】的展开式通项为：当，即时，项的系数为：本题正确选项：2、（2020年高考北京）在的展开式中，的系数为（ ）AB5CD10【答案】C【解析】展开式的通项公式为：，令可得：，则的系数为：.故选：C.3、（2020届山东省临沂市高三上期末）的展开式的中间项为（ ）A-40BC40D【答案】B【解析】的展开式的通项为则中间项为.故选：B.4、（2020届山东省潍坊市高三上期中） 展开式中的系数为（ ）A-112B28C56D112【答案】D【解析】由取，得展开式中的系数为故选：D.5、
2、（2019年高考全国卷理数）（1+2x2 ）（1+x）4的展开式中x3的系数为A12B16C20 D24【答案】A【解析】由题意得x3的系数为，故选A6、（2020年高考全国卷理数）的展开式中x3y3的系数为（ ）A5B10C15D20【答案】C【解析】展开式的通项公式为（且）所以的各项与展开式的通项的乘积可表示为：和在中，令，可得：，该项中的系数为，在中，令，可得：，该项中的系数为所以的系数为故选：C.7、（2020吉林省吉大附中高二月考）若的展开式中含有常数项，则的最小值等于（ ）A3B4C5D6【答案】C【解析】由题意的展开式的 ，令 ，得，当 时，取到最小值5，故答案为C8、（2020
3、届浙江省温州市高三4月二模）若，则的值为（ ）ABCD【答案】B【解析】展开式的通项为：，故，根据对称性知：.故选：.9、（2020河北衡水中学高三月考）已知二项式的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是25，则的系数为（ ）A14BC240D【答案】C【解析】二项展开式的第项的通项公式为由展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是25，可得：.解得：.所以令，解得：，所以的系数为，故选C10、（2020贵州省贵阳一中高三月考）在二项式的展开式中,各项系数之和为,各项二项式系数之和为,且,则展开式中常数项的值为（ ）A18B12C9D6【答案】C【解析】令,可得各项系数之和;各项二项式系数之和
4、;而=,解得;所以,其通项=,令,可得展开式中常数项为.故选C.二、 多选题11、（2020枣庄市第三中学高三月考）对任意实数x，有.则下列结论成立的是（ ）ABCD【答案】ACD【解析】对任意实数x，有1+2（x1）9，a222144，故A正确；故令x1，可得a01，故B不正确；令x2，可得a0+a1+a2+a91，故C正确；令x0，可得a0a1+a2+a939，故D正确；故选：ACD.12、（2020山东省日照实验高级中学高三月考）对于二项式，以下判断正确的有（ ）A存在，展开式中有常数项； B对任意，展开式中没有常数项；C对任意，展开式中没有的一次项； D存在，展开式中有的一次项.【答案
5、】AD【解析】设二项式展开式的通项公式为，则，不妨令，则时，展开式中有常数项，故答案A正确，答案B错误；令，则时，展开式中有的一次项，故C答案错误，D答案正确。故答案选AD13、对于二项式，以下判断正确的有（ ）A对任意，展开式中有常数项B存在，展开式中有常数项C对任意，展开式中没有x的一次项D存在，展开式中有x的一次项【答案】BD【解析】展开式的通项为：，取，得到，故当是的倍数时，有常数项，故错误正确；取，取，时成立，故错误正确；故选：.14、（2021年徐州一中月考）对于的展开式，下列说法正确的是（ ）A展开式共有6项B展开式中的常数项是-240C展开式中各项系数之和为1D展开式中的二项式
6、系数之和为64【答案】CD【解析】的展开式共有7项，故A错误；的通项为，令，展开式中的常数项为，故B错误；令，则展开式中各项系数之和为，故C正确；的展开式中的二项式系数之和为，故D正确.故选：.15、已知的展开式中各项系数的和为2，则下列结论正确的有（ ）AB展开式中常数项为160C展开式系数的绝对值的和1458D若为偶数，则展开式中和的系数相等【答案】ACD【解析】对于A， 令二项式中的为1得到展开式的各项系数和为，故A正确；对于B，展开式的通项为，当展开式是中常数项为：令,得可得展开式中常数项为：，当展开式是中常数项为： 令,得(舍去)故的展开式中常数项为.故B错误；对于C，求其展开式系数
7、的绝对值的和与展开式系数的绝对值的和相等，令，可得：展开式系数的绝对值的和为：.故C正确；对于D，展开式的通项为，当为偶数，保证展开式中和的系数相等和的系数相等，展开式系数中系数为：展开式系数中系数为：此时和的系数相等，和的系数相等，展开式系数中系数为：展开式系数中系数为：此时和的系数相等，和的系数相等，展开式系数中系数为：展开式系数中系数为：此时和的系数相等，故D正确；综上所在，正确的是：ACD故选：ACD.16、对于二项式，以下判断正确的有（ ）A存在，展开式中有常数项；B对任意，展开式中没有常数项；C对任意，展开式中没有的一次项；D存在，展开式中有的一次项.【答案】AD【解析】设二项式展
8、开式的通项公式为，则，不妨令，则时，展开式中有常数项，故答案A正确，答案B错误；令，则时，展开式中有的一次项，故C答案错误，D答案正确。故答案选AD17、已知的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是（ ）A展开式中奇数项的二项式系数和为256B展开式中第6项的系数最大C展开式中存在常数项D展开式中含项的系数为45【答案】BCD【解析】由二项式的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等可知,又展开式的各项系数之和为1024,即当时,所以,所以二项式为,则二项式系数和为,则奇数项的二项式系数和为,故A错误；由可知展开式共有11项,中间项的二项式系
9、数最大,即第6项的二项式系数最大,因为与的系数均为1,则该二项式展开式的二项式系数与系数相同,所以第6项的系数最大,故B正确；若展开式中存在常数项,由通项可得,解得,故C正确；由通项可得,解得,所以系数为,故D正确,故选: BCD三、 填空题18、（2020年高考全国III卷理数）的展开式中常数项是_（用数字作答）【答案】【解析】其二项式展开通项：当，解得的展开式中常数项是：.故答案为：.19、 （2020届山东省日照市高三上期末联考）二项式的展开式中的常数项是_.（用数字作答）【答案】60【解析】有题意可得，二项式展开式的通项为： 令可得 ，此时.20、（2020全国高三专题练习（理）在的展
10、开式中,含项的系数是_.【答案】280【解析】的展开式中： ，取得到项的系数为 故答案为：21、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）在的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是 【答案】7【解析】本题考查二项式定理的知识，利用二项式的通项来解题.根据题意可得，令，可得常数项为7.22、（2019年高考浙江卷理数）在二项式的展开式中，常数项是_；系数为有理数的项的个数是_【答案】 【解析】由题意，的通项为，当时，可得常数项为；若展开式的系数为有理数，则，有共5个项故答案为：，23、（2020届山东省德州市高三上期末）的展开式中，常数项为_；系数最大的项是_.【答案】 【解析
11、】的展开式的通项为，令，得，所以，展开式中的常数项为；令，令，即，解得，因此，展开式中系数最大的项为.故答案为：；.24、（2020年高考浙江）二项展开式，则_，_【答案】80；122【解析】的通项为，令，则，故；.故答案为：80；122.25、（2020届浙江省嘉兴市高三5月模拟）二项式的展开式中，常数项为_，所有项的系数之和为_【答案】4 16 【解析】的展开式的通项，令，解得，则常数项为；二项式中，令，得到，则所有项的系数之和为16.故答案为：4；16.25、（2020届浙江省绍兴市高三4月一模）已知，则_，_.【答案】0 665 【解析】因为，令可得：.所以：；故.故答案为：0，665
12、.27、（2020届浙江省之江教育评价联盟高三第二次联考）已知多项式，则_，_.【答案】4 16. 【解析】令，得，设，则，则多项式等价为，则为一次项的系数，则，故答案为：4，16.28、（2020届浙江省“山水联盟”高三下学期开学）若二项式的展开式中各项系数之和为108，则_，有理项的个数为_【答案】2 4 【解析】中令可得，可得中只有一项为有理项，因此展开式中有理项是4个故答案为：2；4.29、（2020浙江温州中学3月高考模拟）已知多项式满足，则_，_【答案】 【解析】多项式 满足令，得，则该多项式的一次项系数为令，得故答案为5，72四、 解答题30、（2020湖北省江夏一中高二月考）已知二项式的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2：5，按要求完成以下问题：（1）求的值；（2）求展开式中常数项；（3）计算式子的值.【解析】（1）依题意，即，解得；（2）由（1）知，由，得，展开式中常数项（3）令得31、（2019年高考江苏卷理数）设已知（1）求n的值；（2）设，其中，求的值【解析】（1）因为，所以，因为，所以，解得（2）由（1）知，解法一：因为，所以，从而解法二：因为，所以因此32、（2020江苏省南京师大附中高二）已知，记（1）求的值；（2）化简的表达式，并证明：对任意的，都能被整除【解析】由二项式定理，得；（1）； （2）因为，所以，因为，所以能被整除.
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