1、内蒙古集宁一中（西校区）2020-2021学年高二数学上学期第一次月考试题 理（含解析）本试卷满分150分，考试时间为120分钟 第卷 （选择题 共60分）一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是最符合题意的.每小题5分，共60分.）1. 已知向量，则（ ）A. B. C. 0D. 1【答案】A【解析】【分析】由向量共线，列出方程求解，即可得出结果.【详解】因向量，所以，解得.故选：A.【点睛】本题主要考查由向量共线求参数，熟记向量共线的坐标表示即可，属于基础题型.2. 若向量，满足条件，则x等于（ ）A. 6B. 2C. 4D. 3【答案】B【解析】【分析】求出向量数量积的坐标表示，可
2、解得【详解】由题意，解得故选：B【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标表示，属于基础题3. 设非零向量满足，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】化简条件，两边平方可得选项.详解】解法一：，.故选:A.解法二：利用向量加法的平行四边形法则在ABCD中，设，由知，从而可知四边形ABCD为矩形，即ABAD，故.故选：A.【点睛】本题主要考查平面向量的运算，利用向量的模长关系得出相应的结论，主要的求解策略是“见模长，就平方”，侧重考查数学运算的核心素养.4. 如图，在中，是上的一点，若，则实数的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】平面内三点共线的充要条件为：
3、存在实数，使，且.求得，从而可得结果.【详解】由，可得，所以，又三点共线，由三点共线定理，可得：，故选C.【点睛】本题主要考查平面向量共线定理的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于基础题.5. 如图，在中，分别是边，上的中线，它们交于点，则下列各等式中不正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据平面共线定理、平面向量加法的几何意义，结合三角形重心的性质进行判断即可.【详解】因为，分别是边，上的中线，它们交于点，所以点是的重心.选项A：因为点是的重心，所以，因此，所以本选项正确；选项B：因为是边上的中线，所以，又因为点是的重心，所以有，因此，所以本选项正确
4、；选项C：因为点是的重心，所以，因此，所以本选项不正确；选项D：因为是边上的中线，点是的重心，所以有，因此本选项正确.故选：C【点睛】本题考查了三角形重心的性质，考查了平面向量共线定理和平面向量加法的几何意义，属于基础题.6. 在中，则的形状为（ ）A. 钝角三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 不确定【答案】B【解析】【分析】根据向量运算可知三角形中中线与垂线重合，可知三角形为等腰三角形，即可确定三角形形状.【详解】因为，所以，即，所以在中，与边上的中线垂直，则，同理，所以，是等边三角形故选：B【点睛】本题主要考查了向量的数量积，向量垂直，考查了运算能力，属于中档题.7. 已知平面上的
5、非零向量，下列说法中正确的是（ ）若，则；若，则；若，则，；若，则一定存在唯一的实数，使得.A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据向量共线定理判断，由模长关系只能说明向量，的长度关系判断，举反例判断.【详解】对于，由向量共线定理可知，则存在唯一的实数，使得，则存在唯一的实数，使得，由此得出存在唯一的实数，使得，即，则正确；对于，模长关系只能说明向量，的长度关系，与方向无关，则错误；对于，当时，由题意可得，则，不能说明，则错误；由向量共线定理可知，正确；故选：B.【点睛】本题主要考查了向量共线定理以及向量的定义，属于中档题.8. 下面函数中为偶函数的是（ ）A. B. C. D.
6、 【答案】C【解析】【分析】利用函数奇偶性的逐项判断各选项中函数的奇偶性，可得出结论.【详解】对于A选项，设，该函数的定义域为，所以，函数为奇函数；对于B选项，设，该函数的定义域为，所以，函数为奇函数；对于C选项，设，该函数的定义域为，所以，函数为偶函数；对于D选项，设，则，则，所以，函数为非奇非偶函数.故选：C.【点睛】本题考查函数奇偶性的判断，涉及函数奇偶性定义以及特殊值法的应用，考查推理能力，属于基础题.9. 函数的单调递增区间为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意得到，再解不等式即可得到答案.【详解】当，时，函数单调递增，即当，时，函数单调递增.故选：A【点
7、睛】本题主要考查正弦型函数的单调区间，属于简单题.10. 为得到的图象，只需要将的图象（ ）A. 向左平移个单位B. 向左平移个单位C. 向右平移个单位D. 向右平移个单位【答案】D【解析】试题分析：因为，所以为得到的图象，只需要将的图象向右平移个单位；故选D考点：三角函数的图像变换11. 已知，是夹角为的两个单位向量，则与的夹角是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用平面向量的数量积公式先求解，再计算与，根据数量积夹角公式，即可求解.【详解】由题意得：，.设夹角为，.故选：B.【点睛】本题考查利用平面向量的数量积计算向量的夹角问题，难度一般，准确运用向量的数量积公式即可
8、.12. 在中，为所在平面上任意一点，则的最小值为（ ）A. 1B. C. 1D. -2【答案】C【解析】【分析】以为建立平面直角坐标系，设，把向量的数量积用坐标表示后可得最小值【详解】如图，以为建立平面直角坐标系，则，设，当时，取得最小值故选：C【点睛】本题考查向量的数量积，解题方法是建立平面直角坐标系，把向量的数量积转化为坐标表示第卷（非选择题 共90分）二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13. 已知向量，则_.【答案】5【解析】【分析】本题首先求出，然后根据得出，最后由数量积的运算即可得出结果.【详解】因为，所以，因为，所以，即，.故答案为：5【点睛】本题考查向量的模
9、以及向量的运算，考查向量的模的求法，若，则，考查计算能力，是简单题.14. 已知，则向量在方向上的投影为_.【答案】【解析】【分析】根据向量的数量积的坐标运算，求得，结合向量的投影的概念，即可求解.【详解】由向量，可得，所以向量在方向上的投影数列为.故答案为：【点睛】本题主要考查了向量的数量积的坐标运算，以及向量的投影的概念，其中解答中熟记向量的投影的概念，以及向量的数量积的坐标运算公式是解答的关键，着重考查运算与求解能力.15. 已知O为坐标原点，在x轴上求一点P，使有最小值，则P点的坐标为_【答案】【解析】【分析】设点的坐标，计算并把结果利用二次函数的性质，配方求出其取最大值时的条件【详解
10、】设，所以，当时， 有最小值，此时故答案为：【点睛】本题考查两个向量的数量积公式的应用，二次函数取最大值的条件属于基础题.16. 设x（0，），则f（x）=cos2x+sinx的最大值是 【答案】【解析】试题分析：由题意利用正弦函数的值域，二次函数的性质，求得函数f（x）取得最大值解：f（x）=cos2x+sinx=1sin2x+sinx=+，故当sinx=时，函数f（x）取得最大值为，故答案为考点：三角函数的最值三、 解答题、(本大题共6小题满分70分)17. 写出函数的振幅、周期、初相，并求出此函数的单调递增区间和对称轴.【答案】；单调递增区间：，（）；对称轴：，（），【解析】【分析】本题
11、先求，再根据图象与性质求单调递增区间与对称轴.【详解】解： 函数的解析式为：， ， 当，（）时，单调递增， 当，（）即，（）时，单调递增， 函数的单调递增区间：，（）， 的对称轴是：，（）， 的对称轴是：，（）即，（），【点睛】本题考查的图象与性质，是基础题.18. （1）化简：；（2）设两个非零向量与不共线.如果，求证：、三点共线.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）进行向量的数乘运算即可；（2）根据，进行向量的数乘运算即可得出，从而得出共线，进而得出、三点共线.【详解】（1）原式；（2），又、有公共点，、三点共线.【点睛】本题考查了向量的数乘运算，向量加法的几何意义，共
12、线向量基本定理，考查了计算能力，属于基础题.19. 如图，平行四边形ABCD中，已知，设，（1）用向量和表示向量，；（2）若，求实数x和y的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）用平面向量的线性运算整理可得：，代入已知向量即可得到.（2）用平面向量的线性运算整理可得：，结合题干条件，可得到等式，解等式即可.【详解】解：（1）（2）因为.即因为与不共线，从而，解得【点睛】本题考查平面向量线性运算，考查向量的基底表示，考查学生的运算能力、转换能力以及思维能力，属于中档题.20. 已知，且与不共线.（1）当向量与互相垂直时，求值；（2）当与的夹角为时，求的模.【答案】（1），（2）【解析
13、】【分析】（1）利用向量垂直的性质求出的值；（2）由，再利用向量的数量积公式求解即可【详解】解：（1）因为，且与不共线，向量与互相垂直，所以，解得，（2）当与的夹角为时，【点睛】此题考查向量模的求法，考查平面向量数量积运算法则、向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.21. 已知，其中是的一个内角.（1）求的值；（2）判断是锐角三角形还是钝角三角形；（3）求的值.【答案】（1）；（2）钝角三角形；（3）.【解析】【分析】（1）对两边平方即可得到答案.（2）根据和的范围即可得到答案.（3）首先计算得到，联立方程组，得到，再利用同角三角函数商数关系即可得到答案.【详解】（1）因为，
14、所以，解得.（2）因为是的一个内角，所以，即，为钝角三角形.（3）因为，且，所以.因为，解得.所以.【点睛】本题主要考查同角三角函数的关系，同时考查了三角形形状的判定，属于简单题.22. 如图，在中，是边的中点，是边上靠近点的一个三等分点，与交于点.设，.（1）用，表示（2）过点的直线与边，分别交于点，.设，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设，利用，三点共线和，三点共线可以得出的两个方程，然后解出即可（2）利用，共线即可推出【详解】（1）设，则，三点共线，共线，从而.又，三点共线. ，共线，同理可得.联立，解得，故.（2），且，共线，整理得.【点睛】1.平面向量共线定理：若与共线且，则存在唯一实数使得2.平面向量基本定理：若，是平面内两个不共线的向量，则对于平面中的任一向量，使的实数，存在且唯一.
