1、第三章 概 率 1 随机事件的概率 1.1 频率与概率 必备知识自主学习 导思 1.怎样计算频率?2.频率与概率有区别吗?1.随机事件的频率(1)定义:随机事件A在n次重复试验中发生了m次,则随机事件A 发生的频率为 _.(2)特点:频率是一个变化量,会随具体试验的不同而变化;在大量重复试验时,频率会呈现出稳定性,在一个“_”附近摆动,但随着 试验次数的增加,摆动的幅度具有越来越小的趋势.nm(A)nf常数 2.随机事件的概率(1)定义:在相同的条件下,大量重复进行同一试验时,随机事件A发生的频率会在 某个常数附近摆动,即随机事件A发生的频率具有稳定性,这个常数叫作随机事件 A的概率.(2)记
2、法:_.(3)范围:_.P(A)0P(A)1【思考】(1)随机事件的频率与概率有什么区别与联系?(2)随机事件的概率有哪些特点?提示:随机事件的概率有三个特点:必然事件的概率为1.不可能事件的概率为0.必然事件和不可能事件是随机事件的两种极端情况.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”)(1)随机事件没有结果.()(2)随机事件的频率与概率一定不相等.()(3)在一次试验结束后,随机事件的频率是变化的.()2.下列事件中:从一个三角形的三个顶点各任画一条射线,这三条射线交于一点;实数a,b都不为0,但a2+b2=0;明年1月28日的最高气温高于今年1月28日的最高气温.其中为随机事件
3、的是 ()A.B.C.D.3.某人抛掷一枚硬币100次,结果正面朝上有53次,设正面朝上为事件A,则事件A 出现的频数为_,事件A出现的频率为_.【解析】由题意,试验次数n=100,事件A出现的次数nA=53,即为频数,故事件A出 现的频率fn(A)=0.53.答案:53 0.53 An53n100关键能力合作学习 类型一 随机事件类型的判断(数学抽象)【题组训练】1.下列事件中,是随机事件的是()A.长度为3,4,5的三条线段可以构成一个三角形 B.长度为2,3,4的三条线段可以构成一直角三角形 C.方程x2+2x+3=0有两个不相等的实根 D.函数y=loga x(a0且a1)在定义域上为
4、增函数 2.下列5个事件中,随机事件的个数是()如果ab,则a-b0;对高一学生进行体检,每个学生的体重都超过100 kg;某次考试的及格率是95%;从100个灯泡中,取出5个,5个都是次品(这100个灯泡中有95个正品,5个次品);后天下雨.A.0 B.1 C.2 D.3【解题策略】判断一个事件是必然事件、不可能事件、随机事件的两个依据(1)看条件:在条件S下事件是否发生与条件是相对而言的,没有条件,无法判断事件是否发生.(2)看结果:在条件S下,要准确判断是否发生还是两种可能都有.有时结果比较复杂,要准确理解结果包含的各种情况.【补偿训练】在下列事件中,哪些是必然事件?哪些是不可能事件?哪
5、些是随机事件?如果a,b都是实数,那么a+b=b+a;从分别标有1,2,3,4,5,6的6张号签中任取一张,得到4号签;没有水分,种子发芽;某电话总机在60秒内接到至少15个电话;在标准大气压下,水的温度达到50 时沸腾;手电筒的电池没电,灯泡发亮.类型二 频率与概率的关系(逻辑推理)角度1 频率的计算 【典例】1.某人将一枚硬币连掷了10次,正面朝上的情况出现了6次,若用A表示正面朝上这一事件,则A的()A.概率为 B.频率为 C.频率为6 D.概率接近0.6 2.在掷一枚硬币的试验中,共掷了100次,“正面朝上”的频率为0.49,则“正面朝下”的次数为_.3535【思路导引】1.试验不同,
6、频率有可能不同,但是概率是个固定值.2.运用频率=求解.频数实验次数角度2 用频率估计概率 【典例】为备战奥运会,某射击队统计了平日训练中两名运动员击中10环的次数,如表:射击次数102050100200500甲击中10环的次数9174492179450甲击中10环的频率乙击中10环的次数8194493177453乙击中10环的频率(1)分别计算出甲、乙两名运动员击中10环的频率;(2)根据(1)中的数据预测两名运动员在奥运会上击中10环的概率.【思路导引】用频率估计概率的步骤:(1)进行大量的随机试验,得频数;(2)由频率计算公式,得频率;(3)由频率与概率的关系,估计概率.【解题策略】(1
7、)频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值,利用此公式可求出它们的频率.频率本身是随机变量,当n很大时,频率总是在一个稳定值附近左右摆动,这个稳定值就是概率.(2)解此类题目的步骤是:先利用频率的计算公式依次计算出频率,然后用频率估计概率.【题组训练】1.在进行n次重复试验中事件A发生的频率为 ,当n很大时事件A发生的概率 P(A)与 的关系是()A.P(A)B.P(A)D.P(A)=mnmnmnmnmnmn2.如果掷一枚质地均匀的硬币,连续5次正面向上,有人认为下次出现反面向上的 概率大于 ,这种理解正确吗?【解析】这种理解是不正确的.掷一枚质地均匀的硬币,作为一次试验,其结果是 随机的
8、,但通过大量的试验,其结果呈现出一定的规律,即“正面向上”“反面向 上”的可能性都是 ,连续5次正面向上这种结果是可能的,但对下一次试验来说,仍然是随机的,其出现正面向上和反面向上的可能性还是 ,而不会大于 .12121212类型三 事件、概率的应用【典例】已知f(x)=x2-2x,x0,3,给出事件A:f(x)a.(1)当A为必然事件时,求a的取值范围.(2)当A为不可能事件时,求a的取值范围.【思路导引】必然事件发生的概率为1,不可能事件发生的概率为0,依此建立不等式求解.【解题策略】对三种事件的定义的理解 不可能事件在相应的条件下一定不可能发生,即发生概率为0;必然事件则在相应的条件下一
9、定发生,即发生概率为1;而随机事件在一定的条件下有可能发生也有可能不发生.【跟踪训练】1.在10名学生中,男生有x名,现从10名学生中任选6人去参加某项活动:至少有一名女生;5名男生,1名女生;3名男生,3名女生.若要使为必然事件,为不可能事件,为随机事件,则x=()A.5 B.6 C.3或4 D.5或6【解析】选C.依题意知,10名学生中,男生人数少于5人,但不少于3人,故x=3或x=4.2.某家具厂为足球比赛场馆生产观众座椅.质检人员对该厂所生产的2 500套座 椅进行抽检,共抽检了100套,发现有2套次品,则该厂所生产的2 500套座椅中大 约有_套次品.【解析】设有n套次品,由题意知
10、,解得n=50,所以该厂所生产的2 500 套座椅中大约有50套次品.答案:50 n2=2500100【拓展延伸】(1)由于概率反映了随机事件发生的可能性的大小,概率是频率的稳定值,频率是概率的近似值,所以可以用样本出现的频率近似地估计总体中该结果出现的概率.(2)实际生活与生产中常常用随机事件发生的概率来估计某个生物种群中个别生物种类的数量、某批次的产品中不合格产品的数量等.【拓展训练】为了估计水库中鱼的尾数,可以使用以下的方法:先从水库中捕出2 000尾鱼,给每尾鱼做上记号,不影响其存活,然后放回水库.经过适当的时间,让其和水库中的其他鱼充分混合,再从水库中捕出500尾,查看其中有记号的鱼
11、,有40尾,试根据上述数据,估计水库中鱼的尾数.1.12本外形相同的书中,有10本语文书,2本数学书,从中任意抽取3本书,则必然事件为()A.3本都是语文书 B.至少有一本是数学书 C.3本都是数学书 D.至少有一本是语文书【解析】选D.因为12本书中只有2本数学书,从中任意抽取3本书,至少有一本是语文书.课堂检测素养达标 2.某篮球运动员投篮命中率为98%,估算该运动员投篮1 000次命中的次数为()A.98 B.980 C.20 D.998【解析】选B.1 000次命中的次数约为98%1 000=980.3.下列说法正确的是()A.一个人打靶,打了10发子弹,有7发子弹中靶,因此这个人中靶
12、的概率为 B.一个同学做掷硬币试验,掷了6次,一定有3次“正面朝上”C.某地发行福利彩票,其回报率为47%.有个人花了100元钱买彩票,则一定会有 47元的回报 D.大量试验后,可以用频率近似估计概率【解析】选D.A的结果是频率;B错的原因是误解了概率是 的含义;C错的原因 是忽略了整体与部分的区别.710124.给出下列事件:明天进行的某场足球赛的比分是21;下周一某地的最高气温和最低气温相差10;同时掷两枚骰子,向上一面的点数之和不小于2;射击1次,命中靶心;当x为实数时,x2+4x+40.其中,必然事件有_,不可能事件有_,随机事件有_.5.某中学为了了解初中部学生的某项行为规范的养成情况,在学校随机抽取初中 部的150名学生登记佩戴胸卡的学生名字.结果150名学生中有60名佩戴胸卡.第 二次检查,调查了初中部的所有学生,有500名学生佩戴胸卡.据此估计该中学初 中部一共有多少名学生.【解析】设初中部有n名学生,依题意得 ,解得n=1 250.所以该中学初中部共有学生大约1 250名.60500=150n