1、内蒙古集宁一中（西校区）2020-2021学年高二数学上学期期中试题 理（含解析）一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）1. 猜想数列的一个通项公式为()A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】A项，令，则，故A项错误；B项，由于数列的前几项可以变形为，被开方数构成了以2为首项，公差为3的等差数列，故可知其通项公式是，故B项正确；C项，令，则，故C项错误；D项，令，则，故D项错误，故选B. 考点：数列的通项公式点评：解决的关键是对于已知中各个项的变换规律，那么可知数字构成了等差数列，属于基础题2. 已知等差数列中，则公差（ ）A. -2B. C. D. 2【答案】C【
2、解析】【分析】利用等差数列的通项公式即可得出.【详解】解：，.故选：C.3. 已知正方形ABCD的中心为且边长为1，则（ ）A. B. C. 2D. 1【答案】D【解析】【分析】利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，再利用两个向量的数量积的定义，求得要求式子的值.【详解】解：正方形的中心为且其边长为1，则，故选：D.4. 已知则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】本题考查正切的差角公式，选C5. 已知等差数列中，则等于（ ）A. 15B. 30C. 31D. 64【答案】A【解析】【分析】根据条件求出等差数列的首项和公差，即可得答案；【详解】，故选：A.【点睛】本题考查等差数
3、列通项公式基本量运算，考查运算求解能力，属于基础题.6. ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a3，b7，cosB，则c（）A. 4B. 5C. 8D. 10【答案】B【解析】【分析】根据a3，b7，cosB，直接利用余弦定理求解即可【详解】因为a3，b7，cosB所以由余弦定理：b2a2+c22cacosB即499+c26（）c解得：c5故选：B【点睛】本题考查了余弦定理的应用属于基础题7. 一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前6项均为正数，第7项开始为负数，则它的公差是（ ）A. 2B. 3C. 4D. 6【答案】C【解析】【分析】根据等差数列的通项公式和已知条件，建
4、立不等式组，解之可得选项.【详解】设等差数列的公差为，又数列前六项均为正数，第七项起为负数，又数列是公差为整数的等差数列，故选：C.8. 已知平面内两个不共线向量，且，若向量与共线，则k=（ ）A. 3或-2B. 1或-6C. -3或2D. -1或6【答案】A【解析】【分析】利用向量共线定理和平面向量基本定理即可得出.【详解】解：向量与共线，实数，使得，化.，是同一平面内两个不共线的向量，解得，或.故选：A.9. 已知向量，若为钝角，则的范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据是钝角，即可得出，然后解出的范围即可.【详解】解：为钝角，且不共线，解得且，的范围是，.故选
5、：D.10. 设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则B=（ ）A B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据正弦定理，结合三角恒等变换化简即可求得.【详解】由正弦定理可得：，.故选：D【点睛】此题考查根据正弦定理进行边角互化，根据三角恒等变换化简求解角的大小.11. 已知点，则向量在方向上的投影为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【详解】，向量在方向上的投影为，故选A12. 已知，则等于 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题首先可根据、以及同角三角函数关系得出以及，然后根据二倍角公式对进行化简即可得出的值【详解】因为，所以，即，解
6、得或，因为，所以，所以，因为，所以，解得，故选D【点睛】本题考查二倍角公式的使用以及同角三角函数关系，在运算的过程中，一定要注意角的范围，考查化归与转化思想，考查运算能力，是中档题二.填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.）13. 已知数列首项为，且，则为_.【答案】31【解析】【分析】构造可得，从而可得数列是以2为首项，以2为等比数列，可先求，进而可求，把代入可求【详解】是以2为首项，以2为等比数列故答案为【点睛】本题主要考查了利用数列的递推关系求解数列的项，待定系数法 迭代的方法即构造等比（等差）数列的方法求解，14. 若，则_.【答案】【解析】【分析】将已知等式两边平方，可得，
7、结合已知的范围可得，从而可求，进而利用二倍角公式，平方差公式即可求解.【详解】解：因为，两边平方，可得，可得，所以，可得，所以.故答案为：.15. 已知向量，若，则k=_.【答案】【解析】【分析】根据条件可求出，然后根据可得出，然后进行数量积的运算即可求出的值.【详解】解：，且，解得.故答案为：.16. 已知，则当取最大值时的 _.【答案】【解析】【分析】先将函数化简，求出辅助角的正切值，求出函数最大值时的值，进而求出的正弦值.【详解】解：且，所以，这时，所以，故答案为：三.解答题（本大题6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，
8、b，c，已知b=2，a=，A=.求B，C及边c.【答案】或.【解析】【分析】先利用余弦定理求出的值，然后再利用余弦定理求出剩余的两个角.【详解】解：由余弦定理得：，即，解得或.当时，由正弦定理得：，解得：，因为，故，.当时，由正弦定理得：，解得，故，.故：或.【点睛】本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，考查运算求解能力，在求解角的时候，注意角的范围，属于中档题.18. 已知平面内两个不共线的向量，.（1）求；（2）求与的夹角.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）根据条件对的两边平方即可得出关于的方程，然后根据题意知，从而解出；（2）进行数量积的运算可求出和的值，然后即可求出的值，
9、从而可求出和的夹角.【详解】解：（1），且，解得；（2），且，.19. 已知数列中，= 4.（1）若 ，求；（2）若数列为等差数列，且，求数列的通项公式.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由，知为等差数列，由此能求出求.（2）若数列为等差数列，由，得，由此能求出.【详解】解：（1）由，知为等差数列，公差为，.（2）若数列等差数列，由，得，.20. 设函数.（1）求的值；（2）求最小值及取最小值时的集合；（3）求的单调递增区间.【答案】（1）；（2），；（3）单调递增区间为.【解析】【分析】（1）利用两角和的余弦公式，二倍角公式以及两角差的正弦公式化简函数解析式可得，代入，即可计算得
10、解.（2）由（1）利用正弦函数的性质即可求解.（3）利用正弦函数的单调性即可求解.【详解】解：（1），所以.（2）由于，所以当时，此时，所以取最小值时的集合为，故的最小值为0，取最小值时的集合为.（3）令，解得，所以的单调递增区间为，.【点睛】本题主要考查了两角和的余弦公式，二倍角公式、两角差的正弦公式以及正弦函数的图象和性质，考查了转化思想和函数思想的应用，属于中档题.21. 已知数列an满足a11，an(nN*，n2)，数列bn满足关系式bn(nN*)(1)求证：数列bn为等差数列；(2)求数列an通项公式【答案】(1)见证明；(2) an.【解析】【分析】(1)通过对an(nN*，n2)
11、两边同时取倒数、整理得，进而可得数列bn是以1为首项，2为公差的等差数列.(2)通过(1)可知bn2n1，进而求倒数可得结论.【详解】(1)证明：bn，且an，.又b11，数列bn是以1为首项，2为公差的等差数列(2)解：由(1)知数列bn的通项公式为bn1(n1)22n1，又bn，an.数列an的通项公式为an.【点睛】本题考查数列的通项及前项n和公式，考查运算求解能力，注意解题方法的积累.22. 中，D是BC上的点，AD平分BAC，面积是面积的2倍(1)求；(2)若AD1，DC，求BD和AC的长【答案】（1）；（2）1【解析】试题分析：（1）借助题设条件运用三角形的面积公式求解；（2）借助题设余弦定理立方程组求解.试题解析：（1），由正弦定理可知.（2），设，则，在与中，由余弦定理可知，解得，即考点：三角形的面积公式正弦定理余弦定理等有关知识的综合运用