1、5.2 估计总体的数字特征 必备知识自主学习 1.样本数据的数字特征(1)样本平均数 n个样本数据x1,x2,xn的平均数为:导思1.样本数据有哪些数字特征?如何计算?反映数据的哪些特征?2.如何用样本的数字特征估计总体的数字特征?12n1(xxxn.)x(2)样本方差与标准差 样本方差为:样本标准差为:s=22212n1(xx)(xx)(xx).n22212n(xx)(xx)(xx).n【思考】在电视大奖赛中,计算评委打分的平均值时,为什么要去掉一个最高分和一个最低分?提示:为了避免平均值受数据中个别极端值的影响,增大它在估计总体时的可靠性.2.估计总体的数字特征 利用随机抽样得到样本,从样
2、本数据得到的分布、平均数和标准差(通常称之为 样本分布、样本平均数和样本标准差)并不是总体真正的分布、平均数和标准 差,而只是总体的一个_,但这个估计是合理的,特别是当样本容量_时,它们确实反映了总体的信息.估计 很大【思考】方差与标准差的大小与样本数据有什么关系?提示:标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差、方差越大,数据的离散程度越大;标准差、方差越小,数据的离散程度越小.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”)(1)一组数据的平均数与每个数据的大小有关.()(2)一组数据的众数与中位数都是唯一的.()(3)一组数据中有极端值时,平均数不能代表平均水平.()(4)
3、样本方差与标准差是刻画数据的离散程度的量,方差越大,离散程度越小.()(5)标准差比方差更能准确刻画样本数据的特征.()2.某房间中10个人的平均身高为1.74米,身高为1.85米的第11个人,进入房间后,这11个人的平均身高是_.【解析】原来的10个人的身高之和为17.4米,所以这11个人的平均身高为 (米).即这11个人的平均身高为1.75米.答案:1.75米 17.4 1.851.75113.(教材二次开发:思考交流改编)下列说法中,正确的是()A.数据5,4,4,3,5,2的众数是4 B.一组数据的标准差是这组数据的方差的平方 C.数据2,3,4,5的标准差是数据4,6,8,10的标准
4、差的一半 D.频率分布直方图中各小长方形的面积等于对应各组的频数 关键能力合作学习 类型一 用样本的数字特征估计总体的数字特征(数据分析、数学运算)【典例】1.某学员在一次射击测试中射靶10次,命中环数如下:7,8,7,9,5,4,9,10,7,4 则(1)平均命中环数为_.(2)命中环数的标准差为_.2.甲、乙两台机床同时加工直径为100 mm的零件,为了检验产品的质量,从产品中各随机抽取6件进行测量,测得数据如下(单位:mm):甲:99 100 98 100 100 103 乙:99 100 102 99 100 100(1)分别计算上述两组数据的平均数和方差;(2)根据(1)的计算结果,
5、说明哪一台机床加工的这种零件更符合要求.【思路导引】1.直接代入平均数和标准差公式计算即可.2.利用平均数与方差公式分别进行计算,并作出判断.【解题策略】1.计算样本方差、标准差的三种方法(1)公式法:(2)频率法:(pi为数据xi出现的频率).(3)线性关系法:若x1,x2,xn的平均值为 ,方差为s2,则 kx1+b,kx2+b,kxn+b的方差为k2s2,标准差为|ks|.n222ii 11s(xx)ss.n，n222iii 1sp(xx)ss，x2.求样本数据x1,x2,xn的标准差的计算步骤(1)求样本数据的平均数 .(2)求每个样本数据与样本平均数 的差(xi-),其中i=1,2,
6、n.(3)求出(2)中(xi-)的平方,其中i=1,2,n.(4)求出(3)中n个平方数的平均数,即得样本方差.(5)求样本方差的算术平方根,即得样本标准差.xxxx【跟踪训练】两台机床同时生产直径为10(单位:cm)的圆形截面零件,为了检验产品质量,质 量检验员从两台机床的产品中各抽出4件进行测量,结果如下:如果你是质量检验员,在收集到上述数据后,你将通过怎样的运算来判断哪台机 床生产的零件质量更符合要求?机床甲109.81010.2机床乙10.1109.910类型二 由频率分布直方图估计总体的数字特征【典例】某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生,其数学成绩(均为整数)的频率
7、分布直方图如图所示.(1)求这次测试数学成绩的众数;(2)求这次测试数学成绩的中位数;(3)求这次测试数学成绩的平均分.【思路导引】根据频率分布直方图中众数、中位数、平均数的意义求解.【解析】(1)由众数的概念可知,众数是出现次数最多的数,在直方图中,高度最 高的小矩形的中间值的横坐标即为所求,所以成绩的众数为75.(2)由于中位数是所有数据中的中间值,故在直方图中体现的是中位数的左右两 边频数应相等,即频率也相等,从而就是小矩形的面积和相等.因此在频率分布 直方图中,将频率分布直方图中所有小矩形的面积一分为二的直线所对应的成 绩即为所求.因为前三个小矩形的面积和为:(0.005+0.015+
8、0.020)10=0.4,第四个小矩形 的面积为:0.03010=0.3,0.4+0.3=0.70.5.所以中位数应位于第四个小矩形内,设其底边为x,高为0.03,所以令0.03x=0.1,解得x=3 ,故成绩的中位数为73 .1031313(3)平均数是频率分布直方图的“重心”,等于频率分布直方图中每个小矩形的 面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.所以平均成绩为:45(0.00510)+55(0.01510)+65(0.02010)+75(0.03010)+85(0.02510)+95(0.00510)=72.所以成绩的平均分为72.【解题策略】利用频率分布直方图求众数、中位数、平均数的方法
9、(1)在频率分布直方图中,众数是最高的矩形的底边的中点.(2)在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图的面积相等.(3)平均数是频率分布直方图的“重心”,等于频率分布直方图中每个小矩形的 面积乘小矩形底边中点的横坐标之和.提醒:由频率分布直方图求平均数的估计值时,容易忽视利用组中值近似代替所 在组的所有值.【跟踪训练】已知一组数据如下:125 121 123 125 125 128 130 129 126 124 125 127 126 125 126 128 127 129 122 124(1)填写下面的频率分布表:分组(xi)频数(ni)频率(fi)120.5122.5122.5124
10、.5124.5126.5126.5128.5128.5130.5iifx(2)作出频率分布直方图;(3)根据直方图或频率分布表求这组数据的众数.类型三 用茎叶图估计总体的数字特征【典例】1.如图茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的 成绩(单位:分),已知甲组数据的平均数为18,乙组数据的中位数为16,则x,y的 值分别为()A.18,6 B.8,16 C.8,6 D.18,16 2.对甲、乙两名自行车赛手在相同条件下进行了6次测试,测得他们的最大速 度(m/s)的数据如下表.(1)画出茎叶图,由茎叶图判断哪位选手的成绩较稳定?(2)分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度(m/s
11、)数据的平均数、方差,并判断选谁参加比赛更合适.次数123456甲273830373531乙332938342836【思路导引】1.由茎叶图求值x,y对应的数据分别是10+x,10+y.2.选择自行车赛手的依据选择方差小的赛手.【解题策略】茎叶图在估计总体中的应用(1)由于茎叶图中保留了样本的原始数据,因此在计算样本数据的数字特征时,可套用公式,代入数据计算可得.(2)由茎叶图估计总体分布及数字特征时,可通过数据的分布情况及数字特征进行估计.【跟踪训练】某人到甲、乙两市若干小区调查空置房情况,调查得到的小区空置房的套数绘 成了如图的茎叶图,则调查中甲市空置房套数的中位数与乙市空置房套数的中 位
12、数之差为()A.4 B.3 C.2 D.1【补偿训练】在如图所示的茎叶图中,甲、乙两组数据的中位数分别是_.1.下列说法正确的是()A.在两组数据中,平均数较大的一组方差较大 B.平均数反映数据的集中趋势,方差则反映数据围绕平均数波动的大小 C.方差的求法是求出各个数据与平均数的差的平方之后求和 D.在两个人射击环数的两组数据中,方差大的表示射击水平高【解析】选B.由平均数与方差的定义,计算公式及意义知,B正确.课堂检测素养达标 2.甲、乙两名射击运动员,在一次连续10次的射击中,他们所射中环数的平均数一样,但方差不同,正确评价他们水平的是()A.因为他们所射中环数的平均数一样,所以他们水平相
13、同 B.虽然射中环数的平均数一样,但方差较大的,潜力较大,更有发展前途 C.虽然射中环数的平均数一样,但方差较小的,发挥较稳定,更有发展前途 D.虽然射中环数的平均数一样,但方差较小的,发挥较不稳定,忽高忽低【解析】选C.由平均数与方差的概念即知选项C正确.3.如图所示是2019年某高一学生下学期政治考试成绩的茎叶图(茎表示成绩的 十位数字),则该生政治考试成绩的平均数和众数依次为()A.85,84 B.84,85 C.86,84 D.84,86 4.一组观察值4,3,5,6出现的次数分别为3,2,3,2,则样本平均数为_.【解析】观察值的平均数为 答案:4.5 4 33 25 36 245x
14、4.5.323210 5.某校为了了解甲、乙两班的数学学习情况,从两班抽出10名学生进行数学水平测试,成绩如下(单位:分):甲班:82 84 85 89 79 80 91 89 79 74 乙班:90 76 86 81 84 87 86 82 85 83(1)求两个样本的平均数.(2)求两个样本的方差和标准差.(3)试分析比较两个班的学习情况.【新情境新思维】下面是某校学生日睡眠时间的抽样频率分布表(单位:h):日睡眠时间/h人数频率66.550.056.57170.1777.5330.337.58370.3788.560.068.5920.02合计1001试估计该校学生的日平均睡眠时间.【解析】方法一:总睡眠时间约为6.255+6.7517+7.2533+7.7537+8.256+8.752=739(h).故平均睡眠时间约为 =7.39(h).方法二:求组中值与对应频率之积的和:6.250.05+6.750.17+7.250.33+7.750.37+8.250.06+8.750.02=7.39(h).故该校学生的日平均睡眠时间约为7.39 h.739100