1、1(2020宁波市余姚中学期末)已知抛物线C：y22px(p0)过点A(1,1)(1)求抛物线C的方程；(2)如图，直线MN与抛物线C交于M，N两个不同点(均与点A不重合)，设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2且k1k23，求证直线MN过定点，并求出定点. 2已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2.点M在椭圆C上滑动，若MF1F2的面积取得最大值4时，有且仅有2个不同的点M使得MF1F2为直角三角形(1)求椭圆C的方程；(2)过点P(0,1)的直线l与椭圆C分别相交于A，B两点，与x轴交于点Q.设，求证：为定值，并求该定值3.(2019杭州模拟)椭圆C：1(ab0)的左焦点是F
2、1，离心率为，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆截得的线段长为1.(1)求椭圆C的方程；(2)若A是椭圆的上顶点，B是椭圆的右顶点，椭圆上有异于A，B的两动点M，N，满足(0)，记直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值4已知F是抛物线C：x22py(p0)的焦点，点M是抛物线上的定点，且(4,0)(1)求抛物线C的方程；(2)直线AB与抛物线C分别相交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)且|x2x1|3，直线l与AB平行，且与抛物线C相切，切点为N，试问ABN的面积是否为定值若是，求出这个定值；若不是，请说明理由答案精析1解(1)将点(1,1)代入y22px有12p，
3、故抛物线方程为y2x.(2)设M(y，y1)，N(y，y2)，直线MN：xtym.联立有y2tym0，且t24m0，y1y2t，y1y2m.因为k1，同理k2.由k1k23，得k1k23，化简得m.所以直线MN：xtymtyt，故MN过定点.2解(1)由对称性知，点M在短轴端点时，MF1F2为直角三角形且F1MF290，SMF1F24，bc且S2cbbc4，解得bc2，a2b2c28，椭圆C的方程为1.(2)显然直线l的斜率不为0，设直线l：xt(y1)，联立消去x得(t22)y22t2yt280.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2，y1y2，令y0，则xt，Q(t,0)，y1(
4、y11)，.，y2(y21)，.3(1)解由于c2a2b2，将xc代入椭圆方程1，得y.由题意知1，即a2b2，又e，a2，b1，椭圆方程为y21.(2)证明，易得：kMNkAB，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线MN的方程为yxb，联立方程得x22bx2(b21)0，当4b28(b21)0，即b0)中，得16p2，解得p4或p4(舍)，所以抛物线C的方程为x28y.(2)由题意知，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为ykxb，联立整理x28kx8b0，则x1x28k，x1x28b，所以y1y2k(x1x2)2b8k22b，设AB的中点为Q，则点Q的坐标为(4k,4k2b)由条件设切线的方程为ykxt(tb)，联立整理得x28kx8t0.因为直线l与抛物线C相切，所以64k232t0，所以t2k2.则x28kx16k20，解得x4k，所以y2k2.所以切点N的坐标为(4k,2k2)，又点Q的坐标为(4k,4k2b)，所以NQx轴，所以|NQ|4k2b2k22k2b，因为|x1x2|3，所以(x1x2)2(x1x2)24x1x264k232b，所以2k2b，所以SABN|NQ|x1x2|(2k2b)|x1x2|.所以ABN的面积为定值，且定值为.
