1、8 最小二乘估计 必备知识自主学习 导思1.什么是最小二乘法?主要用来解决什么问题?2.回归直线的基本特征是什么?3.利用线性回归方程求出的数值是估计值和还是统计数据?1.最小二乘法的定义与应用(1)定义:如果有n个点(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn),可以用下面的表达式来刻画这些点与 直线y=a+bx的接近程度:y1-(a+bx1)2+y2-(a+bx2)2+yn-(a+bxn)2.使得 上式达到最小值的直线y=a+bx就是我们所要求的直线,这种方法称为最小二乘 法.(2)应用:利用最小二乘法估计时,要先作出数据的散点图.如果散点图呈现出线性关系,可以用最小二乘法估计出线性回归方
2、程;如果散点图呈现出其他的曲线关系,则要利用其他的工具进行拟合.【思考】最小二乘法中“二乘”的含义是什么?提示:“二乘”指的是用平方来度量观测点与估计点的远近(在古汉语中“平方”称为“二乘”).2.线性回归方程(1)回归:一种统计方法,它通过计算变量之间的相关系数进而估计它们之间的 联系公式.(2)用 表示 用 表示 由最小二乘法可以求得 这样得到的直线方程y=a+bx称为线性回归方程,a,b是线性回归方程的系数.x12nxxxn，y12nyyyn，1122nn222212nx yx yx yn x ybayb xxxxnx，【思考】线性回归方程是否经过一定点?提示:线性回归方程恒过定点 (x
3、 y).，【基础小测】1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”)(1)线性回归方程能代表线性相关的两个变量之间的关系.()(2)回归直线总经过样本中的所有点.()(3)线性回归方法就是由样本点去寻找一条贴近这些样本点的直线的数学方法.()(4)任何一组数据,都可以由最小二乘法得出线性回归方程.()2.设有一个线性回归方程为y=2-1.5x,则变量x增加一个单位时()A.y平均增加1.5个单位 B.y平均增加2个单位 C.y平均减少1.5个单位 D.y平均减少2个单位【解析】选C.2-1.5(x+1)-(2-1.5x)=-1.5.3.(教材二次开发:例题改编)正常情况下,年龄在18岁到38岁的人,体
4、重y(kg)对身高x(cm)的线性回归方程为y=0.72x-58.2,张明同学(20岁)身高178 cm,他的体重应该在_kg左右.【解析】用线性回归方程对身高为178 cm的人的体重进行预测,当x=178时y=0.72178-58.2=69.96(kg).答案:69.96 4.某产品的广告费用x(万元)与销售额y(万元)的统计数据如表:广告费用x(万元)4235销售额y(万元)49263954根据上表可得线性回归方程y=bx+a中的b为9.4,据此模型预测广告费用为6万元 时的销售额为_万元.【解析】由表格计算得 因为点 在回归直线y=bx+a上,且b为9.4,所以42=9.4 +a,解得a
5、=9.1,故线性回归方程为y=9.4x+9.1,令x=6得y=65.5(万元).答案:65.5 4235749263954xy42424，7(42)2，72关键能力合作学习 类型一 求线性回归方程(数学运算、数学建模)【典例】1.某商家观察发现某种商品的销售量y与气温x呈线性相关关系,其中5组样本数据如表:气温x1015202530销售量y813172428于是所求的线性回归方程是()A.y=1.02x+2.4 B.y=1.02x-2.4 C.y=-1.02x+2.4 D.y=-1.02x-2.4 2.某地区2012年至2018年农村居民家庭人均纯收入y(单位:千元)的数据如下表:年份2012
6、201320142015201620172018年份代号t1234567人均纯收入y2.93.33.64.44.85.25.9(1)求y关于t的线性回归方程;(2)利用(1)中的回归方程,分析2012年至2018年该地区农村居民家庭人均纯收 入的变化情况,并预测该地区2020年农村居民家庭人均纯收入.附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:niii 1n2ii 1(tt)(yy)baybt.(tt)，【思路导引】1.求出样本数据的中心点,然后逐个选项代入检验即可.2.(1)求出 ,然后代入公式求出线性回归方程中的参数,即可得到线性回 归方程;(2)求出2020年对应的t值,然后代入
7、线性回归方程中估值即可.ty【解题策略】用线性回归方程进行数据拟合的一般步骤(1)把数据列成表格.(2)作散点图.(3)判断是否线性相关.(4)若线性相关,求出系数b,a的值(一般也列成表格的形式,用计算器或计算机 计算).(5)写出线性回归方程y=a+bx.提醒:根据给定条件、套用公式时要细心,计算要准确.【跟踪训练】1.为了解儿子身高与其父亲身高的关系,随机抽取5对父子的身高数据如下:则y对x的线性回归方程为()A.y=x-1 B.y=x+1 C.y=88+x D.y=x 父亲身高x(cm)174176176176178儿子身高y(cm)1751751761771772.随着我国经济的快速
8、发展,城乡居民的生活水平不断提高,为研究某市家庭平 均收入与月平均生活支出的关系,该市统计部门随机调查10个家庭,得数据如表:(1)判断家庭平均收入与月平均生活支出是否相关;(2)若二者线性相关,求线性回归方程.家庭编号i12345678910 x(收入)/千元0.81.11.31.51.51.82.02.22.42.8y(支出)/千元0.71.01.21.01.31.51.31.72.02.5【补偿训练】某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如表:(1)用最小二乘法计算利润额y对销售额x的线性回归方程;(2)当销售额为4千万元时,估计利润额的大小.商店名称ABCDE销售额x(千
9、万元)35679利润额y(百万元)23345【误区警示】求线性回归方程的关键是计算直线的斜率和截距的估计值,往往因计算不准导致错误.类型二 线性回归方程的应用(数据分析)【典例】1.为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系,下 表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x(单位:小时)与当天投篮命中率y 之间的关系:小李这5天的平均投篮命中率为_;用线性回归分析的方法,预测小李该 月6号打6小时篮球的投篮命中率为_.时间x12345命中率y0.40.50.60.60.42.一台机器按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点,每小时生产 有缺点的零件的多少随机器运转的速度的变化而
10、变化,下表为抽样试验的结果:转速x(转/秒)1614128每小时生产有缺点的零件数y(件)11985(1)画出散点图;(2)如果y对x有线性相关关系,请画出一条直线近似地表示这种线性关系.(3)在实际生产中,若它们的近似方程为y=x-,允许每小时生产的产品中 有缺点的零件最多为10件,那么机器的运转速度应控制在什么范围内?【思路导引】线性回归方程的应用画散点图、作出近似直线、解不等式.517067【解题策略】线性回归分析的三个步骤(1)判断两个变量是否线性相关,可以利用经验,也可以画散点图.(2)求线性回归方程,注意运算的正确性.(3)根据回归直线进行预测估计,估计值不是实际值,两者会有一定的
11、误差.【跟踪训练】一般来说,一个人脚掌越长,他的身高就越高,现对10名成年人的脚掌长x与身高 y进行测量,得到数据(单位均为cm)如表,作出散点图后,发现散点在一条直线附 近,经计算得到一些数据:10102iiii 1i 1(xx)(yy)577.5(xx)82.5.，脚掌长x20212223242526272829身高y141146154160169176181188197203(1)若某人的身高为175 cm,则他的脚掌长约为_;(2)某刑侦人员在某案发现场发现一对裸脚印,量得每个脚印长为26.5 cm,则估计案发嫌疑人的身高为_.1.对有线性相关关系的两个变量建立的线性回归方程y=a+b
12、x中,回归系数b ()A.不能小于0 B.不能大于0 C.不能等于0 D.只能小于0【解析】选C.当b=0时,不具有线性相关关系,但b能大于0,也能小于0.课堂检测素养达标 2.某商店统计了最近6个月某商品的进价x与售价y(单位:元)的对应数据如下:则 =_,=_,线性回归方程为_.x3528912y46391214yx662iiii 1i 1x_x y，_，3.某炼钢厂废品率x(%)与成本y(元/吨)的线性回归方程为y=105.492+42.569x.当成本控制在176.5元/吨时,可以预计生产的1 000吨钢中,约有_吨钢 是废品(结果保留两位小数).【解析】因为176.5=105.492+42.569x,解得x1.668,即当成本控制在176.5 元/吨时,废品率约为1.668%,所以生产的1 000吨钢中,约有1 0001.668%=16.68吨是废品.答案:16.68 4.(教材二次开发:练习改编)某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行 统计分析,得下表数据:已知记忆力x和判断力y是线性相关的,(1)求线性回归方程;(2)若某人的判断力 不低于6.8,求其记忆力的取值范围.x681012y2356