1、第九章直线和圆的方程第一讲直线方程与两直线的位置关系1.2020山东青岛模拟已知直线l经过直线l1:x+y=2,l2:2x - y=1的交点,且直线l的一个方向向量v=( - 3,2),则直线l的方程是()A.3x - 2y - 1=0B.3x - 2y+1=0C.2x+3y - 5=0D.2x - 3y+1=02.2020浙江台州五校联考已知直线l过点P(1,1)且与以A(0, - 1),B(3, - 4)为端点的线段相交,则直线l的斜率的取值范围为()A.( - , - 52 B.2,+)C. - 52,12 D.( - , - 522,+)3.2020河南郑州模拟数学家欧拉在1765年提
2、出:三角形的外心、重心、垂心(外心是三角形三条边的垂直平分线的交点,重心是三角形三条中线的交点,垂心是三角形三条高线的交点)依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心的距离的一半.这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知ABC的顶点B( - 1,0),C(0,2),AB=AC,则ABC的欧拉线方程为()A.2x - 4y - 3=0B.2x+4y+3=0C.4x - 2y - 3=0D.2x+4y - 3=04.2016四川,9,5分理设直线l1,l2分别是函数f (x)=-lnx,0x1图象上点P1,P2处的切线,l1与l2垂直相交于点P,且l1,l2分别与y轴相交于点A,B,则PA
3、B的面积的取值范围是()A.(0,1)B.(0,2)C.(0,+) D.(1,+)5.2016浙江,4,5分若平面区域x+y-30,2x-y-30,x-2y+30夹在两条斜率为1的平行直线之间,则这两条平行直线间的距离的最小值是()A.355B.2C.322D.56.2020四川五校高三联考过直线x+y=0上一点P作圆(x+1)2+(y - 5)2=2的两条切线l1,l2,A,B为切点,当直线l1,l2关于直线x+y=0对称时,APB=()A.30B.45C.60D.907.2020贵州遵义四中模拟过点(2,3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为.8.2019成都高三摸底测试已知a0,
4、b0,若直线(a - 1)x+2y - 1=0与直线x+by=0互相垂直,则ab的最大值是.9.2017全国卷,20,12分设A,B为曲线C:y=x24上两点,A与B的横坐标之和为4.(1)求直线AB的斜率;(2)设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行,且AMBM,求直线AB的方程.考法1求直线的方程1(1)已知点A(3,4),则经过点A且在两坐标轴上截距相等的直线方程为.(2)已知直线l过点P(3,2),且与x轴,y轴的正半轴分别交于A,B两点,如图9 - 1 - 1所示,当ABO的面积取最小值时直线l的方程为.(1)设直线在x轴,y轴上的截距均为a.若a=0,即直线过点(0,0)
5、及(3,4).则直线的方程为y=43x,即4x - 3y=0.若a0,设所求直线的方程为xa+ya=1,又点(3,4)在直线上,所以3a+4a=1,所以a=7.所以直线的方程为x+y - 7=0.综上可知所求直线的方程为4x - 3y=0或x+y - 7=0.(2)解法一设A(a,0),B(0,b)(a0,b0),则直线l的方程为xa+yb=1.(截距式)因为l过点P(3,2),所以3a+2b=1.因为1=3a+2b26ab,整理得ab24,所以SABO=12ab12.当且仅当3a=2b,即a=6,b=4时取等号.此时直线l的方程是x6+y4=1,即2x+3y - 12=0.解法二依题意知,直
6、线l的斜率k存在且k0,可设直线l的方程为y - 2=k(x - 3)(k0)上的一个动点,则点P到直线x+y=0的距离的最小值是.考法4对称问题4已知直线l:2x - 3y+1=0,点A( - 1, - 2).求:(1)点A关于直线l的对称点A 的坐标;(2)直线m:3x - 2y - 6=0关于直线l的对称直线m 的方程;(3)直线l关于点A对称的直线l 的方程.(1)设A (x,y),由对称性求出A 的坐标.(2)在直线m上任取一点M(2,0),由对称性求出M关于l的对称点M 的坐标,结合两直线的交点,可求出m 的方程.(3)思路一在l上任取两点P(1,1),N(4,3),由对称性求出P
7、,N关于点A的对称点P,N,可得直线l的方程.思路二在l上任取一点Q(x,y),由对称性求出点Q关于点A的对称点Q,将其坐标代入直线l的方程,可得直线l的方程.(1)设A (x,y),则y+2x+123=-1,2x-12-3y-22+1=0,解得x=-3313,y=413,即A ( - 3313,413).(2)在直线m上任取一点,如M(2,0),则M(2,0)关于直线l的对称点必在m上.设M关于直线l的对称点为M (a,b),则2a+22-3b+02+1=0,b-0a-223=-1,解得a=613,b=3013,即M (613,3013).设m与l的交点为N,则由2x-3y+1=0,3x-2
8、y-6=0得N(4,3).又m 经过点N(4,3),所以由两点式得直线m 的方程为9x - 46y+102=0.(3)解法一在l:2x - 3y+1=0上任取两点,如P(1,1),N(4,3),则P,N关于点A的对称点P ,N 均在直线l 上.易知P ( - 3, - 5),N ( - 6, - 7),由两点式可得l 的方程为2x - 3y - 9=0.解法二设Q(x,y)为l 上任意一点,则Q(x,y)关于点A( - 1, - 2)的对称点为Q ( - 2 - x, - 4 - y),因为点Q 在直线l上,所以2( - 2 - x) - 3( - 4 - y)+1=0,即2x - 3y -
9、9=0.4.2019豫南九校第四次联考已知ABC的一个顶点A(2, - 4),且B,C的平分线所在直线的方程分别为x+y - 2=0,x - 3y - 6=0,则BC所在直线的方程为.易错忽略斜率不存在致误5 2019河南省中原名校第三次联考设圆x2+y2 - 2x - 2y - 2=0的圆心为C,直线l过点(0,3),且与圆C交于A,B两点,若|AB|=2 3,则直线l的方程为A.3x+4y - 12=0或4x - 3y+9=0B.3x - 4y+12=0或4x+3y+9=0C.4x - 3y+9=0或x=0D.3x+4y - 12=0或x=0条件与目标条件:圆的方程;直线过定点;直线被圆截
10、得的弦长.目标:求符合条件的直线的方程.思路与方法思路:求解过定点的直线的方程,分斜率存在和斜率不存在两种情况进行讨论.方法:待定系数法.过程与关键过程:先讨论直线的斜率不存在是否符合题意,再探究斜率存在时符合条件的斜率的值.关键:当直线的斜率不存在时,易知l:x=0,与圆的方程联立,求出交点A,B的坐标,检验|AB|是否符合.当直线的斜率存在时,设l的方程为y=kx+3,与圆的方程联立,利用d2=r2 - (|AB|2)2求得直线l的斜率.当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=0,由x=0,x2+y2-2x-2y-2=0解得x=0,y=1-3或x=0,y=1+3,所以|AB|=23,符合
11、题意.当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+3,由已知可得圆的标准方程为(x - 1)2+(y - 1)2=4,其圆心为C(1,1),半径r=2,所以圆心C到直线kx - y+3=0的距离d=|k-1+3|k2+1=|k+2|k2+1.因为d 2=r 2 - (|AB|2)2,所以(k+2)2k2+1=4 - (232)2,即(k+2)2=k2+1,解得k= - 34,所以直线l的方程为y= - 34x+3,即3x+4y - 12=0.综上,满足题意的直线l的方程为x=0或3x+4y - 12=0.故选D.D素养探源核心素养考查途径素养水平数学运算联立得到方程组,求解得到交点坐标,计
12、算|AB|.由d2=r2 - (|AB|2)2,求解k值,得到直线的方程.二逻辑推理分类讨论直线的斜率存在和斜率不存在的情况.一易错警示求解本题容易出现的问题是忽略对直线的斜率不存在时的讨论.这类问题一般有以下两种情形:(1)过圆外一点P(x0,y0)引圆的两条切线,若由d=r(d为圆心到切线的距离,r为圆的半径)只求出一个k值,则需要检验另一条斜率不存在的直线l:x=x0是否也符合条件.(2)过一定点P(x0,y0)作圆的两条割线lAB(排除过圆心的割线),与圆交于A,B两点,若由d 2=r2 - (|AB|2)2(d为圆心到割线的距离,r为圆的半径)只求出一个k值,则需要检验另一条斜率不存
13、在的直线l:x=x0是否也符合条件.5.2019惠州市高三调研过点A(3,5)作圆O:x2+y2 - 2x - 4y+1=0的切线,则切线的方程为.1.C解方程组x+y=2,2x - y=1,得x=1,y=1,即直线l1,l2的交点为(1,1).因为直线l的一个方向向量v=( - 3,2),所以直线l的斜率k= - 23,则直线l的方程为y - 1= - 23(x - 1),即2x+3y - 5=0.故选C.2.D直线AP的斜率k1=1+11 - 0=2,直线BP的斜率k2=1+41 - 3= - 52.设直线l与线段AB交于点M,当直线l的倾斜角为锐角时,随着M从点A向点B移动的过程中,l的
14、倾斜角变大,l的斜率也变大,此时l的斜率k2;当直线l的倾斜角为钝角时,随着l的倾斜角变大,l的斜率从负无穷增大到直线BP的斜率,此时l的斜率k - 52;直线PM平行于y轴时,斜率不存在.综上所述,直线l的斜率的取值范围为( - , - 522,+).故选D.3.D易知线段BC的中点坐标为( - 12,1),线段BC所在直线的斜率kBC=2 - 00 - ( - 1)=2,则线段BC的垂直平分线的方程为y - 1= - 12(x+12),即2x+4y - 3=0.因为AB=AC,所以ABC的外心、重心、垂心都在线段BC的垂直平分线上,即ABC的欧拉线方程为2x+4y - 3=0.故选D.4.
15、A不妨设P1(x1,ln x1),P2(x2, - ln x2),P(xP,yP),由于l1l2,所以1x1( - 1x2)= - 1,则x1=1x2.又切线l1:y - ln x1=1x1(x - x1),l2:y+ln x2= - 1x2(x - x2),于是A(0,ln x1 - 1),B(0,1+ln x1),所以|AB|=2.由y - lnx1=1x1(x - x1),y+lnx2= - 1x2(x - x2),解得xP=2x1+1x1,所以SPAB=122xP=2x1+1x1,因为x11,所以x1+1x12,所以SPAB的取值范围是(0,1),故选A.5.B不等式组x+y - 30
16、,2x - y - 30,x - 2y+30表示的平面区域如图D 9 - 1 - 1中阴影部分所示,图D 9 - 1 - 1其中A(1,2),B(2,1),当两条平行直线间的距离最小时,两平行直线分别过点A,点B,又两平行直线的斜率为1,直线AB的斜率为 - 1,所以线段AB的长度就是分别过A,B两点的两平行直线间的距离,易得|AB|=2,即两条平行直线间的距离的最小值是2,故选B.6.C解法一如图D 9 - 1 - 2,设圆(x+1)2+(y - 5)2=2的圆心为C,则C( - 1,5),则点C不在直线y= - x上,要满足l1,l2关于直线y= - x对称,则PC必然垂直于直线y= -
17、x,所以线段PC所在直线的斜率kPC=1,则线段PC所在的直线l:y - 5=x+1,即y=x+6,与y= - x联立,得P( - 3,3).所以|PC|=( - 1+3)2+(5 - 3)2=22,设APC=,则APB=2,在APC中,sin =|AC|PC|=222=12,故=30,所以APB=2=60.故选C.图D 9 - 1 - 2解法二如图D 9 - 1 - 2,设圆(x+1)2+(y - 5)2=2的圆心为C,则C( - 1,5),则点C不在直线y= - x上,要满足l1,l2关于直线y= - x对称,则PC必然垂直于直线y= - x,所以|PC|=412+12=22,易知圆的半径
18、r=2,sinAPC=|AC|PC|=12,则APC=30,所以APB=60.故选C.7.3x - 2y=0或x - y+1=0当直线过原点时,直线的斜率为k=3 - 02 - 0=32,此时直线方程为y=32x,即3x - 2y=0.当直线不过原点时,设直线方程为xa+y - a=1,把(2,3)代入可得a= - 1,此时直线方程为x - y+1=0.故填3x - 2y=0或x - y+1=0.8.18由两条直线互相垂直得(a - 1)1+2b=0,即a+2b=1,又a0,b0,所以ab=12(a2b)12(a+2b2)2=18,当且仅当a=12,b=14时取等号.故ab的最大值是18.9.
19、(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2,y1=x124,y2=x224,x1+x2=4,于是直线AB的斜率k=y1 - y2x1 - x2=x1+x24=1.(2)由y=x24,得y=x2.设M(x3,y3),由题设及(1)知x32=1,解得x3=2,于是M(2,1).设直线AB的方程为y=x+m,则线段AB的中点为N(2,2+m),|MN|=|m+1|.将y=x+m代入y=x24得x2 - 4x - 4m=0.=16(m+1)0,则m - 1,解得x1=2+2m+1,x2=2 - 2m+1.从而|AB|=2|x1 - x2|=42(m+1).由题设知|AB|=2|MN|,即4
20、2(m+1)=2(m+1),解得m=7.所以直线AB的方程为y=x+7.1.(1)当直线l在x,y轴上的截距均为0时,直线l的斜率为k=12,所以直线l的方程为y=12x,化为一般方程为x - 2y=0.当直线l在x,y轴上的截距均不为0时,设直线l的方程为xt+yt=1,将(2,1)代入,得2t+1t=1,解得t=3,此时直线l的一般方程为x+y - 3=0.综上,直线l的一般方程为x - 2y=0或x+y - 3=0.(2)由题意得,直线l的方程为x+y - 3=0,则a+b=3.所以3a+3b23a3b=23a+b=63,当且仅当a=b=32时等号成立.所以3a+3b的最小值为63.2.
21、(1)解法一直线l的方程可化为y= - 34x+3,可知l的斜率为 - 34,因为l与l平行,所以直线l的斜率为 - 34.又l过点( - 1,3),所以由点斜式得直线l的方程为y - 3= - 34(x+1),即3x+4y - 9=0.解法二由l与l平行,可设l的方程为3x+4y+m=0(m - 12),将( - 1,3)代入,得m= - 9,于是所求直线方程为3x+4y - 9=0.(2)解法一直线l的方程可化为y= - 34x+3,可知l的斜率为 - 34,因为l与l垂直,所以直线l的斜率为43.又l过点( - 1,3),所以由点斜式得直线方程为y - 3=43(x+1),即4x - 3
22、y+13=0.解法二由l与l垂直,可设l的方程为4x - 3y+n=0,将( - 1,3)代入,得n=13,于是所求直线方程为4x - 3y+13=0.(3)解法一直线l的方程可化为y= - 34x+3,可知l的斜率为 - 34,因为ll,所以直线l的斜率为43.设l在y轴上的截距为b,则直线l的方程为y=43x+b,l在x轴上的截距为 - 34b,由题意可知,l与两坐标轴围成的三角形的面积S=12|b| - 34b|=4,解得b=463.所以直线l的方程为y=43x+463或y=43x - 463,即4x - 3y+46=0或4x - 3y - 46=0.解法二由l与l垂直,可设直线l的方程
23、为4x - 3y+p=0,则l在x轴上的截距为 - p4,在y轴上的截距为p3.由题意可知,l与两坐标轴围成的三角形的面积S=12|p3| - p4|=4,求得p=46.所以直线l的方程为4x - 3y+46=0或4x - 3y - 46=0.3.(1)C过点C作直线l,使lAB,则点P在直线l上.由题意易知,A(3,0),B(0,1),则|AB|=2,所以点C到直线AB的距离d=22 - 12=3.直线AB的方程可化为3x+3y - 3=0,由ABP和ABC的面积相等,可知点P到直线AB的距离等于点C到直线AB的距离,即|3m+312 - 3|(3)2+32=3,解得m= - 332或m=5
24、32.因为点P在第一象限,所以m=532.故选C.(2)4解法一设P(x,x+4x),x0,则点P到直线x+y=0的距离d=|x+x+4x|2=2x+4x222x4x2=4,当且仅当2x=4x,即x=2时取等号,故点P到直线x+y=0的距离的最小值是4.解法二由y=x+4x(x0)得y=1 - 4x2,令1 - 4x2= - 1,得x=2,则当点P的坐标为(2,32)时,点P到直线x+y=0的距离最小,最小值为|2+32|2=4.【方法总结】求曲线上一点到直线的距离的最小值时,一般解法是设出曲线上点的坐标,利用点到直线的距离公式建立目标函数,再利用基本不等式或导数求解最值,也可平移直线,使平移
25、后的直线与曲线相切,此时切点到原直线的距离最小.4.x+7y - 6=0由角平分线的性质知,点A关于B,C的平分线所在直线的对称点均在直线BC上.设点A(2, - 4)关于直线x - 3y - 6=0的对称点为A1(x1,y1),则有y1+4x1 - 2= - 3,x1+22 - 3y1 - 42 - 6=0,解得x1=25,y1=45,即A1(25,45).同理可得,点A(2, - 4)关于直线x+y - 2=0的对称点A2的坐标为(6,0).所以直线A1A2的方程为y=0 - 456 - 25(x - 6),即x+7y - 6=0.所以BC所在直线的方程为x+7y - 6=0.5.5x - 12y+45=0或x - 3=0圆O的标准方程为(x - 1)2+(y - 2)2=4,其圆心为(1,2).|OA|=(3 - 1)2+(5 - 2)2=132,点A(3,5)在圆外.当切线的斜率不存在时,直线x=3与圆相切,即切线方程为x - 3=0;当切线的斜率存在时,可设所求切线方程为y - 5=k(x - 3),即kx - y+5 - 3k=0.又圆心为(1,2),半径r=2,而圆心到切线的距离d=|3 - 2k|k2+1=2,即|3 - 2k|=2k2+1,k=512,即切线方程为5x - 12y+45=0.综上可知,所求切线的方程为5x - 12y+45=0或x - 3=0.
