1、第二讲二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题1.改编题给出下列命题,其中真命题的个数为()原点能判断二元一次不等式Ax+By+C0所表示的平面区域在直线Ax+By+C=0的哪一侧;不等式Ax+By+C0表示的平面区域一定在直线Ax+By+C=0的上方;点(x1,y1),(x2,y2)在直线Ax+By+C=0同侧的充要条件是(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)0,异侧的充要条件是(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C) - 1.由x+y-2=0,x-y+2m=0,解得x=1-m,y=1+m,即A(1 - m,1+m).由x+2y-2=0,x-y+2m=0,解得x=23-43m,y=
2、23+23m,即B(23-43m,23+23m).易知直线x - y+2m=0与x轴交于点D( - 2m,0).因为SABC=SADC - SBDC=12(2+2m)1+m - (23+23m)=13(m+1)2=43,所以m=1.B1.不等式组2x+y-60,x+y-30,y2表示的平面区域的面积为()A.4B.1C.5D.无穷大考法2求目标函数的最值(范围)命题角度1求线性目标函数的最值22020成都市高三摸底测试若实数x,y满足约束条件x+2y-20,x-10,y0,则z=x - 2y的最小值为A.0B.2C.4D.6思路一先画出不等式组表示的平面区域,然后平移直线x - 2y=0,再根
3、据目标函数的几何意义确定出其最小值.思路二先求出可行域各顶点的坐标,然后分别计算出各顶点处的目标函数值,再找出最小值.解法一(图解法)画出不等式组表示的平面区域,如图7 - 2 - 2中阴影部分(包含边界)所示,由z=x - 2y得y=12x - 12z,其表示斜率为12的动直线.由x=1,x+2y-2=0,得A(1,12),由图可知,当动直线y=12x - 12z经过点A(1,12)时,z取得最小值(由纵截距定最优解,注意纵截距最大时,z最小),即zmin=1 - 212=0.解法二(界点定值法)由x+2y-2=0,x-1=0,得x=1,y=12,此时z=0;由x+2y-2=0,y=0,得x
4、=2,y=0,此时z=2;由x-1=0,y=0,得x=1,y=0,此时z=1.综上所述,z的最小值为0.A2.2019天津,2,5分理设变量x,y满足约束条件x+y-20,x-y+20,x-1,y-1,则目标函数z= - 4x+y的最大值为()A.2B.3C.5D.6命题角度2求非线性目标函数的最值3 若实数x,y满足x-y+10,x0,y2,则z=2y2x+1的取值范围是A.43,4B.43,4)C.2,4D.(2,4作出不等式组表示的平面区域,将目标函数化简变形,利用目标函数的几何意义,进而可得目标函数的取值范围.作出不等式组表示的平面区域如图7 - 2 - 3中阴影部分(不包括边界OB)
5、所示,其中A(1,2),B(0,2).图7 - 2 - 3(注意点B是空心点)Z=2y2x+1=yx+12=y-0x-(-12),则z的几何意义是可行域内的点P(x,y)与点M( - 12,0)连线所在直线的斜率.(斜率型)可知kMA=2-01-(-12)=43,kMB=2-00-(-12)=4,结合图形可得43z0所表示的平面区域在直线Ax+By+C=0的哪一侧,故错误;x - y+10表示的平面区域是直线x - y+1=0下方的区域,故错误;将直线同一侧的所有点的坐标代入Ax+By+C,所得到的实数的符号相同,将异侧的所有点的坐标代入Ax+By+C,所得到的实数的符号相反,故正确.选B.2
6、.C令z=3x+y,画出不等式组|x|1 - y,y - 1,即不等式组x1 - y,x0,y - 1或 - x1 - y,x0,y - 1表示的平面区域,如图D 7 - 2 - 1中阴影部分(包含边界)所示,作出直线y= - 3x并平移,由数形结合可知,当平移后的直线过点C(2, - 1)时,z=3x+y取得最大值,zmax=32 - 1=5.故选C.图D 7 - 2 - 13.C作出可行域如图D 7 - 2 - 2中阴影部分(包含边界)所示,由数形结合可知,当直线z=3x+2y过点A(2,2)时,z取得最大值,zmax=6+4=10.故选C.图D 7 - 2 - 24.B画出不等式组所表示
7、的平面区域,如图D 7 - 2 - 3中阴影部分(包含边界)所示.因为目标函数z=ax+y的最大值为4,即目标函数对应的直线与所画平面区域有公共点时,其在y轴上的截距的最大值为4,作出过点D(0,4)的直线,由图可知,目标函数对应的直线过点B(2,0)时,z取得最大值,故a2+0=4,解得a=2.故选B.图D 7 - 2 - 35. - 3作出可行域,如图D 7 - 2 - 4中阴影部分所示,由z=x - 2y,可得y=12x - 12z,其表示斜率为12,纵截距为 - 12z的直线,作出直线y=12x并平移,当平移后的直线过点A( - 1,1)时,直线在y轴上的截距最小,此时z取得最大值,z
8、max= - 1 - 21= - 3.图D 7 - 2 - 46.3作出可行域如图D 7 - 2 - 5中阴影部分所示,易知在点A(1,3)处,yx取得最大值3.图D 7 - 2 - 51.B不等式组2x+y - 60,x+y - 30,y2表示的平面区域如图D 7 - 2 - 6中阴影部分(包含边界)所示,ABC的面积即为所求.由图求得点A,B,C的坐标分别为A(1,2),B(2,2),C(3,0),则ABC的面积为S=12(2 - 1)2=1.故选B.图D 7 - 2 - 62.C画出可行域,如图D 7 - 2 - 7中阴影部分(包含边界)所示,图D 7 - 2 - 7作出直线 - 4x+
9、y=0并平移,可知当直线z= - 4x+y过点A时,z取得最大值.由x= - 1,x - y+2=0可得x= - 1,y=1,所以点A的坐标为( - 1,1),故zmax= - 4( - 1)+1=5.故选C.3.A作出不等式组x - y+50,x+y0,x3表示的平面区域,如图D 7 - 2 - 8中阴影部分(包含边界)所示.图D 7 - 2 - 8(x+1)2+y2表示可行域内的点(x,y)到点P( - 1,0)的距离的平方,由图可知可行域内的点A到点P( - 1,0)的距离最大.解方程组x=3,x - y+5=0,得x=3,y=8,即点A的坐标为(3,8),代入z=(x+1)2+y2,得
10、zmax=(3+1)2+82=80.故选A.4.2设z=3(x - a)+2(y+1),作出不等式组表示的平面区域如图 D 7 - 2 - 9中阴影部分(包含边界)所示.D 7 - 2 - 9由z=3(x - a)+2(y+1),得y= - 32x+3a - 2+z2,作出直线y= - 32x,平移该直线,易知当直线z=3(x - a)+2(y+1)过点A(1,3)时,z取得最大值,又目标函数的最大值为5,所以3(1 - a)+2(3+1)=5,解得a=2.5.216 000由题意,设生产x件产品A,生产y件产品B,利润z=2 100x+900y,作出不等式组1.5x+0.5y150,x+0.3y90,5x+3y600,x0,y0表示的平面区域,如图D 7 - 2 - 10中阴影部分(包含边界)所示,图D 7 - 2 - 10由xN,yN,可知取得最大值时的最优解为(60,100),所以zmax=2 10060+900100=216 000(元).
